Задача

В олимпиадах

Региональный этап ВОШ — 2013

Баллы

15

Темы

Сложность

5.4
Средняя: 5.4 (10 оценок)

Автор

02.02.2013, 23:01 (Данил Фёдоровых)
15.03.2015, 15:38
Как-то, читая журнал «Вопросы неравенства», Юный Экономист наткнулся на заметку, в которой сравнивался уровень среднедушевого дохода в странах Ричии и Пурии. (В этих двух странах, как известно, есть по две группы населения — группа богатых и группа бедных. Доходы внутри каждой из групп распределены равномерно). Вот отрывок из заметки:

«За последний год доход одного бедного в Ричии составил 8, в то время как доход одного бедного в Пурии составил 5. При этом доход одного богатого в Ричии составил 72, а в Пурии — 30. Таким образом, каждая группа населения в Ричии богаче, чем аналогичная группа в Пурии. Значит, и среднедушевой доход в Ричии явно больше, чем среднедушевой доход в Пурии, что, несомненно, говорит о большей эффективности работы…»

Будучи внимательным и вдумчивым читателем, Юный Экономист поставил под сомнение вывод автора заметки о том, что среднедушевой доход в Ричии «явно больше». Чтобы разобраться в ситуации, он формализовал условие и попытался доказать этот вывод математически. Однако вскоре Юный Экономист понял, что вывод этот просто-напросто неверен! Юный Экономист смог подобрать такой пример, удовлетворяющий условию, при котором среднедушевой доход в Ричии на самом деле получается на 4% меньше, чем среднедушевой доход в Пурии.

а) (5 баллов) Объясните, как возможна такая «парадоксальная» ситуация, при которой среднедушевой доход в каждой из групп в одной стране больше, чем среднедушевой доход в соответствующей группе в другой стране, а при этом среднедушевой доход всей страны оказывается меньше, чем среднедушевой доход другой страны.
б) (10 баллов) Если взять за основу пример Юного Экономиста, то коэффициент Джини в Ричии окажется равен 0,5. Найдите (для примера Юного Экономиста) коэффициент Джини в Пурии.

Комментарии

Можно было в а) привести конкретный пример такой ситуации со своими числами?
Вопрос исчерпан
кто-нибудь может попробовать?
К формуле G=x-y конечно пришла. Подскажите (направьте) дальнейшие действия.
А дальше все, как указано в решении. График и отношения площадей нужны только для того, чтобы прийти к формуле.
Спасибо. Поняла. Я думала может как-то по-другому.
Объясните ,пожалуйста, почему в решении сначала вы задаете $ \alpha=\frac{n_1}{n_1+n_2} $ , но потом n1 заменяете на $alpha$ : $$\frac{8n_1}{8n_1+72n_2}=\frac{8\alpha}{8\alpha+72(1-\alpha)}.$$ Это происходит вследствие умозаключении или как-то математически?не понимаю(((
Разделите числитель и знаменатель на $n_1+n_2$, и тогда все станет понятно.
$(1-\alpha=1-\frac{n_1}{n_1+n_2}=\frac{n_2}{n_1+n_2}$)
n1 не меняют на alfa, произведены равносильные преобразования, не требующие больших усилий их проверить.
Елизавета, решение этой задачи ,представленное автором не единственное, если вам оно "не по душе" придумайте свое.
вместо альфа подставь n1/(n1+n2). n1+n2 сократится.