Перераспределение доходов

(а) Пусть бедные получают Х, средний класс – 2Х, а богатые – 4Х. Тогда доход жителей всей страны равен Y=7Х, где Х=1/7 (в долях). Доля каждой группы равна 1/3.(1 балл)
График оценивается в 2 балла.

$$G=\frac{1/2*1*7X-(1/2*1/3*(X+2X+4X)+2*1/3*X+1/3*2X)}{1/2*1*7X}$$ (2 балла)
б) Абсолютное равенство достигается при равенстве доходов после уплаты налогов трех групп населения: $(1-t_{poor}^*)*X=(1-t_{middle}^*)*2X=(1-t_{rich}^*)*4X$ (1 балл)
Определим в общем виде все t* (по 1 баллу).
$(1-t_{poor}^*)*X=(1-t_{middle}^*)*2X$ , получим $t_{middle}^*=1/2(t_{poor}^*+1)$
$(1-t_{poor}^*)*X=(1-t_{rich}^*)*4X$, получим $t_{rich}^*=1/4(t_{poor}^*+3)$

Обозначим $t = t*_{poor}$
$t_{middle}^*=1/2(t+1)$
$t_{rich}^*=1/4(t+3)$
(1 балл) Доходы государства:
Т = t*X+1/2(t+1)*2X+(1/4t+3/4)*4X=3Xt+4X=3/7tY+4/3Y

в) После уплаты налогов все три группы будут получать одинаковый доход. Поэтому коэффициент Джини станет равен нулю. Так как все ценят не только сумму заработанных средств, но и свободное время, то богатые и средний класс могут снижать время работы или вовсе отказываться от дополнительного заработка в пользу свободного времени. В этом случае доходы государства будут сокращаться.(2 балла) В предельном случае, если бы средний класс и богатые отказались вовсе от дополнительного заработка в пользу свободного времени, доходы государства составили бы Т = 3tX, что на 4Х меньше налоговых поступлений в пункте (б).(1 балл)

г) Выразим налоговые поступления (2 балла):
$ 4X*(1/4t+3/4)*(1-2t)+2X*(1/2t+1/2)*(1-2t+2t)+X*t*(1+2t) \rightarrow max$
$7/2-3t \rightarrow max$
t=0

В каждом слагаемом первый множитель – доход (4Х, 2Х, Х); второй множитель – ставка налога, посчитанная в предыдущем пункте; третий множитель – доля людей, перешедшая в более бедную группу и пришедшая из более богатой группы.
Значит, оптимальные налоги на богатых – 75%, на средний класс – 50%, на бедных – 0%, ни один из индивидов не перейдет в другую социальную группу (1 балл).