Льготы для малого бизнеса

Так как из того, что $q=\sqrt{L}$ следует, что $L=q^2$ можно записать затраты фирмы на оплату труда как $5*L=5*q^2$. При этом, так как малое предприятие может использовать не больше 4 единиц труда, то его выпуск не превышает двух тонн продукции q≤2. (1 балл)
Рассмотрим сначала ситуацию, когда фирма не сталкивается с налогом. В этом случае прибыль фирмы имеет вид: $pr=pq-5q^2$. Это парабола, с ветвями направленными вниз, и с вершиной в точке q=0,1p. Эта вершина удовлетворяет условию q<2 при p<20. Таким образом, при p<20 оптимально быть малым предприятием, даже если не учитывать налог (а уж с налогом и подавно). (2 балла)
Теперь рассмотрим ситуацию, когда p≥20. В этой ситуации фирме будет выгодно либо производить ровно две тонны продукции (максимальный выпуск, при котором не надо платить налог), либо производить больше двух тонн и платить налог. (2 балла)
Если фирма производит ровно две тонны продукции, то ее прибыль составит
$pr_1=p*2-20=(p-10)*2$. (1 балл)
Если фирма будет производить больше двух тонн, то ее прибыль будет иметь вид
$pr=pq-5q^2-10q$ (относительно q — это парабола с ветвями направленными вниз). (1 балл) Ее максимальное значение будет достигаться в вершине параболы при q=0,1p-1 и составит
$pr_2=p(0,1p-1)-5(0,1p-1)^2-10(0,1p-1)=(p-10)^2*0,05$ (1 балл)
В каком случае фирма решит выбрать первый вариант из двух? В том случае, когда прибыль от него не меньше, чем от второго (3 балла):
$pr_1≥pr_2$
$(p-10)*2≥(p-10)^2*0,05$
С учетом того, что мы рассматриваем ситуацию, когда p≥20, это неравенство легко решить:
2≥(p-10)*0,05
p≤50
Итак, теперь мы знаем, что при цене от 20 до 50 д.е. фирма будет производить ровно две тонны продукции. А при цене больше 50 д.е. ее выпуск составит q=0,1p-1. (2 балла)
Теперь можно записать функцию предложения фирмы:

Ниже представлен требуемый график, на котором жирные линии изображают три участка функции предложения (2 балла):