Для начала немного формализуем условие:
при $p = 0,5$: $y = 0,5L_y$ и $x = L_x$;
при $1 - p = 0,5$: $y = L_y$ и $x = 0,5L_x$.
Тогда можем найти ожидаемые директором производственные функции Петра:
$$x_e = 0,5L_x + 0,5 \cdot 0,5L_x = 0,75L_x$$
$$y_e = 0,5L_y + 0,5 \cdot 0,5L_y = 0,75L_y$$
Далее выразим $L_x$ и $L_y$ и подставим в ограничение по количеству часов:
$$L_x = \dfrac{4}{3}x, ~~~ L_y = \dfrac{4}{3}y \Rightarrow \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{3}y = 8 \Rightarrow x + y = 6$$
Вспомним, что олимпиады и праздники потребляются в пропорции $1$ к $m$, значит $y = mx$. Получаем систему:
$
\begin{cases}
x + y = 6;\\
y = mx.
\end{cases}$
Решив систему, получаем, что $x = \dfrac{6}{1 + m}, ~~~ y = \dfrac{6m}{1 + m}$, а значит директор пропишет в контракте следующие часы работы: $L_x = \dfrac{8}{1 + m}, ~~~ L_y = \dfrac{8m}{1 + m}$.
Работая столько часов, Петр фактически произведет $x = L_x = \dfrac{8}{1 + m}$ и $y = 0,5L_y = \dfrac{4m}{1 + m}$.
Теперь найдем, какое количество комплектов получает директор: чтобы было $\dfrac{8}{1 + m}$ комплектов, нужно $x = \dfrac{8}{1 + m}$ и $y = \dfrac{8m}{1 + m}$, но Петр произвел лишь $y = \dfrac{4m}{1 + m}$, поэтому всего у директора оказалось лишь $\dfrac{4}{1 + m}$ комплектов.

Если производственные функции были известны директору с единичной вероятностью, то $L_x = x, ~~~ L_y = 2y$. Снова запишем ограничение на количество часов работы $x + 2y = 8$ и решим следующую систему:
$
\begin{cases}
x + 2y = 8;\\
y = mx.
\end{cases}$
Получим, что $x = \dfrac{8}{1 + 2m}$ и $y = \dfrac{8m}{1 + 2m}$, значит директор получает $\dfrac{8}{1 + 2m}$ комплектов.
Остается записать разницу в количестве комплектов и приравнять ее к $0,4$.
$$\dfrac{8}{1 + 2m} - \dfrac{4}{1 + m} = 0,4$$
$$2m^2 + 3m - 9 = 0$$
$$m = 1,5$$

а) Поехали. Для начала запишем обратный спрос на труд в промышленности:
$$ MRP_{L_y} = P_y \cdot MP_{L_x} = 100 - 20L_y = w_y $$
$$ L_y = \dfrac{100 - w_y}{20} \Rightarrow L^d_y = 50 - \dfrac{w_y}{2} \Rightarrow w_y = 100 - 2L^d_y $$
Мы знаем, что там точно будет работать $15$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $100 - 2 \cdot 15 = 70$.

Спрос на труд в сельском хозяйстве:
$$ MRP_{L_x} = P_x \cdot MP_{L_x} = 70 - 10L_x = w_x $$
$$ L_x = \dfrac{70 - w_x}{10} \Rightarrow L^d_x = 70 - w_x \Rightarrow w_x = 70 - L^d_x $$
Мы знаем, что там точно будет работать $45$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $70 - 45 = 25$.
Ответ: зарплата в промышленности будет равна $70$ руб., в сельском хозяйстве – $25$ руб.

б) В этом случае зарплаты в двух секторах должны быть равны, иначе начнется миграция.
$$ w_x = w_y $$
$$ 100 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 30 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 30 = 60 $$
$$ L_y = 30 \Rightarrow w_x = w_y = 100 - 2 \cdot 30 = 40. $$
Ответ: зарплата равна $40$ руб. в обоих секторах.

в) Миграция происходит из сельской местности в город. Следовательно, платить за кровать будут в городе, поэтому зарплата в городе должна быть на $15$ единиц больше, чтобы работнику было без разницы, где работать. Если это не так, то это не равновесие и начинается миграция.
$$ w_y - 15 = w_x $$
$$ 85 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 15 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 15 = 60 $$
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 100 - 2*25 = 50 $$
$$ w_x = 35. $$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в городе и $35$ руб. в сельской местности.

г) Максимизируем выручку:
$$ W_yL_y = 100L_y - 2L^2_y $$
Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 50 $$
$$ L_x = 60 - 25 = 35 \Rightarrow w_x = 70 - 35 = 35.$$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в промышленности (что больше чем $40$, которые были бы без профсоюза) и $35$ руб. в сельском хозяйстве.

а) Выведем предложение. Поскольку рынок является совершенно конкурентным, приравняем $P$ (цену) и $MC$ (предельные издержки).

$$MC = 4q + 10 = P$$
$$q = \dfrac{P-10}{4}$$

Получили предложение одной фирмы, тогда совокупное предложение на рынке составит:
$$Q_S = 80q = 20P - 200$$

Теперь найдем равновесие, приравняв спрос и предложение:
$$20P - 200 = 200 - 5P$$
$$P^* = 16, ~ Q^* = 120, ~ q^* = 1,5$$

Осталось найти прибыль одной фирмы.
$$\Pi = TR - TC = P^* \cdot q^* - 2(q^*)^2 - 10q^* - 2021 = 16\cdot 1,5 - 2\cdot (1,5)^2 - 10 \cdot 1,5 - 2021 = -2016,5$$

б) Заметим, что налог на выручку полностью эквивалентен акцизу. Действительно, $TR_s = P_sQ= (1-t)TR_d = (1-t)P_dQ$, тогда $P_s = (1-t)P_d$ или $P_d - P_s = tP_d$.

Итак, мы поняли, что налог на выручку – это то же самое, что акциз. Далее, из эквивалентности налогов, максимальные налоговые сборы достигаются при единственных значениях $P_d$ и $P_s$. Тогда найдем эти значения через потоварный налог.

Мы знаем, что оптимум потоварного налога: $t_p= \dfrac{P_{max}-P_{min}}{2} = \dfrac{40-10}{2}=15$. Введем данный потоварный налог для нахождения $P_d$ и $P_s$:

$$200-5(P_s+15) = 20P_s-200$$
$$ 325 = 25P_s $$
$$P_s = 13, ~P_d=28$$

Теперь связка для акциза: $P_d - P_s = t_a P_d$ или $15 = 28t_a$, тогда $t_a =15/28=\dfrac{15}{28}$.

в) Будем действовать аналогично. Будем вводить потоварный налог, а из него восстанавливать величину акциза, которая равна налогу на выручку. Пусть $t$ – потоварный налог.

$$200-5P_d = 20(P_d-t)-200$$
$$P_d = 16+0.8t~~~P_s = 16-0.2t$$
Тогда посчитаем зависимость излишков от величины $t$:
$$CS = 1.6(30-t)^2$$
$$PS = 0.4(30-t)^2$$
Заметим, что ставка потоварного налога, при котором достигается равенство не меньше 30. Тогда
$$P_d-P_s = 30 = 40t_a$$
$$t_a= 0.75$$

Тогда ответ: $t_a\geqslant 0.75$

Приведем решение «в лоб» – через максимизацию прибыли. Также в данной задаче было возможно графическое решение через построение графика суммарного предложения для двух рынков.

а) Запишем функцию прибыли фирмы «Вершина» и промаксимизируем ее:
$\Pi = Q_d(200 - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
$\begin{cases}
\Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
\\
\Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0
\end{cases}$
$Q_d = 20, ~ Q_w = 60$
б) Аналогично пункту а) решим пункт б).

1. $\Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
   $\begin{cases}
   \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - t - 4Q_d - 2Q_w = 0
   \\
   \Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0
   \end{cases}$
   $Q_w = 80 - Q_d, ~~ Q_d = \dfrac{40 - t}{2}$
   Запишем и промаксимизируем налоговые сборы:
   $T = 20t - 0,5t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$
   Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:
   $t = 20 \Rightarrow T_{max} = 400 - 200 = 200$
2. $\Pi = Q_d(200 - Q_d) + (160 - t)Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
   $\begin{cases}
   \Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
   \\
   \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2Q_d - 2Q_w = 0
   \end{cases}$
   $Q_d = 50 - 0,5Q_w, ~~ Q_w = 60 - t$
   Максимизируем налоговые сборы:
   $T = 60t - t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$
   Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:
   $t = 30 \Rightarrow T_{max} = 1800 - 900 = 900$
3. $\Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + (160 - t)Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
   $\begin{cases}
   \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
   \\
   \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2Q_d - 2Q_w = 0
   \end{cases}$
   $Q_d = 20, ~~ Q_w = \dfrac{120 - t}{2}$
   Максимизируем налоговые сборы:
   $T = 20t + 60t - 0,5t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$
   Это парабола ветвяими вниз, поэтому максимум функции – в вершине:
   $t = 80 \Rightarrow T_{max} = 1600 + 4800 - 3200 = 3200$

в) В пунктах $1$ и $2$ суммарные налоговые сборы составили $1100$, в пункте $3$ же – $3200$. При введении налога на одном рынке у фирмы-монополиста есть возможность переключиться на другой рынок, поэтому государство не может получать максимально возможные налоговые сборы, как если бы, например, у фирмы просто не было доступа ко второму рынку в принципе. Когда налог вводится сразу на двух рынках, где фирма осуществляет свою деятельность, у фирмы нет той свободы в перераспределении продаж между рынками, поэтому налоговые сборы получаются выше.

1. Бюджетное ограничение Элли: $pq \leqslant 20$ или $q \leqslant \frac{20}{p}$.

   Промаксимизируем полезность:
   $$U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \underset{q \geqslant 0}{max}$$
   $$q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p$$
   Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому $p \leqslant 21$.

   Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:
   $$21 - p \leqslant \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geqslant 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geqslant 0$$
   $$\left[
   \begin{gathered}
   0 \leqslant p \leqslant 1
   \\
   20 \leqslant p \leqslant 21
   \end{gathered}
   \right.$$
   Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно $\frac{20}{p}$, т.е. она просто потратит весь свой доход.

   Так, можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:
   $$q^d =
   \begin{cases}
   21 - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
   \\
   \frac{20}{P},& 1 < P < 20
   \\
   21 - P,& 20 \leqslant P \leqslant 21
   \\
   0,& P > 21
   \end{cases}
   $$
   Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от $\alpha$:
   $$Q^d =
   \begin{cases}
   21 + \alpha - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
   \\
   \frac{20}{P} + \alpha,& 1 < P < 20
   \\
   21 + \alpha - P,& 20 \leqslant P < 21
   \\
   0,& P \geqslant 21
   \end{cases}
   $$

2. Рассмотрим 4 случая, в каждом из которых будем максимизировать прибыль монополиста.
   1. $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
      $$\Pi_1 = 21P - P^2 - 126 + 6P = -P^2 +27P-126$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$P^* = \frac{27}{2} = 13,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$
      Видно, что найденная цена не принадлежит нужному промежутку, поэтому выбираем ближайшее значение из промежутка (поскольку имеем дело с параболой ветвями вниз, чем дальше мы от вершины, тем меньше значение функции). Значит $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 540 - 126 = 14$.
   2. $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$
      $$\Pi_2 = 20 - \frac{120}{P}$$
      $$\Pi'_2 = \frac{120}{P^2} > 0 \forall P$$
      Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное значение цены: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 6 = 14$.
   3. $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
      $$\Pi_3 = 21P + \alpha P - P^2 - 126 - 6\alpha + 6P - \alpha^2 = -P^2 + (27 + \alpha)P - 126 - 6\alpha - \alpha^2$$
      функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз по $P$, поэтому максимум – в вершине.
      $$P^* = \frac{27 + \alpha}{2} \Rightarrow \alpha \in [13, 15]$$
      Подставим найденное значение цены в прибыль и промаксимизируем по $\alpha$:
      $$\Pi_3 = \frac{(27 + \alpha)^2}{4} - 126 - 6\alpha - \alpha^2 = -0,75\alpha^2 + 7,5\alpha + 56,25$$
      Функция прибыли имеет вид параболы с ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$\alpha^* = 5 \notin [13, 15]$$
      Найденное оптимальное значение не принадлежит промежутку, поэтому будем брать ближайшее допустимое, т.е. $\alpha^* = 13 \Rightarrow \Pi_3 = -0,75\cdot 169 + 7,5 \cdot 13 + 56,25 = 27$.
   4. $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$
      $$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{120}{P} - 6\alpha - \alpha^2 = -\alpha^2 + (P - 6)\alpha + 20 - \frac{120}{P}$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, поэтому максимум – в вершине.
      $$\alpha^* = \frac{P - 6}{2}$$
      Подставим полученное значение обратно в прибыль:
      $$\Pi_4 = \frac{(P - 6)^2}{4} + 20 - \frac{120}{P}$$
      $$\Pi'_4 = \frac{P - 6}{2} + \frac{120}{P^2} > 0~ \text{при допустимых} ~a$$
      Получили, что производная всегда положительна на ограничении, значит будем выбирать наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 49 + 20 - 6 = 63$.

   Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает $P^* = 20$, а значит $\alpha = \frac{20 - 6}{2} = 6$, а прибыль равна 63.

3. Точно так же, как и в предыдущем пункте рассмотрим 4 случая.
   1. $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
      $$\Pi_1 = 21P - P^2 - 210 + 10P = -P^2 + 31P - 210$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, значит максимум – в вершине.
      $$P^* = \frac{31}{2} = 15,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$
      Найденное оптимальное значение не принадлежит допустимому промежутку, поэтому выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 620 - 210 = 10.$
   2. $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$
      $$\Pi_2 = 20 - \frac{200}{P}$$
      $$\Pi'_2 = \frac{200}{P^2} > 0$$
      Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 10 = 10$.
   3. $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
      $$\Pi_3 = (21 - P)P + \alpha P - 10(21 - P) - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + (21 - P)(P - 10) - 6$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$P^* = \frac{P - 10}{10}$$
      Подставим найденное значение цены обратно в прибыль:
      $$\Pi_3 = \frac{(P - 10)^2}{20} - (P - 21)(P - 10) - 6$$
      $$\Pi'_3 = \frac{P - 10}{10} - P + 10 - P + 21 - 6 = 0$$
      $$P^* = \frac{240}{19} \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$
      Найденное оптимальное значение не принадлежит оптимальному промежутку, выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_3 = 5 + 10 - 6 = 9$.
   4. $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$
      $$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{200}{P} - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + 14 - \frac{200}{P}$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, значит максимум – в вершине.
      $$\alpha^* = \frac{P - 10}{10}$$
      Подставим найденное значение обратно в прибыль:
      $$\Pi_4 = \frac{(P - 10)^2}{20} - \frac{200}{P} + 14$$
      $$\Pi'_4 = \frac{P - 10}{10} + \frac{200}{P^2} > 0$$
      Получили, что производная положительна для всех допустимых $P$, значит функция все время возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 5 - 10 + 14 = 9$.

   Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна $10$ и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при $\alpha = 0$.

1. Зимой спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение: $Q^s = 3P$. Равновесию соответствует точка пересечения кривых спроса и предложение. Аналитически нам нужно просто приравнять их уравнения: $100 - P = 3P \Rightarrow P^*_w = 25,~ Q^*_w = 100 - 25 = 75$.

   Летом спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение до появления новой технологии имеет вид $Q^s = P$. Тогда равновесие: $100 - P = P \Rightarrow P^*_{s_1} = 50,~ Q^*_{s_1} = 50$.

2. С появлением новой технологии до вмешательства государства предложение имело вид: $Q^s = 2P$. Тогда равновесие: $100 - P = 2P \Rightarrow P^*_{s_2} = \frac{100}{3},~ Q^*_{s_2} = \frac{200}{3}$.
3. 1. Первый вариант решения:

      Условие можно было понять так, что государство своими закупками увеличивает спрос на $2a$ при каждом значении цены. Тогда спрос будет иметь вид $Q^d = 100 + 2a - P$, а предложение – $Q^s = P$. Равновесие на этом рынке: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = 50 + a,~ Q^* = 50 + a$. Изобразим спрос и предложение на графике:

      

      Общественное благосостояние – это сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства. Графически излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек производителей – площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене. Излишек государства в данном случае это просто его расходы, то есть $-a^2$. Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (a + 50)(2a + 100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) -a^2 = a^2 + 100a + 2500 - a^2 = 100a + 2500$. Видно, что общественное благосостояние возрастает по $a$, а значит, если государство старается максимизировать общественное благосостояние, то будет выбирать как можно большее значение $a$. Поскольку $a$ никак не ограничено, оптимальный выбор государства: $a \rightarrow +\infty$.

   2. Второй вариант решения:

      На самом деле государство не может увеличить спрос на константу при любом значении цены. Если цена поднимется выше максимальной цены, которую готовы платить потребители (в нашем случае это $100$), то спрос будет предъявлять только государство на уровне $2a$, т.е. при $P > 100$ мы будет иметь вертикальный участок спроса $Q = 2a$. При этом равновесие у нас будут при: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = a+50,~ Q^* = a + 50$.

      В этом случае общественное благосостояние – это всё ещё сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства, однако графически они будут считаться немного иначе. Изобразим спрос и предложение на графике:

      

      Излишек производителей графически – это площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса (только участком, соответствующим самим потребителям, а не государству и потребителям) и прямой, соответствующей равновесной цене. Для удобства заштрихуем эти фигуры на графике:

      

      Зелёным цветом заштрихован треугольник, соответствующий излишку потребителей, красным цветом – треугольник, соответствующий излишку производителей. Излишек государства составляет $-a^2$.

      Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (50 - a)(100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) - a^2 = 2500$. В этом случае общественное благосостояние постоянно и равно $2500$.

      Однако, если государство закупит достаточно много пирожков с голубикой, цена вырастет настолько, что потребители больше не будут покупать этот товар. Графически эта ситуация выглядит так:

      

      Произойдёт это в том случае, если закупки государства, то есть $2a$ превысят $100$, т.е. при $a > 50$. В этом случае равновесие складывается при $P^* = 2a,~ Q^* = 2a$. Излишек потребителей в этом случае равен $0$, поскольку они не покупают пирожки с голубкой совсем, а излишек производителей будет равен $0,5 \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$. Тогда общественное благосостояние имеет вид: $SW = 2a^2 - a^2 = a^2$. Видно, что при любом положительном $a$ общественное благосостояние бесконечно возрастает с ростом $a$. Поскольку государство стремится сделать общественное благосостояние как можно выше, оно выберет бесконечно большое $a$ и, соответственно, бесконечно большое общественное благосостояние.

4. Если бы государство не запрещало новую технологию, то общественное благосостояние составило бы: $SW = 0,5\cdot \frac{200}{3}(100 - \frac{100}{3}) + 0,5\cdot \frac{200}{3} \cdot \frac{100}{3} = \frac{10000}{3}$. В случае запрета технологии, но наличия государственных закупок, общественное благосостояние стремится к бесконечности. Таким образом, государству удалось значительно увеличить общественное благосостояние.

Начнём с того, что в условии указана производительность Кирилла и Гоши за $2$ часа работы. Этот факт необязательно использовать при решении, однако, если участники делили объёмы производства на $2$ и решали всю задачу с этими числами, баллы не снижались. Здесь же приведём решение для объёмов производства за $2$ часа.

1. Альтернативная стоимость производства экспериментов для Кирилла: $AC^K_e = 2$, альтернативная стоимость производства экспериментов для Гоши: $AC^G_e = 0,25$. Суммарно Кирилл и Гоша могут произвести $100$ экспериментов или $60$ единиц мерча. Построим кривую производственных возможностей Гоши и Кирилла, руководствуясь тем, что альтернативная стоимость производства растёт с ростом объёмов производства.

   

   Функция полезности Миши $U = min{x, y}$. Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид «уголков», вершины которых располагаются на прямой $y = x$. Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:

   

   Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: $y = 240 - 4x$. Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой $y = x$: $240 - 4x = x \Rightarrow x^* = 48,~ y^* = 48$. Таким образом, в оптимуме будет потребляться по $48$ единиц мерча и экспериментов.

2. Здесь стоит рассмотреть два случая.
   1. Первый случай: оптимум находится на первом (слева-направо) участке КПВ.

      Уравнение первого участка КПВ: $y = 100 - 0,5x,~ x \in [0, 40]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
      $$U_1 = -x^2 + 8,5x + 100 - 0,5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \underset{x \in [0, 40]}{max}$$
      Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40],~ y^* = 98$$
      $$U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116$$

   2. Второй случай: оптимум находится на втором (слева-направо) участке КПВ.

      Уравнение второго участка КПВ: $y = 240 - 4x,~ x \in [40, 60]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
      $$U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \rightarrow \underset{x \in [40, 60]}{max}$$
      Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$x_{\text{в}} = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]$$
      Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это – $x = 40$, тогда найдём полезность:
      $$U_2^* = -1600 + 180 + 240 = -1180$$

   Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.

3. Запишем бюджетное ограничение Антона в общем виде:
   $P_x \cdot x + P_y \cdot y \leqslant I$, где $P_x,~ P_y$ – цены мерча и экспериментов соответственное, а $I$ – доход Антона. С учётом данных из условия можем переписать бюджетное ограничение Антона в следующем виде: $P_x \cdot x + y \leqslant I$ или $y \leqslant I - P_x \cdot x$. Заметим, что если $y < I - P_x \cdot x$, мы может немного увеличить $y$ и уменьшить $x$, при этом увеличив полезность, поэтому неравенство можно заменить на равенство. Тогда подставим бюджетное ограничение в полезность Антона и промаксимизируем:
   $$U = -x^2 + 8,5x + I - P_x \cdot x = -x^2 + (8,5 - P_x)x + I \rightarrow \underset{0 \leqslant x \leqslant \frac{I}{P_x}}{max}$$
   Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
   $$x^* = \frac{8,5 - P_x}{2}$$
   Заметим, что если $P_x > 8,5$, то товар $x$ становится слишком дорогим, и Антон перестаёт его покупать, т.е. $x^* = 0,~ P_x > 8,5$. С другой стороны, если расходы на товар $x$ в оптимуме превышают доход Антона, то он будет потреблять ровно $x^* = \frac{I}{P_x},~ \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}$.

   Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
   $$x^d =
   \begin{cases}
   0,& P_x > 8,5
   \\
   \frac{8,5 - P_x}{2},& P_x \leqslant 8,5,~ \frac{8,5 - P_x}{2} \leqslant \frac{I}{P_x}
   \\
   \frac{I}{P_x},& \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}
   \end{cases}
   $$

1. Запишем обратную функцию спроса: $P^d = 100 + 20\beta - Q$. Теперь можем записать функцию прибыли монополиста:
   $$\Pi = (100 + 20\beta)Q - Q^2 - (1 + \beta)Q^2 - 100 - 50\beta = -(2 + \beta)Q^2 + (100 + 20\beta)Q - 100 - 50\beta \rightarrow \underset{Q \geqslant 0}{max}$$
   Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $Q$, поэтому максимум – в вершине.
   $$Q^* = \frac{100 + 20\beta}{2(2 + \beta)}$$
   Подставим найденное оптимальное количество обратно в прибыль:
   $$\Pi = -\frac{(2 + \beta)(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)^2} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{2(2 + \beta)} - 100 - 50\beta = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$
   Сравним прибыли при $\beta = 0$ и $\beta = 1$:
   $$\Pi(\beta = 0) = \frac{100 \cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1250 - 100 = 1150$$
   $$\Pi(\beta = 1) = \frac{120 \cdot 120}{4\cdot 3} -100 - 50 = 1200 - 150 = 1050$$
   Очевидно, $\Pi(\beta = 0) > \Pi(\beta = 1) \Rightarrow \beta^* = 0,~ \Pi^* = 1150,~ Q^* = \frac{100}{4} = 25$.
2. Аккордная субсидия просто прибавляется к прибыли, как константа. Для того, чтобы фирме было выгодно выбрать экологичное производство, должно выполняться неравенство: $\Pi(\beta = 0) \leqslant \Pi(\beta = 1) + S$, где $S$ – размер субсидии. Подставив числа из предыдущего пункта, получим:
   $$1150 \leqslant 1050 + S \Rightarrow S \geqslant
   100$$
3. Оптимальный выбор объёма производства в зависимости от $\beta$ не изменится, поэтому прибыль в зависимости от $\beta$ имеет вид: $\Pi = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$. Тогда совокупная функция полезности имеет вид:
   $$U = \sqrt{\beta} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$
   Сравним полезности при $\beta = 0$ и $\beta = 1$:
   $$U(\beta = 0) = \frac{100\cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1150$$
   $$U(\beta = 1) = 1 + \frac{120\cdot 120}{4\cdot 3} - 100 - 50 = 1051$$
   Видно, что $U(\beta = 0) > U(\beta = 1)$, поэтому государство выберет $\beta^* = 0$

а) Поехали. Для начала запишем обратный спрос на труд в промышленности:
$$ MRP_{L_y} = P_y \cdot MP_{L_x} = 100 - 20L_y = w_y $$
$$ L_y = \dfrac{100 - w_y}{20} \Rightarrow L^d_y = 50 - \dfrac{w_y}{2} \Rightarrow w_y = 100 - 2L^d_y $$
Мы знаем, что там точно будет работать $15$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $100 - 2 \cdot 15 = 70$.

Спрос на труд в сельском хозяйстве:
$$ MRP_{L_x} = P_x \cdot MP_{L_x} = 70 - 10L_x = w_x $$
$$ L_x = \dfrac{70 - w_x}{10} \Rightarrow L^d_x = 70 - w_x \Rightarrow w_x = 70 - L^d_x $$
Мы знаем, что там точно будет работать $45$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $70 - 45 = 25$.
Ответ: зарплата в промышленности будет равна $70$ руб., в сельском хозяйстве – $25$ руб.

б) В этом случае зарплаты в двух секторах должны быть равны, иначе начнется миграция.
$$ w_x = w_y $$
$$ 100 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 30 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 30 = 60 $$
$$ L_y = 30 \Rightarrow w_x = w_y = 100 - 2 \cdot 30 = 40. $$
Ответ: зарплата равна $40$ руб. в обоих секторах.

в) Миграция происходит из сельской местности в город. Следовательно, платить за кровать будут в городе, поэтому зарплата в городе должна быть на $15$ единиц больше, чтобы работнику было без разницы, где работать. Если это не так, то это не равновесие и начинается миграция.
$$ w_y - 15 = w_x $$
$$ 85 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 15 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 15 = 60 $$
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 100 - 2*25 = 50 $$
$$ w_x = 35. $$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в городе и $35$ руб. в сельской местности.

г) Максимизируем выручку:
$$ W_yL_y = 100L_y - 2L^2_y $$
Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 50 $$
$$ L_x = 60 - 25 = 35 \Rightarrow w_x = 70 - 35 = 35.$$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в промышленности (что больше чем $40$, которые были бы без профсоюза) и $35$ руб. в сельском хозяйстве.

а) Выведем предложение. Поскольку рынок является совершенно конкурентным, приравняем $P$ (цену) и $MC$ (предельные издержки).

$$MC = 4q + 10 = P$$
$$q = \dfrac{P-10}{4}$$

Получили предложение одной фирмы, тогда совокупное предложение на рынке составит:
$$Q_S = 80q = 20P - 200$$

Теперь найдем равновесие, приравняв спрос и предложение:
$$20P - 200 = 200 - 5P$$
$$P^* = 16, ~ Q^* = 120, ~ q^* = 1,5$$

Осталось найти прибыль одной фирмы.
$$\Pi = TR - TC = P^* \cdot q^* - 2(q^*)^2 - 10q^* - 2021 = 16\cdot 1,5 - 2\cdot (1,5)^2 - 10 \cdot 1,5 - 2021 = -2016,5$$

б) Заметим, что налог на выручку полностью эквивалентен акцизу. Действительно, $TR_s = P_sQ= (1-t)TR_d = (1-t)P_dQ$, тогда $P_s = (1-t)P_d$ или $P_d - P_s = tP_d$.

Итак, мы поняли, что налог на выручку – это то же самое, что акциз. Далее, из эквивалентности налогов, максимальные налоговые сборы достигаются при единственных значениях $P_d$ и $P_s$. Тогда найдем эти значения через потоварный налог.

Мы знаем, что оптимум потоварного налога: $t_p= \dfrac{P_{max}-P_{min}}{2} = \dfrac{40-10}{2}=15$. Введем данный потоварный налог для нахождения $P_d$ и $P_s$:

$$200-5(P_s+15) = 20P_s-200$$
$$ 325 = 25P_s $$
$$P_s = 13, ~P_d=28$$

Теперь связка для акциза: $P_d - P_s = t_a P_d$ или $15 = 28t_a$, тогда $t_a =15/28=\dfrac{15}{28}$.

в) Будем действовать аналогично. Будем вводить потоварный налог, а из него восстанавливать величину акциза, которая равна налогу на выручку. Пусть $t$ – потоварный налог.

$$200-5P_d = 20(P_d-t)-200$$
$$P_d = 16+0.8t~~~P_s = 16-0.2t$$
Тогда посчитаем зависимость излишков от величины $t$:
$$CS = 1.6(30-t)^2$$
$$PS = 0.4(30-t)^2$$
Заметим, что ставка потоварного налога, при котором достигается равенство не меньше 30. Тогда
$$P_d-P_s = 30 = 40t_a$$
$$t_a= 0.75$$

Тогда ответ: $t_a\geqslant 0.75$

а) Известно, что потребители облагаются аккордным налогом $T$, значит располагаемый доход составляет $Y - T$, а тогда потребление $C = mpc (Y - T)$, т.к. автономное потребление и трансферты равны нулю.
Также нам дано, что государственный бюджет сбалансирован, а значит в отсутствие трансфертов $G = T = 200$.
Теперь воспользуемся формулой ВВП по расходам:
$$Y = C + G + I = mpc(Y - T) + G + I$$
$$Y = \dfrac{-mpc \cdot T + G + I}{1 - mpc} = \dfrac{-0,6 \cdot 200 + 200 + 100}{0,4} = 450$$

б) Воспользуемся формулой Оукена:
$$\dfrac{Y - Y^*}{Y^*} = -\beta (u - u^*),$$
где $Y$ – фактический ВВП, $Y^*$ – потенциальный ВВП, $\beta$ – коэффициент Оукена, $u$ – фактическая безработица и $u^*$ – естественная безработица.
Подставим в формулу имеющиеся у нас значения:
$$\dfrac{450 - 500}{500} = -2(u - 0,05)$$
$$u = 0,1$$

в) В соответствие с формулой Оукена, для того, чтобы снизить уровень циклической безработицы, необходимо увеличить фактический ВВП. Поскольку инвестиции постоянны, а правительство решает не изменять налоги, то ВВП может увеличиться только за счет увеличения государственных закупок. Выдавая кредит правительству, Центральный банк увеличивает денежную базу ровно на величину кредита.
Банки страны А не держат избыточных резервов, а значит норма избыточных резервов ($er$) равна $0$. Жители не пользуются наличными деньгами, что означает, что норма депонирования ($cr$) также равна $0$.
Таким образом, $G_1 = 200 + K, ~~ H_1 = 180 + K$.
Для начала найдем уровень цен до проведения политики правительства. Используем для этого денежный мультипликатор, который равен $mm = \dfrac{1 + cr}{rr + er + cr} = \dfrac{1}{rr}$.
Кроме того, $mm = \dfrac{M}{H} \Rightarrow M_0 = \dfrac{180}{rr}$.
Известно, что совокупный спрос задается уравнением количественной теории денег, поэтому $Mv = PY$, а с учетом того, что скорость обращения денег равна $1$, имеем $P = \dfrac{M}{Y}$.
Можем найти уровень цен до проведения политики правительства:
$$P_0 = \dfrac{180}{450rr} = \dfrac{0,4}{rr}$$
Теперь найдем ВВП после проведения политики правительства. Воспользуемся формулой из пункта 1:
$$Y_1 = \dfrac{-mpc \cdot T + G_1 + I}{1 - mpc} = \dfrac{-0,6 \cdot 200 + 200 + K + 100}{0,4} = \dfrac{180 + K}{0,4}$$
Найдем новую денежную массу с помощью денежного мультипликатора:
$$mm = \dfrac{M_1}{H_1} = \dfrac{1}{rr} \Rightarrow M_1 = \dfrac{180 + K}{rr}$$
Вернемся к уравнению количественной теории денег и найдем новый уровень цен:
$$P_1 = \dfrac{M_1}{Y_1} = \dfrac{(180 + K)\cdot 0,4}{rr(180 + K)} = \dfrac{0,4}{rr}$$
Видно, что $P_1 = P_0$, а значит инфляция равна $0$.
Поскольку правительство минимизирует сумму квадратов уровня циклической безработицы и инфляции, а инфляция равна $0$, имеем $u_c^2 \rightarrow min$, откуда получаем, что оптимальный уровень циклической безработицы равен $0$. Тогда уровень фактической безработицы просто равен уровню естественной безработицы $u = u^* = 0,05$.
В соответствие с законом Оукена, если циклическая безработица равна $0$, то фактический ВВП равен потенциальному, а значит $Y_1 = Y^* = 500$.
Теперь можем найти дефицит государственного бюджета.
$$Y_1 = \dfrac{180 + K}{0,4} = 500 \Rightarrow K = 20 \Rightarrow G - T = 20$$
Получили, что в данной экономике правительство может стимулировать выпуск без увеличения уровня цен, т.е. без инфляции. Это означает, что правительство проводит стимулирующую фискальную политику так, чтобы выпуск стал равен потенциальному.

Приведем решение «в лоб» – через максимизацию прибыли. Также в данной задаче было возможно графическое решение через построение графика суммарного предложения для двух рынков.

а) Запишем функцию прибыли фирмы «Вершина» и промаксимизируем ее:
$\Pi = Q_d(200 - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
$\begin{cases}
\Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
\\
\Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0
\end{cases}$
$Q_d = 20, ~ Q_w = 60$
б) Аналогично пункту а) решим пункт б).

1. $\Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
   $\begin{cases}
   \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - t - 4Q_d - 2Q_w = 0
   \\
   \Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0
   \end{cases}$
   $Q_w = 80 - Q_d, ~~ Q_d = \dfrac{40 - t}{2}$
   Запишем и промаксимизируем налоговые сборы:
   $T = 20t - 0,5t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$
   Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:
   $t = 20 \Rightarrow T_{max} = 400 - 200 = 200$
2. $\Pi = Q_d(200 - Q_d) + (160 - t)Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
   $\begin{cases}
   \Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
   \\
   \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2Q_d - 2Q_w = 0
   \end{cases}$
   $Q_d = 50 - 0,5Q_w, ~~ Q_w = 60 - t$
   Максимизируем налоговые сборы:
   $T = 60t - t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$
   Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:
   $t = 30 \Rightarrow T_{max} = 1800 - 900 = 900$
3. $\Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + (160 - t)Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
   $\begin{cases}
   \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
   \\
   \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2Q_d - 2Q_w = 0
   \end{cases}$
   $Q_d = 20, ~~ Q_w = \dfrac{120 - t}{2}$
   Максимизируем налоговые сборы:
   $T = 20t + 60t - 0,5t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$
   Это парабола ветвяими вниз, поэтому максимум функции – в вершине:
   $t = 80 \Rightarrow T_{max} = 1600 + 4800 - 3200 = 3200$

в) В пунктах $1$ и $2$ суммарные налоговые сборы составили $1100$, в пункте $3$ же – $3200$. При введении налога на одном рынке у фирмы-монополиста есть возможность переключиться на другой рынок, поэтому государство не может получать максимально возможные налоговые сборы, как если бы, например, у фирмы просто не было доступа ко второму рынку в принципе. Когда налог вводится сразу на двух рынках, где фирма осуществляет свою деятельность, у фирмы нет той свободы в перераспределении продаж между рынками, поэтому налоговые сборы получаются выше.

1. Бюджетное ограничение Элли: $pq \leqslant 20$ или $q \leqslant \frac{20}{p}$.

   Промаксимизируем полезность:
   $$U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \underset{q \geqslant 0}{max}$$
   $$q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p$$
   Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому $p \leqslant 21$.

   Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:
   $$21 - p \leqslant \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geqslant 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geqslant 0$$
   $$\left[
   \begin{gathered}
   0 \leqslant p \leqslant 1
   \\
   20 \leqslant p \leqslant 21
   \end{gathered}
   \right.$$
   Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно $\frac{20}{p}$, т.е. она просто потратит весь свой доход.

   Так, можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:
   $$q^d =
   \begin{cases}
   21 - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
   \\
   \frac{20}{P},& 1 < P < 20
   \\
   21 - P,& 20 \leqslant P \leqslant 21
   \\
   0,& P > 21
   \end{cases}
   $$
   Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от $\alpha$:
   $$Q^d =
   \begin{cases}
   21 + \alpha - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
   \\
   \frac{20}{P} + \alpha,& 1 < P < 20
   \\
   21 + \alpha - P,& 20 \leqslant P < 21
   \\
   0,& P \geqslant 21
   \end{cases}
   $$

2. Рассмотрим 4 случая, в каждом из которых будем максимизировать прибыль монополиста.
   1. $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
      $$\Pi_1 = 21P - P^2 - 126 + 6P = -P^2 +27P-126$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$P^* = \frac{27}{2} = 13,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$
      Видно, что найденная цена не принадлежит нужному промежутку, поэтому выбираем ближайшее значение из промежутка (поскольку имеем дело с параболой ветвями вниз, чем дальше мы от вершины, тем меньше значение функции). Значит $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 540 - 126 = 14$.
   2. $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$
      $$\Pi_2 = 20 - \frac{120}{P}$$
      $$\Pi'_2 = \frac{120}{P^2} > 0 \forall P$$
      Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное значение цены: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 6 = 14$.
   3. $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
      $$\Pi_3 = 21P + \alpha P - P^2 - 126 - 6\alpha + 6P - \alpha^2 = -P^2 + (27 + \alpha)P - 126 - 6\alpha - \alpha^2$$
      функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз по $P$, поэтому максимум – в вершине.
      $$P^* = \frac{27 + \alpha}{2} \Rightarrow \alpha \in [13, 15]$$
      Подставим найденное значение цены в прибыль и промаксимизируем по $\alpha$:
      $$\Pi_3 = \frac{(27 + \alpha)^2}{4} - 126 - 6\alpha - \alpha^2 = -0,75\alpha^2 + 7,5\alpha + 56,25$$
      Функция прибыли имеет вид параболы с ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$\alpha^* = 5 \notin [13, 15]$$
      Найденное оптимальное значение не принадлежит промежутку, поэтому будем брать ближайшее допустимое, т.е. $\alpha^* = 13 \Rightarrow \Pi_3 = -0,75\cdot 169 + 7,5 \cdot 13 + 56,25 = 27$.
   4. $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$
      $$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{120}{P} - 6\alpha - \alpha^2 = -\alpha^2 + (P - 6)\alpha + 20 - \frac{120}{P}$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, поэтому максимум – в вершине.
      $$\alpha^* = \frac{P - 6}{2}$$
      Подставим полученное значение обратно в прибыль:
      $$\Pi_4 = \frac{(P - 6)^2}{4} + 20 - \frac{120}{P}$$
      $$\Pi'_4 = \frac{P - 6}{2} + \frac{120}{P^2} > 0~ \text{при допустимых} ~a$$
      Получили, что производная всегда положительна на ограничении, значит будем выбирать наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 49 + 20 - 6 = 63$.

   Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает $P^* = 20$, а значит $\alpha = \frac{20 - 6}{2} = 6$, а прибыль равна 63.

3. Точно так же, как и в предыдущем пункте рассмотрим 4 случая.
   1. $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
      $$\Pi_1 = 21P - P^2 - 210 + 10P = -P^2 + 31P - 210$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, значит максимум – в вершине.
      $$P^* = \frac{31}{2} = 15,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$
      Найденное оптимальное значение не принадлежит допустимому промежутку, поэтому выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 620 - 210 = 10.$
   2. $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$
      $$\Pi_2 = 20 - \frac{200}{P}$$
      $$\Pi'_2 = \frac{200}{P^2} > 0$$
      Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 10 = 10$.
   3. $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
      $$\Pi_3 = (21 - P)P + \alpha P - 10(21 - P) - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + (21 - P)(P - 10) - 6$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$P^* = \frac{P - 10}{10}$$
      Подставим найденное значение цены обратно в прибыль:
      $$\Pi_3 = \frac{(P - 10)^2}{20} - (P - 21)(P - 10) - 6$$
      $$\Pi'_3 = \frac{P - 10}{10} - P + 10 - P + 21 - 6 = 0$$
      $$P^* = \frac{240}{19} \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$
      Найденное оптимальное значение не принадлежит оптимальному промежутку, выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_3 = 5 + 10 - 6 = 9$.
   4. $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$
      $$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{200}{P} - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + 14 - \frac{200}{P}$$
      Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, значит максимум – в вершине.
      $$\alpha^* = \frac{P - 10}{10}$$
      Подставим найденное значение обратно в прибыль:
      $$\Pi_4 = \frac{(P - 10)^2}{20} - \frac{200}{P} + 14$$
      $$\Pi'_4 = \frac{P - 10}{10} + \frac{200}{P^2} > 0$$
      Получили, что производная положительна для всех допустимых $P$, значит функция все время возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 5 - 10 + 14 = 9$.

   Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна $10$ и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при $\alpha = 0$.

1. Запишем задачу потребителя:
   $$\begin{cases}
   U = 3T\cdot C_0 - C_0^2 + 3T\cdot C_1 - C_1^2 + 3T\cdot C_2 - C_2^2 \rightarrow \underset{C_0, C_1, C_2 \geqslant 0}{max}
   \\
   C_0 + C_1 + C_2 = T
   \end{cases}$$
   Найдём предельную полезность потребления в каждом из периодов:
   $$\begin{cases}
   MU_0 = U'_{C_0} = 3T - 2C_0
   \\
   MU_1 = U'_{C_1} = 3T - 2C_1
   \\
   MU_2 = U'_{C_2} = 3T - 2C_2
   \end{cases}$$
   Из бюджетного ограничения видно, что цена потребления в каждом периоде постоянная и равна единице, поэтому можем записать правило равенства отношений предельных полезностей к ценам следующим образом: $MU_0 = MU_1 = MU_2 \Rightarrow C_0 = C_1 = C_2 = \frac{T}{3}$.

   Тогда несложно найти предельную норму потребления в нулевом периоде. Она равна отношению потребления к доходу, т.е. $mpc_0 = \frac{\frac{T}{3}}{T} = \frac{1}{3}$.

2. $$C_1 = \frac{1}{2}(1 - \lambda)W_1 = \frac{1-\lambda}{2}(T - C_0)$$
   Из бюджетного ограничения:
   $$C_2 = T - C_0 - C_1 = T - C_0 - \frac{1-\lambda}{2}(T-C_0) = (T - C_0)\frac{1+\lambda}{2}$$
   Подсталвляем всё в полезность:
   $$U = 3T\cdot C_0 - C_0^2 + 3T\cdot \frac{1-\lambda}{2}(T - C_0) - \frac{(1-\lambda)^2}{4}(T-C_0)^2 + 3T\cdot \frac{1+\lambda}{2}(T - C_0) - \frac{(1+\lambda)^2}{4}(T-C_0)^2 =$$
   $$= 3T\cdot C_0 - C_0^2 + 3T(T-C_0)\frac{1-\lambda+1+\lambda}{2}-(T-C_0)^2\frac{(1-\lambda)^2 + (1+\lambda)^2}{4} = 3T\cdot C_0 - C_0^2 + 3T(T-C_0) -$$
   $$- (T-C_0)^2\frac{1+\lambda^2}{2} = -(1+\frac{1+\lambda^2}{2})C_0^2 + (1+\lambda^2)T\cdot C_0 +3T^2 -\frac{1+\lambda^2}{2}T^2$$
   Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз относительно $C_0$, значит максимум – в вершине.
   $$C_0^* = \frac{(1+\lambda^2)T}{3+\lambda^2}$$
   Теперь можем найти предельную склонность к потреблению: $$mpc_0 = \frac{\frac{(1+\lambda^2)T}{3+\lambda^2}}{T} = \frac{1+\lambda^2}{3+\lambda^2}$$
3. Найдём производную $mpc$ по $\lambda$:
   $$mpc'_{\lambda} = \frac{2\lambda(3+\lambda^2) - 2\lambda(1+\lambda^2)}{(3+\lambda^2)^2} = \frac{4\lambda}{(3+\lambda^2)^2}$$
   Производная равна 0 при $\lambda = 0$. Теперь определим минимум это или максимум:
   $$mpc'' = \frac{4(3+\lambda^2)^2 - 2\cdot 2\lambda(3+\lambda^2)\cdot 4\lambda}{(3+\lambda^2)^4}$$
   $$mpc''(0) = \frac{4\cdot 9}{81} = \frac{4}{9} > 0$$
   Вторая производная больше 0, значит $\lambda = 0$ – точка минимума для функции $mpc$, что по определению означает, что при любом отклонении от данной точки функция будет увеличиваться.

Начнём с того, что в условии указана производительность Кирилла и Гоши за $2$ часа работы. Этот факт необязательно использовать при решении, однако, если участники делили объёмы производства на $2$ и решали всю задачу с этими числами, баллы не снижались. Здесь же приведём решение для объёмов производства за $2$ часа.

1. Альтернативная стоимость производства экспериментов для Кирилла: $AC^K_e = 2$, альтернативная стоимость производства экспериментов для Гоши: $AC^G_e = 0,25$. Суммарно Кирилл и Гоша могут произвести $100$ экспериментов или $60$ единиц мерча. Построим кривую производственных возможностей Гоши и Кирилла, руководствуясь тем, что альтернативная стоимость производства растёт с ростом объёмов производства.

   

   Функция полезности Миши $U = min{x, y}$. Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид «уголков», вершины которых располагаются на прямой $y = x$. Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:

   

   Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: $y = 240 - 4x$. Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой $y = x$: $240 - 4x = x \Rightarrow x^* = 48,~ y^* = 48$. Таким образом, в оптимуме будет потребляться по $48$ единиц мерча и экспериментов.

2. Здесь стоит рассмотреть два случая.
   1. Первый случай: оптимум находится на первом (слева-направо) участке КПВ.

      Уравнение первого участка КПВ: $y = 100 - 0,5x,~ x \in [0, 40]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
      $$U_1 = -x^2 + 8,5x + 100 - 0,5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \underset{x \in [0, 40]}{max}$$
      Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40],~ y^* = 98$$
      $$U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116$$

   2. Второй случай: оптимум находится на втором (слева-направо) участке КПВ.

      Уравнение второго участка КПВ: $y = 240 - 4x,~ x \in [40, 60]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
      $$U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \rightarrow \underset{x \in [40, 60]}{max}$$
      Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$x_{\text{в}} = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]$$
      Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это – $x = 40$, тогда найдём полезность:
      $$U_2^* = -1600 + 180 + 240 = -1180$$

   Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.

3. Запишем бюджетное ограничение Антона в общем виде:
   $P_x \cdot x + P_y \cdot y \leqslant I$, где $P_x,~ P_y$ – цены мерча и экспериментов соответственное, а $I$ – доход Антона. С учётом данных из условия можем переписать бюджетное ограничение Антона в следующем виде: $P_x \cdot x + y \leqslant I$ или $y \leqslant I - P_x \cdot x$. Заметим, что если $y < I - P_x \cdot x$, мы может немного увеличить $y$ и уменьшить $x$, при этом увеличив полезность, поэтому неравенство можно заменить на равенство. Тогда подставим бюджетное ограничение в полезность Антона и промаксимизируем:
   $$U = -x^2 + 8,5x + I - P_x \cdot x = -x^2 + (8,5 - P_x)x + I \rightarrow \underset{0 \leqslant x \leqslant \frac{I}{P_x}}{max}$$
   Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
   $$x^* = \frac{8,5 - P_x}{2}$$
   Заметим, что если $P_x > 8,5$, то товар $x$ становится слишком дорогим, и Антон перестаёт его покупать, т.е. $x^* = 0,~ P_x > 8,5$. С другой стороны, если расходы на товар $x$ в оптимуме превышают доход Антона, то он будет потреблять ровно $x^* = \frac{I}{P_x},~ \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}$.

   Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
   $$x^d =
   \begin{cases}
   0,& P_x > 8,5
   \\
   \frac{8,5 - P_x}{2},& P_x \leqslant 8,5,~ \frac{8,5 - P_x}{2} \leqslant \frac{I}{P_x}
   \\
   \frac{I}{P_x},& \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}
   \end{cases}
   $$

1. Запишем обратную функцию спроса: $P^d = 100 + 20\beta - Q$. Теперь можем записать функцию прибыли монополиста:
   $$\Pi = (100 + 20\beta)Q - Q^2 - (1 + \beta)Q^2 - 100 - 50\beta = -(2 + \beta)Q^2 + (100 + 20\beta)Q - 100 - 50\beta \rightarrow \underset{Q \geqslant 0}{max}$$
   Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $Q$, поэтому максимум – в вершине.
   $$Q^* = \frac{100 + 20\beta}{2(2 + \beta)}$$
   Подставим найденное оптимальное количество обратно в прибыль:
   $$\Pi = -\frac{(2 + \beta)(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)^2} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{2(2 + \beta)} - 100 - 50\beta = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$
   Сравним прибыли при $\beta = 0$ и $\beta = 1$:
   $$\Pi(\beta = 0) = \frac{100 \cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1250 - 100 = 1150$$
   $$\Pi(\beta = 1) = \frac{120 \cdot 120}{4\cdot 3} -100 - 50 = 1200 - 150 = 1050$$
   Очевидно, $\Pi(\beta = 0) > \Pi(\beta = 1) \Rightarrow \beta^* = 0,~ \Pi^* = 1150,~ Q^* = \frac{100}{4} = 25$.
2. Аккордная субсидия просто прибавляется к прибыли, как константа. Для того, чтобы фирме было выгодно выбрать экологичное производство, должно выполняться неравенство: $\Pi(\beta = 0) \leqslant \Pi(\beta = 1) + S$, где $S$ – размер субсидии. Подставив числа из предыдущего пункта, получим:
   $$1150 \leqslant 1050 + S \Rightarrow S \geqslant
   100$$
3. Оптимальный выбор объёма производства в зависимости от $\beta$ не изменится, поэтому прибыль в зависимости от $\beta$ имеет вид: $\Pi = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$. Тогда совокупная функция полезности имеет вид:
   $$U = \sqrt{\beta} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$
   Сравним полезности при $\beta = 0$ и $\beta = 1$:
   $$U(\beta = 0) = \frac{100\cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1150$$
   $$U(\beta = 1) = 1 + \frac{120\cdot 120}{4\cdot 3} - 100 - 50 = 1051$$
   Видно, что $U(\beta = 0) > U(\beta = 1)$, поэтому государство выберет $\beta^* = 0$

Если люди минимизируют затраты времени, то в равновесии время движения по обеим дорогам должно быть одинаково. В противном случае найдутся те, кто захочет изменить свое поведение, сделав выбор в пользу более быстрой из дорог. В исходной ситуации это приводит к равенству $25+30x_1 = 15+70x_2$. Поскольку суммарная доля едущих по Северной и Южной дорогам составляет $100\%$ (то есть $x_1+x_2=1$), условие примет вид $25+30x_1 = 15+70(1 - x_1)$. Отсюда можно найти доли $x_1 = 0,6 = 60\%$ и $x_2 = 1 - 0,6 = 0,4 = 40\%$.

Если Северную дорогу расширить втрое, то втрое уменьшится дополнительное время передвижения, связанное с пробками. Например, если по расширенной втрое дороге поедет $60\%$ машин (по каждой полосе $20\%$), то это будет эквивалентно по времени ситуации с $20\%$ машин до расширения дороги. Таким образом, время передвижения по Северной дороге станет равным $25 + 10x_1$. В равновесии снова будет наблюдаться равенство: $25+10x_1 = 15+70(1 - x_1)$, откуда находим новые доли $x_1 = 0,75 = 75\%$ и $x_2 = 1 - 0,75 = 0,25 = 25\%$.

Время передвижения можно найти, подставив равновесную долю в любую из частей уравнения. В исходной ситуации ожидаемое время составляет $25+30 \cdot 0,6 = 43$ мин., в новой ситуации оно станет равным $25+10 \cdot 0,75 = 32,5$ мин. Таким образом, расширение дороги привело к сокращению времени в пути на $10,5$ мин.

Доля автомобилистов, едущих по Северной дороге выросла с $60$ до $75$ процентов. Это означает увеличение в $\dfrac{75}{60} =1,25$ раза, то есть на $25\%$. Доля автомобилистов, выбирающих Южную дорогу, напротив, упала с $40$ до $25$ процентов, изменение произошло в $\dfrac{25}{40} = 0,625$ раза, то есть число автомобилистов стало меньше на $37,5\%$. Отметим, что в условии спрашивается про проценты, а не процентные пункты, поэтому ответ выросла на $15\%$ и упала на $15\%$ является неправильным.

Обозначим за $x$ — количество яблок, а за $y$ — количество груш. Заметим, что количество груш и яблок совпадает с количеством грушевых и яблочных деревьев.

Очевидно, что Карлсон не может потратить больше $100$ рублей на саженцы. То есть всё, что он потратит на яблоки ($20\times x$), вместе с тем, что он потратит на груши ($5\times y$), не должно превышать $100$. Таким образом, получаем неравенство $20x+5y\leqslant 100$.

Также очевидно, что Карлсон не может использовать больше $30$ квадратных метров площади грядки. То есть всё, что он потратит на яблоки ($3\times x$), вместе с тем, что он потратит на груши ($2\times y$), не должно превышать $30$. Таким образом, получаем неравенство $3x+2y\leqslant 30$.

Карлсон пытается увеличить количество фруктов, которые он съест, то есть максимизирует выражение $x+y$.

Таким образом получаем систему:
\begin{equation*}
\begin{cases}
20x+5y\leqslant 100,
\\
3x+2y\leqslant 30,
\\
x+y\rightarrow max.
\end{cases}
\end{equation*}

Решение этой системы $x^*=0, \ y^*=15, \ x^*+y^* = 15$.

Для того, чтобы оценить потери, нужно найти оптимальные цены проездных в обеих ситуациях и подсчитать соответствующую выручку. Начнем с отдельного проездного на метро. $40\%$ людей готовы заплатить за него $2500$ руб., а $60\%$ – $1200$ руб. Заметим, что никакие цены кроме $1200$ и $2500$ устанавливать не имеет смысла, доход будет ниже, а новых покупателей не добавится. Оценим, какой вариант лучше. При цене $1200$ руб. покупать проездной на метро будет всё население города в количестве $N$ человек, выручка при этом составит $1200N$. При цене $2500$ руб. проездной купит только $40\%$ населения, и выручка уменьшится: $2500 \cdot 0,4N = 1000N < 1200N$. Поэтому оптимальным будет первый вариант с ценой $1200$ руб. для всех.

Проездной на наземный транспорт $40\%$ жителей города готовы купить за $750$ руб., а $60\%$ – за $1800$ руб. Если продавать проездной всем, придется снизить цену до $750$, выручка при этом составит $750N$. Если же поднять цену до $1800$, купит проездной только $60\%$, но выручка увеличится до $1800 \cdot 0,6N = 1080N > 750N$. Таким образом, правильно устанавливая цены на отдельные проездные, транспортная компания может получить сумму $1200N + 1080N = 2280N$.

Если компания продает единый проездной, то $40\%$ населения будет готово купить его за $2500 + 750 = 3250$ руб., а $60\%$ населения – за $1200 + 1800 = 3000$. Очевидно, нужно ставить цену $3000$ руб., продавать проездной всем и получать выручку $3000N$, что больше $3250 \cdot 0,4N = 1300N$. Таким образом, выручка в случае продажи отдельных проездных составит $\dfrac{2280N}{3000N} = 0,76 = 76\%$, то есть окажется ниже на $24\%$.

а) Заметим, что альтернативные издержки производства $x$ в регионах следующие:
в Сансет Вэлли – $AC_x = 1$;
в Риверсайде – $AC_x = 0.5$;
в Бриджпорте – $AC_x = 2$.
Построим суммарную КПВ в соответствие с правилом, что альтернативные издержки возрастают с ростом производства. Значит (слева – направо) первый участок КПВ будет соответствовать Риверсайду, второй – Сансет Вэлли, третий – Бриджпорту.
Можем записать в алгебраическом виде:
$y =
\begin{cases}
40 - 0.5x,& 0 \leqslant x \leqslant 20
\\
50 - x,& 20 \leqslant x \leqslant 30
\\
80 - 2x,& 30 \leqslant x \leqslant 40
\end{cases}$

б) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $2$ к $3$ можно формализовать с помощью уравнения $3x = 2y$ или $y = 1.5 x$. Построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ.
Видно, что пересечение соответствует точке $(20; 30)$, значит на острове Исла Парадайз производится $20$ сетей для ловли рыбы и $30$ парусов для кораблей.
Осталось определить, сколько каждого товара прозводится в каждом регионе. Заметим, что точка $(20; 30)$ это точка излома, иначе говоря – это крайняя правая точка для участка КПВ, соответствующего региону Риверсайд, и крайняя левая точка для участка КПВ, соответствующего региону Сансет Вэлли. Значит все сети для ловли рыбы производятся Риверсайдом, а все паруса для кораблей – Сансет Вэлли и Бриджпортом (по $10$ парусов в каждом).
Ответ: в Сансет Вэлли – $0$ сетей и $10$ парусов,
в Риверсайде – $20$ сетей и $0$ парусов,
в Бриджпорте – $0$ сетей и $10$ парусов.

в) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $3$ к $2$ можно формализовать уравнением $2x = 3y$ или $y = \dfrac{2}{3} x$. По аналогии с предыдущим пунктом построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ.
Видно, что пересечение соответствует точке $(30; 20)$. Суммарно производится $50$ сетей и парусов, ровно как и в предыдущем пункте, поэтому ответ – суммарное производство не изменилось.

1. Зимой спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение: $Q^s = 3P$. Равновесию соответствует точка пересечения кривых спроса и предложение. Аналитически нам нужно просто приравнять их уравнения: $100 - P = 3P \Rightarrow P^*_w = 25,~ Q^*_w = 100 - 25 = 75$.

   Летом спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение до появления новой технологии имеет вид $Q^s = P$. Тогда равновесие: $100 - P = P \Rightarrow P^*_{s_1} = 50,~ Q^*_{s_1} = 50$.

2. С появлением новой технологии до вмешательства государства предложение имело вид: $Q^s = 2P$. Тогда равновесие: $100 - P = 2P \Rightarrow P^*_{s_2} = \frac{100}{3},~ Q^*_{s_2} = \frac{200}{3}$.
3. 1. Первый вариант решения:

      Условие можно было понять так, что государство своими закупками увеличивает спрос на $2a$ при каждом значении цены. Тогда спрос будет иметь вид $Q^d = 100 + 2a - P$, а предложение – $Q^s = P$. Равновесие на этом рынке: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = 50 + a,~ Q^* = 50 + a$. Изобразим спрос и предложение на графике:

      

      Общественное благосостояние – это сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства. Графически излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек производителей – площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене. Излишек государства в данном случае это просто его расходы, то есть $-a^2$. Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (a + 50)(2a + 100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) -a^2 = a^2 + 100a + 2500 - a^2 = 100a + 2500$. Видно, что общественное благосостояние возрастает по $a$, а значит, если государство старается максимизировать общественное благосостояние, то будет выбирать как можно большее значение $a$. Поскольку $a$ никак не ограничено, оптимальный выбор государства: $a \rightarrow +\infty$.

   2. Второй вариант решения:

      На самом деле государство не может увеличить спрос на константу при любом значении цены. Если цена поднимется выше максимальной цены, которую готовы платить потребители (в нашем случае это $100$), то спрос будет предъявлять только государство на уровне $2a$, т.е. при $P > 100$ мы будет иметь вертикальный участок спроса $Q = 2a$. При этом равновесие у нас будут при: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = a+50,~ Q^* = a + 50$.

      В этом случае общественное благосостояние – это всё ещё сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства, однако графически они будут считаться немного иначе. Изобразим спрос и предложение на графике:

      

      Излишек производителей графически – это площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса (только участком, соответствующим самим потребителям, а не государству и потребителям) и прямой, соответствующей равновесной цене. Для удобства заштрихуем эти фигуры на графике:

      

      Зелёным цветом заштрихован треугольник, соответствующий излишку потребителей, красным цветом – треугольник, соответствующий излишку производителей. Излишек государства составляет $-a^2$.

      Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (50 - a)(100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) - a^2 = 2500$. В этом случае общественное благосостояние постоянно и равно $2500$.

      Однако, если государство закупит достаточно много пирожков с голубикой, цена вырастет настолько, что потребители больше не будут покупать этот товар. Графически эта ситуация выглядит так:

      

      Произойдёт это в том случае, если закупки государства, то есть $2a$ превысят $100$, т.е. при $a > 50$. В этом случае равновесие складывается при $P^* = 2a,~ Q^* = 2a$. Излишек потребителей в этом случае равен $0$, поскольку они не покупают пирожки с голубкой совсем, а излишек производителей будет равен $0,5 \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$. Тогда общественное благосостояние имеет вид: $SW = 2a^2 - a^2 = a^2$. Видно, что при любом положительном $a$ общественное благосостояние бесконечно возрастает с ростом $a$. Поскольку государство стремится сделать общественное благосостояние как можно выше, оно выберет бесконечно большое $a$ и, соответственно, бесконечно большое общественное благосостояние.

4. Если бы государство не запрещало новую технологию, то общественное благосостояние составило бы: $SW = 0,5\cdot \frac{200}{3}(100 - \frac{100}{3}) + 0,5\cdot \frac{200}{3} \cdot \frac{100}{3} = \frac{10000}{3}$. В случае запрета технологии, но наличия государственных закупок, общественное благосостояние стремится к бесконечности. Таким образом, государству удалось значительно увеличить общественное благосостояние.

В Банании альтернативная стоимость производства одной велосипедной рамы составляет $AC_{\text{рамы}}^{\text{Б}} = 4$, в Авокадии же альтернативная стоимость производства одной велосипедной рамы равна $AC_{\text{рамы}}^{\text{А}} = 0,5$. Видно, что альтернативная стоимость производства велосипедных рам в Авокадии ниже, чем в Банании, значит Авокадия будет специализироваться на производстве рам, а Банания – на производстве колёс.

Всего в Авокадии могут произвести $40$ велосипедных рам (если не будут производить колёса совсем), а в Банании всего могут произвести $80$ колёс (опять же, если совсем не будут производить рамы). Так как для одного велосипеда нужна одна рама и два колеса, всего произведут $40$ велосипедов.

Если Артём продаёт моток пряжи в тот же день, когда его привезли, то зарабатывает по: $4 - 2 = 2$ единицы с каждого мотка. Если мотки полежали одни день на складе, то он заработает с каждого: $4 - 2 - 1 = 1$. Если же пряжа пролежала на складе два дня, то Артём заработает: $4 - 2 - 1 - 1 = 0$ с каждого мотка. Таким образом, нет никакого смысла хранить пряжу два или более дней на складе.

В случае, когда Артём принимает решение ничего не хранить на складе, он получает $2$ единицы прибыли с каждого проданного мотка. Так, он заработает: $50 \cdot 2 - 100 = 0$. Если же Артём хранит пряжу одни день и продает часть в тот же день, то получает прибыль: $(4 - 2) \cdot 50 + (4 - 2 - 1) \cdot 50 - 100 = 50$ за два дня работы. Таким образом, максимальная средняя прибыль в день будет составлять: $50 : 2 = 25$.

1. Альтернативные издержки производства $1$ тонны карасей в первом регионе: $AC_y = 1$, а во втором регионе – $AC_y = 2$. Максимально два региона вместе могут произвести $25$ тонн карасей или $40$ тонн анчоусов. Построим КПВ, руководствуясь тем, что альтернативные издержки возрастают с ростом объёмов производства. Тогда первый (слева-направо) участок КПВ будет соответствовать второму региону, а второй участок КПВ – первому региону.

   

   То, что караси и анчоусы потребляются комплектами из двух тонн карасей и одной тонны анчоусов, можно формализовать следующим уравнением: $y = 2x$, где $x$ – анчоусы в тоннах, а $y$ – караси в тоннах.

   Чтобы найти оптимальное потребление карасей и анчоусов, достаточно пересечь КПВ и уравнение, задающее пропорцию потребления. Сначала построим прямую $y = 2x$ на нашем графике КПВ.

   

   Видно, что прямая пересекает КПВ на первом участке. Уравнение первого участка КПВ: $y = 25 - 0,5x$. Приравниваем: $2x = 25 - 0,5x$ и получаем, что $x = 10,~ y = 20$. Значит в оптимуме будет производится $10$ комплектов.

2. Аналогично пункту а) найдем альтернативные издержки производства карасей и построим КПВ, а затем снова построим на том же графике прямую $y = 2x$.

   Альтернативные издержки производства карасей в первом регионе не изменились: $AC_y = 1$, а во втором регионе стали равны: $AC_y = 1,5$. Строим КПВ и прямую $y = 2x$ на одном графике:

   

   Уравнение первого участка КПВ: $y = 30 - \frac{2}{3}x$. Приравниваем: $30 - \frac{2}{3}x = 2x$ и получаем, что $x = 11,25,~ y = 22,5$. Значит теперь в оптимуме потребляется $11,25$ комплектов.

а) Поехали. Для начала запишем обратный спрос на труд в промышленности:
$$ MRP_{L_y} = P_y \cdot MP_{L_x} = 100 - 20L_y = w_y $$
$$ L_y = \dfrac{100 - w_y}{20} \Rightarrow L^d_y = 50 - \dfrac{w_y}{2} \Rightarrow w_y = 100 - 2L^d_y $$
Мы знаем, что там точно будет работать $15$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $100 - 2 \cdot 15 = 70$.

Спрос на труд в сельском хозяйстве:
$$ MRP_{L_x} = P_x \cdot MP_{L_x} = 70 - 10L_x = w_x $$
$$ L_x = \dfrac{70 - w_x}{10} \Rightarrow L^d_x = 70 - w_x \Rightarrow w_x = 70 - L^d_x $$
Мы знаем, что там точно будет работать $45$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $70 - 45 = 25$.
Ответ: зарплата в промышленности будет равна $70$ руб., в сельском хозяйстве – $25$ руб.

б) В этом случае зарплаты в двух секторах должны быть равны, иначе начнется миграция.
$$ w_x = w_y $$
$$ 100 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 30 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 30 = 60 $$
$$ L_y = 30 \Rightarrow w_x = w_y = 100 - 2 \cdot 30 = 40. $$
Ответ: зарплата равна $40$ руб. в обоих секторах.

в) Миграция происходит из сельской местности в город. Следовательно, платить за кровать будут в городе, поэтому зарплата в городе должна быть на $15$ единиц больше, чтобы работнику было без разницы, где работать. Если это не так, то это не равновесие и начинается миграция.
$$ w_y - 15 = w_x $$
$$ 85 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 15 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 15 = 60 $$
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 100 - 2*25 = 50 $$
$$ w_x = 35. $$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в городе и $35$ руб. в сельской местности.

г) Максимизируем выручку:
$$ W_yL_y = 100L_y - 2L^2_y $$
Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 50 $$
$$ L_x = 60 - 25 = 35 \Rightarrow w_x = 70 - 35 = 35.$$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в промышленности (что больше чем $40$, которые были бы без профсоюза) и $35$ руб. в сельском хозяйстве.

а) Выведем предложение. Поскольку рынок является совершенно конкурентным, приравняем $P$ (цену) и $MC$ (предельные издержки).

$$MC = 4q + 10 = P$$
$$q = \dfrac{P-10}{4}$$

Получили предложение одной фирмы, тогда совокупное предложение на рынке составит:
$$Q_S = 80q = 20P - 200$$

Теперь найдем равновесие, приравняв спрос и предложение:
$$20P - 200 = 200 - 5P$$
$$P^* = 16, ~ Q^* = 120, ~ q^* = 1,5$$

Осталось найти прибыль одной фирмы.
$$\Pi = TR - TC = P^* \cdot q^* - 2(q^*)^2 - 10q^* - 2021 = 16\cdot 1,5 - 2\cdot (1,5)^2 - 10 \cdot 1,5 - 2021 = -2016,5$$

б) Заметим, что налог на выручку полностью эквивалентен акцизу. Действительно, $TR_s = P_sQ= (1-t)TR_d = (1-t)P_dQ$, тогда $P_s = (1-t)P_d$ или $P_d - P_s = tP_d$.

Итак, мы поняли, что налог на выручку – это то же самое, что акциз. Далее, из эквивалентности налогов, максимальные налоговые сборы достигаются при единственных значениях $P_d$ и $P_s$. Тогда найдем эти значения через потоварный налог.

Мы знаем, что оптимум потоварного налога: $t_p= \dfrac{P_{max}-P_{min}}{2} = \dfrac{40-10}{2}=15$. Введем данный потоварный налог для нахождения $P_d$ и $P_s$:

$$200-5(P_s+15) = 20P_s-200$$
$$ 325 = 25P_s $$
$$P_s = 13, ~P_d=28$$

Теперь связка для акциза: $P_d - P_s = t_a P_d$ или $15 = 28t_a$, тогда $t_a =15/28=\dfrac{15}{28}$.

в) Будем действовать аналогично. Будем вводить потоварный налог, а из него восстанавливать величину акциза, которая равна налогу на выручку. Пусть $t$ – потоварный налог.

$$200-5P_d = 20(P_d-t)-200$$
$$P_d = 16+0.8t~~~P_s = 16-0.2t$$
Тогда посчитаем зависимость излишков от величины $t$:
$$CS = 1.6(30-t)^2$$
$$PS = 0.4(30-t)^2$$
Заметим, что ставка потоварного налога, при котором достигается равенство не меньше 30. Тогда
$$P_d-P_s = 30 = 40t_a$$
$$t_a= 0.75$$

Тогда ответ: $t_a\geqslant 0.75$

Для того, чтобы оценить потери, нужно найти оптимальные цены проездных в обеих ситуациях и подсчитать соответствующую выручку. Начнем с отдельного проездного на метро. $40\%$ людей готовы заплатить за него $2500$ руб., а $60\%$ – $1200$ руб. Заметим, что никакие цены кроме $1200$ и $2500$ устанавливать не имеет смысла, доход будет ниже, а новых покупателей не добавится. Оценим, какой вариант лучше. При цене $1200$ руб. покупать проездной на метро будет всё население города в количестве $N$ человек, выручка при этом составит $1200N$. При цене $2500$ руб. проездной купит только $40\%$ населения, и выручка уменьшится: $2500 \cdot 0,4N = 1000N < 1200N$. Поэтому оптимальным будет первый вариант с ценой $1200$ руб. для всех.

Проездной на наземный транспорт $40\%$ жителей города готовы купить за $750$ руб., а $60\%$ – за $1800$ руб. Если продавать проездной всем, придется снизить цену до $750$, выручка при этом составит $750N$. Если же поднять цену до $1800$, купит проездной только $60\%$, но выручка увеличится до $1800 \cdot 0,6N = 1080N > 750N$. Таким образом, правильно устанавливая цены на отдельные проездные, транспортная компания может получить сумму $1200N + 1080N = 2280N$.

Если компания продает единый проездной, то $40\%$ населения будет готово купить его за $2500 + 750 = 3250$ руб., а $60\%$ населения – за $1200 + 1800 = 3000$. Очевидно, нужно ставить цену $3000$ руб., продавать проездной всем и получать выручку $3000N$, что больше $3250 \cdot 0,4N = 1300N$. Таким образом, выручка в случае продажи отдельных проездных составит $\dfrac{2280N}{3000N} = 0,76 = 76\%$, то есть окажется ниже на $24\%$.

а) Заметим, что альтернативные издержки производства $x$ в регионах следующие:
в Сансет Вэлли – $AC_x = 1$;
в Риверсайде – $AC_x = 0.5$;
в Бриджпорте – $AC_x = 2$.
Построим суммарную КПВ в соответствие с правилом, что альтернативные издержки возрастают с ростом производства. Значит (слева – направо) первый участок КПВ будет соответствовать Риверсайду, второй – Сансет Вэлли, третий – Бриджпорту.
Можем записать в алгебраическом виде:
$y =
\begin{cases}
40 - 0.5x,& 0 \leqslant x \leqslant 20
\\
50 - x,& 20 \leqslant x \leqslant 30
\\
80 - 2x,& 30 \leqslant x \leqslant 40
\end{cases}$

б) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $2$ к $3$ можно формализовать с помощью уравнения $3x = 2y$ или $y = 1.5 x$. Построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ.
Видно, что пересечение соответствует точке $(20; 30)$, значит на острове Исла Парадайз производится $20$ сетей для ловли рыбы и $30$ парусов для кораблей.
Осталось определить, сколько каждого товара прозводится в каждом регионе. Заметим, что точка $(20; 30)$ это точка излома, иначе говоря – это крайняя правая точка для участка КПВ, соответствующего региону Риверсайд, и крайняя левая точка для участка КПВ, соответствующего региону Сансет Вэлли. Значит все сети для ловли рыбы производятся Риверсайдом, а все паруса для кораблей – Сансет Вэлли и Бриджпортом (по $10$ парусов в каждом).
Ответ: в Сансет Вэлли – $0$ сетей и $10$ парусов,
в Риверсайде – $20$ сетей и $0$ парусов,
в Бриджпорте – $0$ сетей и $10$ парусов.

в) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $3$ к $2$ можно формализовать уравнением $2x = 3y$ или $y = \dfrac{2}{3} x$. По аналогии с предыдущим пунктом построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ.
Видно, что пересечение соответствует точке $(30; 20)$. Суммарно производится $50$ сетей и парусов, ровно как и в предыдущем пункте, поэтому ответ – суммарное производство не изменилось.

1. Зимой спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение: $Q^s = 3P$. Равновесию соответствует точка пересечения кривых спроса и предложение. Аналитически нам нужно просто приравнять их уравнения: $100 - P = 3P \Rightarrow P^*_w = 25,~ Q^*_w = 100 - 25 = 75$.

   Летом спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение до появления новой технологии имеет вид $Q^s = P$. Тогда равновесие: $100 - P = P \Rightarrow P^*_{s_1} = 50,~ Q^*_{s_1} = 50$.

2. С появлением новой технологии до вмешательства государства предложение имело вид: $Q^s = 2P$. Тогда равновесие: $100 - P = 2P \Rightarrow P^*_{s_2} = \frac{100}{3},~ Q^*_{s_2} = \frac{200}{3}$.
3. 1. Первый вариант решения:

      Условие можно было понять так, что государство своими закупками увеличивает спрос на $2a$ при каждом значении цены. Тогда спрос будет иметь вид $Q^d = 100 + 2a - P$, а предложение – $Q^s = P$. Равновесие на этом рынке: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = 50 + a,~ Q^* = 50 + a$. Изобразим спрос и предложение на графике:

      

      Общественное благосостояние – это сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства. Графически излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек производителей – площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене. Излишек государства в данном случае это просто его расходы, то есть $-a^2$. Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (a + 50)(2a + 100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) -a^2 = a^2 + 100a + 2500 - a^2 = 100a + 2500$. Видно, что общественное благосостояние возрастает по $a$, а значит, если государство старается максимизировать общественное благосостояние, то будет выбирать как можно большее значение $a$. Поскольку $a$ никак не ограничено, оптимальный выбор государства: $a \rightarrow +\infty$.

   2. Второй вариант решения:

      На самом деле государство не может увеличить спрос на константу при любом значении цены. Если цена поднимется выше максимальной цены, которую готовы платить потребители (в нашем случае это $100$), то спрос будет предъявлять только государство на уровне $2a$, т.е. при $P > 100$ мы будет иметь вертикальный участок спроса $Q = 2a$. При этом равновесие у нас будут при: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = a+50,~ Q^* = a + 50$.

      В этом случае общественное благосостояние – это всё ещё сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства, однако графически они будут считаться немного иначе. Изобразим спрос и предложение на графике:

      

      Излишек производителей графически – это площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса (только участком, соответствующим самим потребителям, а не государству и потребителям) и прямой, соответствующей равновесной цене. Для удобства заштрихуем эти фигуры на графике:

      

      Зелёным цветом заштрихован треугольник, соответствующий излишку потребителей, красным цветом – треугольник, соответствующий излишку производителей. Излишек государства составляет $-a^2$.

      Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (50 - a)(100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) - a^2 = 2500$. В этом случае общественное благосостояние постоянно и равно $2500$.

      Однако, если государство закупит достаточно много пирожков с голубикой, цена вырастет настолько, что потребители больше не будут покупать этот товар. Графически эта ситуация выглядит так:

      

      Произойдёт это в том случае, если закупки государства, то есть $2a$ превысят $100$, т.е. при $a > 50$. В этом случае равновесие складывается при $P^* = 2a,~ Q^* = 2a$. Излишек потребителей в этом случае равен $0$, поскольку они не покупают пирожки с голубкой совсем, а излишек производителей будет равен $0,5 \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$. Тогда общественное благосостояние имеет вид: $SW = 2a^2 - a^2 = a^2$. Видно, что при любом положительном $a$ общественное благосостояние бесконечно возрастает с ростом $a$. Поскольку государство стремится сделать общественное благосостояние как можно выше, оно выберет бесконечно большое $a$ и, соответственно, бесконечно большое общественное благосостояние.

4. Если бы государство не запрещало новую технологию, то общественное благосостояние составило бы: $SW = 0,5\cdot \frac{200}{3}(100 - \frac{100}{3}) + 0,5\cdot \frac{200}{3} \cdot \frac{100}{3} = \frac{10000}{3}$. В случае запрета технологии, но наличия государственных закупок, общественное благосостояние стремится к бесконечности. Таким образом, государству удалось значительно увеличить общественное благосостояние.

Начнём с того, что в условии указана производительность Кирилла и Гоши за $2$ часа работы. Этот факт необязательно использовать при решении, однако, если участники делили объёмы производства на $2$ и решали всю задачу с этими числами, баллы не снижались. Здесь же приведём решение для объёмов производства за $2$ часа.

1. Альтернативная стоимость производства экспериментов для Кирилла: $AC^K_e = 2$, альтернативная стоимость производства экспериментов для Гоши: $AC^G_e = 0,25$. Суммарно Кирилл и Гоша могут произвести $100$ экспериментов или $60$ единиц мерча. Построим кривую производственных возможностей Гоши и Кирилла, руководствуясь тем, что альтернативная стоимость производства растёт с ростом объёмов производства.

   

   Функция полезности Миши $U = min{x, y}$. Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид «уголков», вершины которых располагаются на прямой $y = x$. Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:

   

   Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: $y = 240 - 4x$. Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой $y = x$: $240 - 4x = x \Rightarrow x^* = 48,~ y^* = 48$. Таким образом, в оптимуме будет потребляться по $48$ единиц мерча и экспериментов.

2. Здесь стоит рассмотреть два случая.
   1. Первый случай: оптимум находится на первом (слева-направо) участке КПВ.

      Уравнение первого участка КПВ: $y = 100 - 0,5x,~ x \in [0, 40]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
      $$U_1 = -x^2 + 8,5x + 100 - 0,5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \underset{x \in [0, 40]}{max}$$
      Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40],~ y^* = 98$$
      $$U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116$$

   2. Второй случай: оптимум находится на втором (слева-направо) участке КПВ.

      Уравнение второго участка КПВ: $y = 240 - 4x,~ x \in [40, 60]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
      $$U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \rightarrow \underset{x \in [40, 60]}{max}$$
      Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
      $$x_{\text{в}} = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]$$
      Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это – $x = 40$, тогда найдём полезность:
      $$U_2^* = -1600 + 180 + 240 = -1180$$

   Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.

3. Запишем бюджетное ограничение Антона в общем виде:
   $P_x \cdot x + P_y \cdot y \leqslant I$, где $P_x,~ P_y$ – цены мерча и экспериментов соответственное, а $I$ – доход Антона. С учётом данных из условия можем переписать бюджетное ограничение Антона в следующем виде: $P_x \cdot x + y \leqslant I$ или $y \leqslant I - P_x \cdot x$. Заметим, что если $y < I - P_x \cdot x$, мы может немного увеличить $y$ и уменьшить $x$, при этом увеличив полезность, поэтому неравенство можно заменить на равенство. Тогда подставим бюджетное ограничение в полезность Антона и промаксимизируем:
   $$U = -x^2 + 8,5x + I - P_x \cdot x = -x^2 + (8,5 - P_x)x + I \rightarrow \underset{0 \leqslant x \leqslant \frac{I}{P_x}}{max}$$
   Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
   $$x^* = \frac{8,5 - P_x}{2}$$
   Заметим, что если $P_x > 8,5$, то товар $x$ становится слишком дорогим, и Антон перестаёт его покупать, т.е. $x^* = 0,~ P_x > 8,5$. С другой стороны, если расходы на товар $x$ в оптимуме превышают доход Антона, то он будет потреблять ровно $x^* = \frac{I}{P_x},~ \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}$.

   Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
   $$x^d =
   \begin{cases}
   0,& P_x > 8,5
   \\
   \frac{8,5 - P_x}{2},& P_x \leqslant 8,5,~ \frac{8,5 - P_x}{2} \leqslant \frac{I}{P_x}
   \\
   \frac{I}{P_x},& \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}
   \end{cases}
   $$

1. Запишем обратную функцию спроса: $P^d = 100 + 20\beta - Q$. Теперь можем записать функцию прибыли монополиста:
   $$\Pi = (100 + 20\beta)Q - Q^2 - (1 + \beta)Q^2 - 100 - 50\beta = -(2 + \beta)Q^2 + (100 + 20\beta)Q - 100 - 50\beta \rightarrow \underset{Q \geqslant 0}{max}$$
   Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $Q$, поэтому максимум – в вершине.
   $$Q^* = \frac{100 + 20\beta}{2(2 + \beta)}$$
   Подставим найденное оптимальное количество обратно в прибыль:
   $$\Pi = -\frac{(2 + \beta)(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)^2} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{2(2 + \beta)} - 100 - 50\beta = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$
   Сравним прибыли при $\beta = 0$ и $\beta = 1$:
   $$\Pi(\beta = 0) = \frac{100 \cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1250 - 100 = 1150$$
   $$\Pi(\beta = 1) = \frac{120 \cdot 120}{4\cdot 3} -100 - 50 = 1200 - 150 = 1050$$
   Очевидно, $\Pi(\beta = 0) > \Pi(\beta = 1) \Rightarrow \beta^* = 0,~ \Pi^* = 1150,~ Q^* = \frac{100}{4} = 25$.
2. Аккордная субсидия просто прибавляется к прибыли, как константа. Для того, чтобы фирме было выгодно выбрать экологичное производство, должно выполняться неравенство: $\Pi(\beta = 0) \leqslant \Pi(\beta = 1) + S$, где $S$ – размер субсидии. Подставив числа из предыдущего пункта, получим:
   $$1150 \leqslant 1050 + S \Rightarrow S \geqslant
   100$$
3. Оптимальный выбор объёма производства в зависимости от $\beta$ не изменится, поэтому прибыль в зависимости от $\beta$ имеет вид: $\Pi = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$. Тогда совокупная функция полезности имеет вид:
   $$U = \sqrt{\beta} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$
   Сравним полезности при $\beta = 0$ и $\beta = 1$:
   $$U(\beta = 0) = \frac{100\cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1150$$
   $$U(\beta = 1) = 1 + \frac{120\cdot 120}{4\cdot 3} - 100 - 50 = 1051$$
   Видно, что $U(\beta = 0) > U(\beta = 1)$, поэтому государство выберет $\beta^* = 0$

1. Альтернативные издержки производства $1$ тонны карасей в первом регионе: $AC_y = 1$, а во втором регионе – $AC_y = 2$. Максимально два региона вместе могут произвести $25$ тонн карасей или $40$ тонн анчоусов. Построим КПВ, руководствуясь тем, что альтернативные издержки возрастают с ростом объёмов производства. Тогда первый (слева-направо) участок КПВ будет соответствовать второму региону, а второй участок КПВ – первому региону.

   

   То, что караси и анчоусы потребляются комплектами из двух тонн карасей и одной тонны анчоусов, можно формализовать следующим уравнением: $y = 2x$, где $x$ – анчоусы в тоннах, а $y$ – караси в тоннах.

   Чтобы найти оптимальное потребление карасей и анчоусов, достаточно пересечь КПВ и уравнение, задающее пропорцию потребления. Сначала построим прямую $y = 2x$ на нашем графике КПВ.

   

   Видно, что прямая пересекает КПВ на первом участке. Уравнение первого участка КПВ: $y = 25 - 0,5x$. Приравниваем: $2x = 25 - 0,5x$ и получаем, что $x = 10,~ y = 20$. Значит в оптимуме будет производится $10$ комплектов.

2. Аналогично пункту а) найдем альтернативные издержки производства карасей и построим КПВ, а затем снова построим на том же графике прямую $y = 2x$.

   Альтернативные издержки производства карасей в первом регионе не изменились: $AC_y = 1$, а во втором регионе стали равны: $AC_y = 1,5$. Строим КПВ и прямую $y = 2x$ на одном графике:

   

   Уравнение первого участка КПВ: $y = 30 - \frac{2}{3}x$. Приравниваем: $30 - \frac{2}{3}x = 2x$ и получаем, что $x = 11,25,~ y = 22,5$. Значит теперь в оптимуме потребляется $11,25$ комплектов.