Сюрприз для «Сюрприза»

(б) Теперь фирма учитывает налог при выборе объема выпуска:
$\pi(Q)=(11-Q)Q-Q-2Q\rightarrow\max$
Оптимум достигается в вершине параболы, $Q^{\star}=4$ .
Сумма сборов равна $4\cdot 2=8$. Прибыль фирмы после налогообложения равна 16.

(в) Узнав о введении налога и успев подстроить выпуск, фирма смогла заработать дополнительно $16-15=1$ д.е. При этом из-за того, что фирма узнала о введении налога, государство потеряло $10-8=2$ д.е.

(г) Пусть $\pi(Q)$ — прибыль фирмы до уплаты налога как функция от ее выпуска. В ситуации, когда фирма не знает о налоге, она выбирает выпуск $Q_1$, который максимизирует эту функцию. Тогда прибыль фирмы, если она не знает о налоге, равна $\pi(Q_1)-T_1$ , где $T_1$ — налоговые сборы государства в данной ситуации.
Обозначим за $Q_2$ выпуск, который фирма выбирает, если знает о налоге. Ее прибыль в этой ситуации равна $\pi(Q_2)-T_2$, где $T_2$ — налоговые сборы государства, если фирма знает о налоге.

Тогда выигрыш фирмы от «знания о налоге» равен $(\pi(Q_2)-T_2)-(\pi(Q_1)-T_1)$ , а проигрыш государства равен $T_1-T_2$.
Требуемое неравенство тогда запишется как
$$(\pi(Q_2)-T_2)-(\pi(Q_1)-T_1)\leq T_1-T_2,$$
что эквивалентно
$$\pi(Q_1)\geq \pi(Q_2).$$
Однако последнее неравенство верно, так как $\pi(Q_1)$ — это значение функции $\pi(Q)$ в точке максимума, а $\pi(Q_2)$ — это значение той же функции в какой-то точке.