25.01.2016, 18:00

Сооснователь сайта ILoveEconomics.
Репетитор по экономике.
Организатор Выездных школ.
Мои задачи и подборки.
О других проектах: hatsevich.ru

На сайте с 2008 г. (блог)
Пункт в) задачи 1 можно довольно легко решить, нарисовав общую КВП в координатах пироги ($p$) — морс ($z$) и выбрав на ней точку в нужной нам пропорции.

Будем по горизонтали откладывать общее количество пирогов ($p$), по вертикали — общее количество морса ($z$).

Самая верхняя точка общей КПВ, очевидно, (p=0, z=120+120=240). Пусть мы стоим в этой точке общей КПВ и хотим увеличить производство $p$. Мы выберем такой способ, чтобы минимизировать потери $z$. (Где бы мы ни произвели иксы и игреки, мы будем перевозить игреки туда, где лежат иксы, и там будут получаться пироги в соответствии с пропорцией 1 пирог из 2 иксов и 1 игрека, которая в обеих странах одинакова.) Посмотрим на уравнения КПВ двух стран и на технологию производства пирогов. В расчёте на одну единицу $p$ нам в любом случае придётся затратить 2 единицы $z$, чтобы произвести 2 единицы $x$, вне зависимости от того, как мы распределим производство $x$ между странами; также нам нужна 1 единица $y$, и самый дешёвый способ её произвести — в стране 1, затратив 1 единицу $z$. Итого на 1 единицу $p$ мы затратим 2+1=3 единицы $z$, т.е. мы начнём двигаться по общей КПВ с наклоном $\Delta z / \Delta p = -3$. Более дешёвого способа не существует. Мы сможем двигаться с таким наклоном, покуда в стране 1 не кончатся ресурсы (т.е. до тех пор, пока у нас есть возможность производить игреки, тратя на 1 единицу $y$ всего 1 единицу $z$). Ресурсы страны 1 не кончатся максимально долго, если мы будем производить иксы в стране 2 (потери $z$ от производства 1 единицы $x$ в двух странах одинаковые, но производя иксы в стране 2, мы экономим ресурсы в стране 1), что мы и будем делать по мере увеличения $p$. Когда мы дойдём до $p=60$, кончатся ресурсы в стране 2 $(x_2=120)$, а в стране 1 останется ещё 60 единиц $z$. Мы продолжим обменивать их на пироги с тем же наклоном, равным -3, продолжая использовать местные игреки, но заменив чужие иксы на иксы местного производства. Эти 60 единиц $z$ израсходуются, когда мы произведём ещё 20 единиц $p$.
Таким образом, общая КПВ задаётся простой формулой $z=240-3p$ при любом $p \in [0;80]$.

Осталось только пересечь её лучом $z=p$, чтобы получить $z=p=60$ полдников.



Примечание 1

Почему общая КПВ получилась такая простая? Если посмотреть на формулы КПВ двух стран, то видно, что вторая страна — такая же, как первая, только хуже в одном аспекте: у неё более ущербная технология производства игреков (тратится больше ресурсов на единицу). Для пирогов нам нужно в два раза меньше игреков, чем иксов; и поскольку больше 240 иксов мы всё равно не можем произвести, то нам никогда не потребуется больше 120 игреков; а такое количество игреков мы можем произвести, ограничившись только страной 1. Таким образом, мы никак не пострадаем от более ущербной технологии производства игреков в стране 2 — и итоговая КПВ получится такой, как если бы страна 2 была в точности такой, как страна 1, т.е. мы бы просто удвоили ресурсы страны 1.

Примечание 2
Заметим, что поскольку технологии производства пирогов из иксов и игреков в двух странах одинаковы и поскольку мы можем перевозить игреки и пироги, то нам не важно, можно ли перевозить иксы или нет: где бы ни были произведены иксы и игреки, мы всегда сможем перевезти игреки к икcам и сделать там из них пироги. Поэтому имеет значение лишь суммарное количество произведённых иксов, игреков, ну и зетов.