10 класс

1. Задача 1 ОЧ-2018 10 класс

Вы - владелец закрытого бассейна с абонементной системой для клиентов. Ваши посетители часто жалуются на грязный бассейн и сломанные лестницы для входа в бассейн. Перечислите меры, которые вы можете предпринять для решения этой проблемы (максимум 5).
Решение

Предложенные варианты ответа:

  1. Нанять специальных работников, которые будут вести постоянную диагностику состояния бассейна.
  2. Проводить обязательное пробное занятие для новых членов клуба.
  3. Установить постоянное наблюдение за работой бассейна (администратор), контроль за соблюдением техники безопасности.
  4. Подписывать договор об условиях пользования бассейном и штрафовать за несоблюдение.
  5. Проводить обучающие лекции, в которых объяснены меры предосторожности и санитарные нормы.

2. Задача 2 ОЧ-2018 10 класс

Собрание акционеров небольшого строящегося торгового центра. Практически все вопросы решены, необходимо лишь утвердить, какие сушилки для рук будут установлены в комплексе.

Председатель: «Итак, наконец предлагаю утвердить установку в нашем торговом центре сушилок модели 243А. Общая стоимость установки будет 40 тыс. рублей, расходы электроэнергии – примерно 4 рубля на каждого посетителя, который ими пользуется. Все согласны?»

Акционеры утвердительно качают головами

Василий Петрович (ВП): «Подождите, а я вот слышал, что модель 243Б потребляет в два раза меньше электроэнергии, чем модель 243А! С учётом того, что мы рассчитываем, что сушилками будет пользоваться не менее 10 тыс. человек в месяц, это значимая экономия, даже несмотря на то, что издержки по установке в два раза выше!»

1) Прав ли ВП, если акционеров интересует чистая приведённая стоимость, их коэффициент дисконтирования равен 0,8, и они рассчитывают, что торговый центр будет работать бесконечно долго, а первые покупатели ожидаются через месяц после установки сушилок?
Афанасий Григорьевич (АГ): «Попрошу, Василий Петрович, вы же не учитываете опыт наших коллег! Последние оценки показали, что покупатели готовы пользоваться моделью Б на 80% чаще, чем моделью А, так что тут никакая экономия электроэнергии не поможет».

2) Прав ли Афанасий Григорьевич?}
Константин Владиславович (КВ): «Афанасий Григорьевич, вы совсем забыли про то, что наша репутация зависит как раз от таких мелочей, как современное оборудование! Если вы посмотрите на пятый слайд презентации нашего архитектора, то увидите, что по недавним опросам спрос на продукцию торговых центров имеет вид $Q=143/P +0,1*A$, где Q - общий объём продаж в центре в у.е. , $P$ – средняя цена в центре в тыс. рублей, а $A$ – расходы на благоустройство в тыс. рублей. При этом магазины в среднем готовы продавать товары в объёме $Q=94+0,75P$, а на благоустройство уже потрачен 1 млн рублей. С учётом этого, всем, я полагаю, очевидно, что в таких условиях все дополнительные расходы на покупку более дорогой модели окупаются в первый же месяц.»

3) Прав ли Константин Владиславович? Окупится ли более дорогая модель в долгосрочном периоде?

Решение

  1. Для обоих видов сушилок суммарные издержки на момент совещания равны приведённым затратам на установку (далее «постоянные» издержки) и использование (далее «переменные»). Т.к. затраты на использование каждый месяц одинаковые, то их сумма – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, равная $0,8/(1-0,8)*10000*b$, где $b$– стоимость одного использования. Заметим, что в числителе 0,8, а не один, т.к. посетители начинают приходить на период позже установки сушилок. Тогда, в тыс. рублей:
  2. $$TC_A=40+4*40=200$$ $$TC_B=80+4*20=160 \lt TC_A$$

    Ответ: да, ВП прав.

  3. Если моделью Б пользуются на 80% чаще, то переменные издержки модели Б надо домножить на 1,8:
  4. $$TC_B=80+1,8*4*20=224>TC_A$$
    Ответ: да, АГ прав.

  5. Найдём рыночное равновесие для обоих случаев (можно в общем виде и подставить).
  6. $$a. 143/P+104=94+0,75P \longrightarrow D=100+429=23^2 \longrightarrow P=22, Q=110,5$$
    $$\pi_A=0,8*22*110,5-40=1904,8$$
    $$b.143/P+108=94+0,75P \longrightarrow D=196+429=25^2 \longrightarrow P=26, Q=113,5 $$
    $$\pi_B=0,8*26*113,5-80=2280,8$$
    Таким образом, прибыль при покупке модели Б существенно превышает прибыль от модели А. Ежемесячные расходы на дорогую модель ниже, чем на дешёвую, а выручка при этом выше, так что в долгосрочном периоде модель тем более окупится.

Ответ: да, прав; да, окупится.

3. Задача 3 ОЧ-2018 10 класс

У некоторой фирмы есть два цеха, где производится один и тот же товар $X$. Фирма использует в производстве только труд, не несет постоянных издержек и является совершенным конкурентом на рынке труда, заработная плата равна 1. Зависимость количества выпущенной продукции ($Q$) от количества нанятых рабочих ($L$, не обязательно целое число) в первом цехе описывается функцией $Q = \sqrt{2L}$. А во втором цехе: $$Q= \begin{cases}5 - \sqrt{25 - L}, & L \leq 25\\
5, & L \geq 25
\end{cases}$$
1. Пусть фирма является совершенным конкурентом на рынке товара $X$ и может использовать оба цеха. Выведите общие издержки фирмы в зависимости от количества произведенной продукции, функцию предложения фирмы. При каких значениях цены фирма будет использовать оба цеха?
2. Предположим теперь, что фирма является монополистом на рынке товара $X$. Спрос задаётся уравнением $Q_d(p) = 30 - 3P$. При каком объёме производства прибыль фирмы максимальна? Какую прибыль получит фирма?
3. Какой потолок цены должно установить государство, если оно желает, чтобы на рынке было продано как можно больше товара $X$? Сколько товара будет продано?
Решение

1. Для первого цеха $Q = \sqrt{2L} \Rightarrow L = \frac{Q^2}{2}$. Фирма не несет постоянных издержек и использует только труд $\Rightarrow TC = wL$. Поскольку $w = 1$, то $TC_1(q_1) = \frac{q_1^2}{2}$.
Для второго цеха не имеет смысла нанимать более 25 рабочих, так как каждый следующий нанятый работник не увеличивает объем произведенной продукции. При $L \leq 25$ имеем $Q = 5 - \sqrt{25 - L} \Rightarrow L = 10Q - Q^2, \; Q\leq 5$. Тогда $TC_2(q_2) = 10q_2 - q_2^2, ~~q_2\leq 5$. Выведем функцию общих издержек.
$q_1 + q_2 = Q \Rightarrow q_1 = Q - q_2$. $TC = TC_1 + TC_2$. Тогда $TC = \frac{1}{2}(Q - q_2)^2 + 10q_2 - q_2^2$. При этом должны соблюдаться оба ограничения $q_2 \in [0;5]$ и $q_2 \in [0;Q]$ или же $\begin{cases} q_2 \in [0;5],\\ q_2 \in [0;Q]\end{cases}$ Проминимизируем получившуюся функцию при условии данного ограничения. Заметим, что данная функция является параболой с ветвями \uline{вниз}, с вершиной $q_2 = 10 - Q$. Иными словами, в точке $q_2 = 10 - Q$ достигается максимум издержек. Необходимо рассмотреть несколько случаев.

1 случай
$Q \in [0;5] \Rightarrow q_2 \in [0;Q]$. $(10 - Q) \geq 5$, то есть вершина параболы выходит за допустимую область для $q_2$. Поскольку функция издержек возрастает по $q_2$ от нуля вплоть до вершины, то минимальное значение она принимает при $q_2 = 0$. То есть при $Q \in [0;5] TC(Q) = \frac{Q^2}{2}$ Графическая иллюстрация:

2 случай
$Q \in [5;10] \Rightarrow q_2 \in [0;5]$. $(10 - Q) \in [0;5]$, то есть вершина параболы входит в допустимую область для $q_2$. Поскольку функция издержек возрастает по $q_2$ от нуля до вершины, а затем убывает до $q_2 = 5$ то минимальное значение она принимает либо при $q_2 = 0$, либо при $q_2 = 5$, то есть на концах отрезка. Иными словами, необходимо сравнить издержки при $q_2 = 0 \Rightarrow q_1 = Q$ и при $q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5$. Графическая иллюстрация:

$q_2 = 0 \Rightarrow TC(Q) = \frac{Q^2}{2}$, ~$q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5 \Rightarrow TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2$. Сравнив данные функции, получим:
$$TC(Q) = \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [5; ~7,5]\\
25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \in [7,5;~ 10] \end{cases}$$
3 случай
$Q \geq 10 \Rightarrow q_2 \in [0;5]$. При данных значениях $Q$ вершина параболы $(10-Q)$ меньше 0, следовательно функция издержек убывает по $q_2$ при всех допустимых значениях $q_2$, то есть минимум достигается при $q_2 = 5$. Таким образом, $TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2$ при $Q \geq 10$. Итого:
$$TC(Q)= \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; ~7,5]\\
25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \geq 7,5
\end{cases}$$
В таком случае
$$MC(Q)= \begin{cases} Q, & Q \in [0; ~7,5]\\
Q-5, & Q \geq 7,5
\end{cases}$$
Предложение фирмы можно найти графически:
К аналогичному результату можно прийти сравнивая прибыли на разных участках в зависимости от цены: $PR_1(p) = \frac{p^2}{2}$, ~ $PR_2(p) = p(p+5) - 25 - \frac{p^2}{2} = \frac{p^2}{2} + 5(p-5)$. При $p=5$ фирме безразлично, на каком участке находиться (производить $Q=5$ или $Q=10$). Предложение фирмы в таком случае:
$$Q_s(P)= \begin{cases} P, & P \in [0; ~5]\\
P+5, & P \geq 5
\end{cases}$$
Фирма использует оба цеха при $P \geq 5$.

2. $P_d = 10 - \frac{Q}{3}$, выручка монополиста $TR = 10Q - \frac{Q^2}{3}$. В таком случае прибыль запишется в виде:
$$PR(Q)= \begin{cases} 10Q - \frac{Q^2}{3} - \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; ~7,5]\\
10Q - \frac{Q^2}{3} - 25 - \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \geq 7,5
\end{cases}$$
Максимизируя получившееся выражение на соответствующих участках получим точки $Q = 6$ на первом и $Q = 9$. Сравнивая значения прибыли при данных объемах, получим, что $PR(6) = PR(9) = 30$. Таким образом, $PR_{max} = 30$ достигается при $Q = 6$ или $Q = 9$.

3. При $Q=6$ $P=8$, а при $Q = 9$ $P = 7$. Очевидно, что при потолке цены выше 7, максимальный объем проданного товара фирмой-монополистом равен 9 (т.к. при $P = 7$ фирма получает максимальную прибыль). По мере уменьшения потолка цены вплоть до пересечения с графиком $MC$, изменяется график предельной выручки монополиста (график предельной выручки обозначен красным цветом):

При данном значении потолка цены ($P_{max} = 6,25$) максимальная прибыль для фирмы-монополиста достигается при $Q=11,25$, что следует из сравнения площадей под графиками предельных издержек и предельной выручки. Несложно заметить, что данное значение выпуска является максимальным.
К данному результату можно было прийти аналитически, сравнивая прибыли при всех возможных значениях потолка цены. Откуда следует зависимость оптимального объема выпуска от потолка цены:
$$Q^{*}(P_{max})= \begin{cases} 30 -3P_{max}, & P_{max} \in [6,25;~7]\\
P_{max} + 5, & P_{max} \in [5;~6,25]\\
P_{max}, & P_{max} \in [0;~5]
\end{cases}$$
Таким образом, государство должно установить потолок цены $P_{max} = 6,25$. Будет продано $Q=11,25$

4. Задача 4 ОЧ-2018 10 класс

Президент размышляет, кого назначить председателем Центрального банка. Всего есть три альтернативы:

  1. Молодой и амбициозный Александр Яблочков, заботящийся не только о достижении основной цели - стабильного уровня инфляции, но и понимающий воздействие политики ЦБ на финансовые рынки страны.
  2. Функция счастья Александра имеет следующий вид:
    $$U_A=-(\pi-\pi^*)^2-(i-i^*)^2,$$
    где $\pi$ и $\pi^*$ - фактический и желаемый уровни инфляции, а $i$ и $i^*$ - фактическая и желаемая процентная ставка.

  3. Консервативный, но уважаемый и проверенный Олег Васильевич Архангельский, считающий, что единственная важная задача ЦБ - ценовая стабильность. Счастье Олега Васильевича описывается функцией:
  4. $$U_O=-(\pi-\pi^*)^2,$$
    где $\pi$ и $\pi^*$ - фактический и желаемый уровни инфляции.

  5. Последний вариант - не давать Центральному банку право самостоятельно принимать решение, а взять управление в свои руки.

Экономика государства характеризуется следующими особенностями. Во-первых, любой глава Центрального банка (но не президент) устанавливает уровень инфляции и процентную ставку с учетом правила Тейлора:
$$i=2+1/2(\pi-\pi^*)$$
Кроме того, известны желаемые уровни инфляции и ставки процента: $\pi^*=4, i^*=20$.

Президент хочет, чтобы счастье жителей страны было максимальным. Это счастье задается следующей функцией:
$$H= \begin{cases}
-(\pi-\pi^*)^2-(i-i^*)^2, & \text{ если выбрана альтернатива 1 или 2}\\
-400, & \text{ если выбрана альтернатива 3}
\end{cases}
$$

Иначе говоря, демократическому населению не нравится, когда Центральный банк не является независимым.

Помогите президенту выбрать наилучший вариант назначения монетарных властей.

Решение

Подставляем уравнение Тейлора в функцию полезности $U_A$, получаем параболу ветвями вверх с вершиной $\pi = 8$. Тогда из уравнения Тейлора:
$i=2+0,5(8-4)=4$. Получаем, что уровень счастья людей при альтернативе 1: $H=-272$

Из функции счастья $U_O$ ясно, что председатель выберет $\pi=\pi^*=4$. Тогда из уравнения Тейлора $i=2$. Счастье людей при альтернативе 2: $H=-324$.

В последнем случае счастье $H=-400$.

Получается, что наилучшим вариантом для населения страны является назначение молодого Яблочкова. Именно такое решение примет президент.

5. Задача 5 ОЧ-2018 10 класс

Города $A$ и $B$ соединяет прямая дорога длиной 10 км. Вдоль всей дороги в двух шагах от нее находятся залежи алмазов, которым нет числа. Алмазы находятся глубоко под землей, и обычные жители городов их не добывают. Спрос на алмазы в каждом городе задается функцией $Q_d = 250 - 2P$, где $Q$ - кол-во штук (не обязательно целое), $P$ - цена в гривнах (не обязательно целое число).

Чтобы разбогатеть, авантюристы - копатель и два караванщика - отправляются в поход за алмазами, добыча которых - нелегкое занятие, и каждый добытый алмаз (1 шт.) обходится в 25 гривен. Копатель может выбрать любое место вдоль дороги для лагеря, где он будет добывать алмазы. Алмазы передаются караванщикам, и те честно везут их в города для продажи, каждый караванщик везет алмазы в свой город. Однако, чтобы отправить один алмаз из лагеря в город, в котором караванщик его продаст, необходимо потратить $s^2$ гривен, где $s$ - расстояние до города в км (не обязательно целое). Копатель и два караванщика максимизируют суммарную прибыль.

а) Какое место выберет копатель для лагеря, какую максимальную прибыль получит команда, сколько алмазов будет отправлено из лагеря? Сколько алмазов будет продано в каждом городе, если издержки связаны только с добычей и транспортировкой? Считайте, что караванщики могут назначать разные цены в городах.

б) В городе $B$ появились разбойники. Пусть они узнали, где копатель собирается разбить лагерь, и хотят ограбить караванщика. Разбойники выбирают ближайшее место для засады, причем доля алмазов, которая достанется им от грабежа описывается функцией $min\{{\frac{S_1}{5}; \frac{S_2}{5}}\}$, где $S_1$ - расстояние от засады до лагеря, $S_2$ - расстояние от засады до ближайшего города. Копатель ничего не знает о разбойниках. Какое место выберут разбойники для засады? Ответьте на вопросы предыдущего пункта. Считайте, что украденные алмазы также учитываются в издержках на перевозку.

в) Пусть копатель тайно узнал, где разбойники собираются устроить засаду. При этом он уже договорился, сколько алмазов передаст каждому караванщику в лагере (как в пункте а)), и не может это изменить. Однако он может изменить место, где будет разбит лагерь. (Если он решит, например, разбить его ближе к месту засады разбойников, то разбойникам может достаться меньше алмазов, чем раньше). Ответьте на вопросы первого пункта.

Решение

а) Пусть $q_1$ - количество алмазов, отправленных в $A$, $q_2$ - в город $B$. Тогда: $$PR(q_1, q_2) = [(125 - 0.5q_1)q_1 - 25q_1 - s^2q_1 ] + [(125 - 0.5q_2)q_2 - 25q_2 - (10 - s)^2q_2 ]$$
Данная функция - сумма двух незаисимых друг от друга парабол, каждую из которых можно максимизировать отдельно. Проделав это, получим: $q_1^* = 100-s^2$, $q_2^* = 100 - (10-s)^2$. Подставив данные соотношения обратно в функцию прибыли, получим зависимость максимальной прибыли от расположения лагеря:
$$PR(s) = 0.5(100-s^2)^2 + 0.5(100 - (10-s)^2)^2$$
Максимум этой функции совпадает с максимумом функции $-200s^2 + s^4 - 200(10-s)^2 + (10-s)^4$ (достаточно раскрыть скобки и избавиться от констант).

Проведем замену $t = s - 5$, раскроем скобки. При этом если $s\in[0;10]$, то $t\in[-5;5]$:
$$2t^4 - 100t^2 - 8750 \to max_t$$
Или же:
$$f(a) = a^2 - 50a \to max_a,$$
где $a \in [0;25]$. Это парабола, ветви вверх, следовательно максимум в одном из концов отрезка: при $a = 0$. Следовательно $t = 0$, а значит $s = 5$. Итого, лагерь будет разбит ровно на середине дороги. Тогда $q_1 = q_2 = 75$, $PR^{max} = 5625$

б) Легко заметить, что максимальное количество награбленного для разбойников достигается ровно на середине между городом и лагерем. С этой точки зрения им безразлично, где встать: между городом $A$ и лагерем или между городом $B$ и лагерем. Но поскольку они выбирают ближайшее место к городу $B$, то они встанут в 2.5 км от города $B$. Суммарная прибыль авантюристов составит 3046,875.

в) Возможны три варианта нового расположения лагеря($s$):

1 случай. Новый лагерь находится ближе к городу $A$, чем старый ($s \in [0;5]$)
2 случай. Новый лагерь находится ближе к разбойникам ($s \in [5;7.5]$). Заметим, что если $s =7.5$, то разбойникам ничего не достается.
3 случай. Новый лагерь находится за разбойниками ближе к городу $B$ ($s \in [7.5; 10]$).

1 случай. В $A$ доедет 75 алмазов, в $B$ доедет только половина, но в издержках мы будем учитывать 75. Выручка в таком случае постоянна, необходимо минимизировать суммарные издержки на перевозку:
$$75s^2 + 75(10-s)^2 \to min_s \Rightarrow s^* = 5$$
2 случай. В $A$ доедет 75 алмазов, в $B$: $15s - 37.5$ (теперь разбойникам достается меньше, при $s =7.5$ все 75 алмазов доедут до $B$). Поскольку выручка в $A$ - константа, ее можно не учитывать, а значит:
$$-75s^2 - 75(10-s)^2 + (15s - 37.5)(125 - 0.5(15s - 37.5)) \to max_s \Rightarrow s^* = 7.5$$
Поскольку $s=5$ также входило в рассматриваемый промежуток, значит $s^* = 7.5$ лучше.

3 случай является менее оптимальным как с точки зрения издержек, так и с точки зрения украденных алмазов. Двигаться дальше к городу $B$ не выгодно.

Итого: $s^* = 7.5$. Разбойникам ничего не достанется. В каждый город доедет 75 алмазов, а прибыль составит $PR = 4687,5$.

11 класс

1. Задача 1 ОЧ-2018 11 класс

Вы владелец антикафе. От Ваших посетителей начали появляться жалобы на сломанные кресла и исписанные столы. Перечислите меры, которые вы можете предпринять для решения этой проблемы (максимум 5).
Решение

Предложенные варианты ответа:

  1. Нанять специальный персонал, который будет вести постоянное наблюдение за состоянием антикафе.
  2. Проводить обязательный инструктаж для посетителей.
  3. Установить постоянное наблюдение за работой людей (администратор).
  4. Подписывать пользовательский договор и ввести систему штрафов для посетителей.
  5. Вознаграждать сотрудников, в чью смену не было ничего сломано.

2. Задача 2 ОЧ-2018 11 класс

Кривая производственных возможностей страны $A$ задана соотношением: $x+2y=60$.
КПВ страны $B$: $2x+y=40$. Пусть страны решают торговать друг с другом в пропорции 1:1.

(а) Определите, является ли данная пропорция обмена взаимовыгодной?

(б) Задайте аналитически кривые торговых возможностей обеих стран.

Оказалось, что страна А может «купить» технологический прогресс при производстве товара $x$. За производство технологического прогресса отвечают нейтральные ученые, не живущие в стране А, которые кроме новых технологий ничего производить не могут. КПВ страны А с учетом «купленного» прогресса имеет вид $ax+2y=60,a\in (0,1).$

(в) Задайте аналитически в зависимости от значений параметра a кривые торговых возможностей стран $A$ и $B$.

Предпочтения жителей страны $B$ устроены так, что они любят потреблять только товар $x$.
Обратим свое внимание отдельно на страну $A$. Набор товаров $(x,y)$, который после обмена со страной $B$ находится в распоряжении у страны $A$, хочет купить страна С, не желающая вести дела со страной $B$. Страна $C$ платит стране $A$ 2 у.е. за одну единицу товара $x$ и 3 у.е. за одну единицу товара $y$. Соответственно, выручка страны $A$ имеет вид $u(x,y)=2x+3y.$

Нейтральные ученые работают не бесплатно при производстве технологического прогресса. Суммарная стоимость их работы, которую полностью оплачивают жители страны $A$, если производится прогресс на уровне $a$, равна:
$$\displaystyle \frac{125}{a} +20a - 145 ~~ y.e.$$
(г) Какой уровень прогресса выберут жители страны А, если их цель – максимизация дохода?

Решение

(а) Взаимовыгодный обмен находится в границах: $0.5y\leq1*x\leq2y.$ Следовательно, предлагаемая пропорция 1:1 является выгодной, причем страна $A$ будет специализироваться на производстве товара $x$, а страна $B$ - на производстве товара $y$.

(б) При осуществлении торговли страна $A$ произведет 60 единиц товара $x$, однако обменять сможет только 40, так как страна $B$ производит максимум 40 единиц товара $y$. Таким образом, КТВ страны $B$ задается соотношением $y=40-x$. КТВ страны $A$ описывается ломаной линией в связи с ограничениями на обмен:
$$\displaystyle
y=
\begin{cases}
50-\displaystyle\frac{x}{2}, x \in [0,20]\\
60-x, x \in [20,60]
\end{cases}
$$

(в) В условиях технологического прогресса в стране $A$ будут только расти производственные возможности для товара $x$, а обменивать страна $A$ сможет все равно только 40 единиц, из-за ограничений по производству товара y страной $B$. Таким образом, КТВ страны $B$ не изменится, а КТВ страны $A$ будет иметь вид:
$$\displaystyle
y=
\displaystyle \begin{cases}
70-20a- \displaystyle\frac{ax}{2}, x \in [0,\displaystyle\frac{60}{a}-40]\\~\\
\displaystyle\frac{60}{a}-x, x \in [\displaystyle\frac{60}{a}-40,\displaystyle\frac{60}{a}]
\end{cases}
$$

(г) Отметим для начала, что жители страны $B$ в силу своих предпочтений будут согласны на любое предложение относительно обмена, так как это обеспечивает им большее количество товара $x$.
Максимум выручки страны $A$ при любом значении параметра a будет достигаться в точке излома КТВ. Ее координаты $(\displaystyle\frac{60}{a}-40,40)$.
Отметим также, что функция издержек по производству прогресса соответствует здравому смыслу. Она возрастает при увеличении прогресса, то есть при изменении a от 1 до 0. Кроме того, она стремится к бесконечности при максимально возможном уровне прогресса, то есть при $a\rightarrow0$, что отражает то, что слишком дорого бесконечно вкладываться в прогресс. Теперь найдем оптимальный уровень прогресса:

$
u(a)=2(\displaystyle\frac{60}{a}-40)+3*40- \frac{125}{a}-20a+145 = \displaystyle\frac{120}{a}+40- \frac{125}{a}-20a+145 = 185-\frac{5}{a}-20a
$

Максимум этой функции достигается при $a=0,5$. Суммарная выручка при этом равна 165.

3. Задача 3 ОЧ-2018 11 класс

В некотором государстве Дзета живут 100 гномов. Гномы любят есть мороженое, спрос на мороженое каждого гнома задается уравнением $q=20-p$, где $q$ - количество мороженого, которое хочет съесть гном за месяц (в килограммах), $p$ - цена на мороженое (в местной валюте, френках).

Мороженое на рынок государства Дзета поставляет единственный поставщик – Мистер Эльфио. Функция издержек на производство мороженого состоит из двух частей: закупка импортного сырья и прочие издержки. Для 1 кг производства мороженого требуется закупить 0.5 кг импортного сырья. Стоимость сырья на мировом рынке составляется 2 уены за кг. Прочие издержки равны $0,004q^2$ френков, где $q$ – количество произведенного мороженного в килограммах.

Мистер Эльфио может продавать мороженое не только на внутреннем рынке, но и на мировом рынке по цене 7 уен за кг мороженого. На мировом рынке по такой цене он может продать произвольное количество мороженого. (При этом импортировать готовый товар ему запрещено введенными ограничениями – Гномы хотят потреблять только отечественные продукты).

Сегодня Мистер Эльфио планирует производство мороженого на следующий месяц. Из-за торговых войн Мистер Эльфио не знает каков будет курс национальной валюты в следующем месяце, но он обязательно должен выбрать объем производства на следующий месяц именно сегодня, изменить его не получится. (Это связано с необходимостью зарезервировать мощности, оформить на таможне ввоз сырья, оплатить электричество, оплатить зарплату и т.д.).

Мистер Эльфио считает, что валютный курс может колебаться и в следующем месяце примет одно из двух значений:

При этом в следующем месяце Мистер Эльфио может продать не весь товар, который был произведен. Хранить товар, а также сырье (в ожидании более выгодных цен) не имеет смысла, поскольку мороженое уже успеет испортиться и его придется утилизировать.

(а) Какое количество мороженого Мистер Эльфио решит производить в следующем месяце, если он максимизирует ожидаемую прибыль, которую получит?

(б) Какое количество товара и на какие рынки будет продано при развитии каждого из сценариев? Какая прибыль будет получена при реализации каждого сценария? Приведите объяснение получившейся ситуации.

Решение

1. Не имеет смысла выкидывать товар, т.к. весь товар можно продать на мировом рынке и получить за него хоть что-то вместо ничего.

2. Оптимум производства лежит между оптимумами производства, если бы мы заранее знали величину валютного курса. В этом нетрудно убедиться, рассчитав оптимальные значения для каждого из случаев и затем сравнив с полученным ответом ниже. Однако это утверждение не является ключевым и отражает некоторую экономическую интуицию.

3. Вычислим несколько промежуточных значений:
$
Q=100*(20-p)=2000-100p\\
p=20-0,01Q\\
MR_\text{внутренний}=20-0,02Q\\
MR_\text{внешний}(e=1)=7 \\
MR_\text{внешний}(e=2)=14 \\
$
Далее рассмотрим каждый из сценариев. (При этом помним, что $Q$ мы фиксируем заранее)

1) $e=1$:
Оптимум на локальном рынке: $q_\text{внутр}=650,P=13,5$
Тогда оптимум на международном рынке вычисляется как:
$q_\text{межд}=Q-650$
Прибыль можно записать следующим образом:
$Pr(e=1)=650*13,5+7(Q-650)-Q-0,004Q^2=4225+6Q-0,004Q^2 $

2) $e=2$:
Оптимум на локальном рынке: $q_\text{внутр}=300,P=17$
Прибыль можно записать следующим образом:
$Pr(e=2)=300*17+14(Q-300)-2Q-0,004Q^2=900+12Q-0,004Q^2 $
Мы понимаем, что не знаем точно, каков будет валютный курс. Для расчета величины прибыли с учетом вероятности наступления данных событий используется математическое ожидание прибыли, $E(Pr)$, то есть в некотором смысле "средняя сумма", которую будет получать Мистер Эльфио. Для ее расчета необходимо умножить величину прибыли при каждом из событий на вероятность его наступления. Запишем математическое ожидание прибыли и промаксимизируем его:

$ E(Pr)=p_1*Pr_1+p_2*Pr_2=0,6*(4225+6Q-0,004Q^2)+0,4*(900+12Q-0,004Q^2)= 2895+8,4*Q-0,004 Q^2$
Находим максимум параболы с ветвями вниз: $Q^*=1050$.

4. Задача 4 ОЧ-2018 11 класс

Правительство страны R беспокоится о гражданах своей страны и стремится минимизировать потери экономики $L=\pi^2+u^2$, то есть удержать инфляцию $\pi$ и безработицу $u$ (в процентах) на уровне близком к нулю. Используя монетарную и фискальную политику, правительство может стимулировать экономику, добиваясь высокой инфляции и низкой безработицы, или наоборот, сдерживать экономику, снижая инфляцию и повышая безработицу. Иными словами, правительство может выбрать любую комбинацию инфляции и безработицы, которые совместимы с функцией совокупного предложения $\pi=6+\pi^e-u$, где $\pi^e$ обозначает инфляционные ожидания населения.

1. В начале года правительство анонсирует, что будет добиваться инфляции и безработицы на уровне соответственно $\pi_0$ и $u_0$. Предполагая, что население верит в успех политики и рационально формирует свои инфляционные ожидания, определите оптимальные значения $\pi_0$ и $u_0$ с точки зрения правительства.

2. Представим теперь, что сделав анонс и убедив население, что инфляция в стране по итогам года составит $\pi_0$, правительство передумало и в тайне от всех решило пересчитать целевые показатели. Чему равны оптимальные значения инфляции $\pi_1$ и безработицы $u_1$?
Как скажется такой обман на потерях экономики? Объясните.

3. Из-за утечки информации из министерства финансов население узнало о новых целевых значениях правительства и успело обновить свои инфляционные ожидания. Понимая, что прежнего не вернуть, правительство решило вновь пересчитать целевые значения, исходя из новых инфляционных ожиданий. Приведет ли это к росту или падению инфляции $\pi_2$ и безработицы $u_2$?

4. Последовавшие новые утечки заставили население серьезно призадуматься. Постепенно граждане пришло к печальному выводу, что какие бы инфляционные ожидания $\pi^e$ они не сформировали, правительство после этого выберет оптимальную с его точки зрения инфляцию вместо обещанной. Не доверяя правительству и не желая быть обманутым, население страны теперь формирует свои инфляционные ожидания таким образом, чтобы они совпали с реальной инфляцией, которую выберет правительство после пересмотра целей в конце года. Найдите это равновесное значение инфляции $\overline{\pi}=\overline{\pi^e}$ и соответствующую безработицу $\bar{u}$. Будут ли потери экономики выше или ниже в этом случае чем в пункте (1), когда правительство следовало своим обещаниям? Почему?

5. Борясь с непоследовательной политикой, государство решает ввести “политику по правилам”: правительство публично заявляет в начале года, что если ему не удастся удержать инфляцию на уровне $\pi_0$, то оно в полном составе уйдет в отставку. Поскольку уходить в отставку министрам не хочется и населению об этом известно, в обществе устанавливается консенсус, что инфляция действительно составит $\pi_0$. Однако неожиданный рост мировых цен на нефть в середине года привёл к сдвигу совокупного предложения $\pi=10+\pi^e-u$.
Сравните потери экономики в случае, если правительство будет придерживаться данного обещания, и если оно его нарушит.

6. На основе предыдущего анализа сформулируйте, в чем преимущества и недостатки “политики по правилам”, когда правительство во что бы то ни стало добивается уровня инфляции, аносированного в начале года.

7. Что может заставить правительство следовать “политике по правилам” в реальной экономике?

Решение

1. Поскольку население доверяет правительству, $\pi^e=\pi_0$, а так как государство выполняет свое обещание, $\pi=\pi_0$. Подставляя эти два равенство в функцию предложения, получаем $u_0=6$. Таким образом, уровень безработицы определен и правительству остается выбрать инфляцию. Чтобы минимизировать потери, оптимально таргетировать нулевую инфляцию $\pi_0=0$.

2. Поскольку население ориентируется на $\pi^e=\pi_0=0$, функция совокупного предложения равна $\pi = 6 − u$. Подставляя это ограничение в целевую функцию правительства, получаем $L = (6 − u)^2 + u^2$. Минимизируя с помощью производной или нахождения вершины параболы, находим $u_1 = 3, \pi_1 = 3$. Таким образом, $L_1 = 18$, в то время как $L_0 = 36$. Обман государства выгоден экономике, поскольку позволяет существенно снизить безработицу путем малого увеличения инфляции.

3. Теперь $\pi^e=\pi_1=3$ и функция совокупного предложения $\pi = 9 − u$. Соответственно правительство минимизирует $L = (9 − u)^2 + u^2$ и выбирает $u_2 = \pi_2 = 4.5$. Таким образом, равновесные безработица и инфляции будут выше, чем до утечки информации.

4. После того, как население нацелилось на инфляцию $\overline{\pi}$, функция совокупного предложения становится $\pi=6+\bar{\pi}-u$. Правительство соответственно минимизирует $L = (6 +\bar{\pi} − u)^2+u^2$ по переменной u и выбирает $\bar{u} = 3 + \bar{\pi}/2$. Так как равновесное значение инфляции равно ожидаемому, $\pi=\bar{\pi}$ и согласно функции совокупного предложения $\bar{u}= 6$. Из двух последних выражений следует, что $\bar{\pi}= 6$. Потери экономики при этом равны $\bar{L}= 72$, что выше чем $L_0 = 36$. Население знает, что государство склонно выбирать более высокую инфляцию, чем обещало, чтобы снизить безработицу в экономике, а потому изначально закладывает высокие инфляционные ожидания. Если государство выберет инфляцию ниже ожидаемой, это приведет к росту безработицы. В результате правительству приходится выбирать высокую инфляцию без всякого выигрыша с точки зрения безработицы.

5. Поскольку население доверяет правительству, $\pi^e=\pi_0=0$ и функция совокупного предложения равна $\pi = 10 − u$. Если правительство действительно следует своему обещанию, то $\pi = 0, u = 10$ и $L = 100$. С другой стороны, если бы правительство решило отклониться от исходной политики и минимизировало потери экономики $L = (10 − u)^2 + u^2$, то оно бы молгло имплементировать $\pi = 5, u = 5$ и L = 50. Таким образом, с точки зрения общества, было бы лучше нарушить данное правительством обещание.

6. С одной стороны, преимущество политики по правилам заключается в том, что она позволяет избавиться от завышенной инфляции из пункта (4), которая возникает из-за недоверия населения к правительству. С другой стороны, политика по правилам не позволяет правительству реагировать на неожиданные шоки в экономике в пункте (5), что чревато большими издержками.

7. Во-первых, можно принять законы, которые напрямую регламентируют целевую инфляцию. При этом важно, чтобы правительство не могло легко отменить подобный закон. Во-вторых, для того, чтобы правительство следовало своим обещаниям, часто достаточно одной угрозы. Например, если население верит правительству до первого обмана, а после этого полностью теряет доверие и ожидает всегда высокую инфляцию, то государству может быть не выгодно отклоняться от исходной политики.

5. Задача 5 ОЧ-2018 11 класс

Воскресенье, вечер. Уезжая на две недели, мама оставляет юному финансисту Егору 100 рублей. Еще 100 рублей мама отправит ему через неделю рано утром в понедельник. Других источников финансирования у Егора нет.

Егор закончил курсы по финансам и знает, что свое состояние можно приумножить, если грамотно распорядиться своими активами. Только сейчас (вечером в воскресенье) у него есть уникальная возможность купить акции некоторой компании $Dengoff ~Group$ по цене 1 рубль за акцию.

В дальнейшем купить эти акции будет невозможно. Количество акций не обязательно целое. На протяжении первой недели Егор сможет продать 1 акцию только за 0,5 рублей, зато на протяжении второй недели - за целых 2 рубля. Еще у юного финансиста есть счет в некотором $Credit ~Svas$ банке, где он может взять кредит или же оформить вклад по ставке 25% в неделю. Егор может осуществлять операции в банке только по утрам в понедельник. Егор все свои деньги тратит на мятную жвачку, которая всегда стоит 1 руб за штуку. Количество штук не обязательно целое. Егор не расстраивает маму, поэтому, когда она приедет, у него не может быть долгов перед банком.

1) Функция полезности Егора $U(C_1, C_2) = C_1^2 \cdot C_2$, где $C_1$ - потребленная жвачка в течение первой недели, $C_2$ - потребленная жвачка в течение второй недели. Егор максимизирует полезность. Изобразите в координатах $C_1, C_2$ возможности Егора. Сколько жвачки купит Егор в течение каждой недели, сколько акций купит и будет ли пользоваться возможностями банка и, если будет, то как?

2) В $Credit ~Svas$ банке произошли перемены, и теперь максимальная сумма взятого в течение первой недели кредита не может превышать половины дохода, получаемого от мамы в начале недели. Изобразите в координатах $C_1, C_2$ все доступные Егору комбинации уровней потребления в первом и втором периодах.

3) Ответьте на вопросы первого пункта.

Решение

1) От участников требуется заметить, что делать вклад в таком случае не выгодно. Максимум потребления в первом периоде достигается следующим образом: Егор покупает 100 акций вечером в воскресенье, берет кредит в размере 240 рублей в понедельник и гасит его в следующий понедельник за счет проданных акций (200 рублей) и полученными от мамы деньгами (100 рублей). Итого 240 рублей на первой неделе, 0 рублей на второй. Максимум потребления во втором периоде достигается следующим образом: Егор покупает 100 акций, на второй неделе они приносят ему 200 рублей, и еще 100 рублей от мамы. Итого 0 рублей в первом периоде, 300 во втором.

$$\begin{equation}C_2=300-1,25C_1 \\ U(C_1)=C_1^2(300-1,25C_1) \longrightarrow \max \\ U'(C_1)=600C_1-3,75(C_1)^2=0 \\ C_1^*=160, C_2^*=100\end{equation}$$
Берет кредит в размере 240, покупает 100 акций.

2). При $C_1 \leq 50$ имеем старое бюджетное ограничение: Егор покупает 100 акций и берет кредит на первой неделе (наклон 1,25). При $C_1 \geq 50$ Егор не может брать кредит, поэтому, чтобы увеличить потребление в первом периоде, он вынужден отказываться от купленных акций (наклон 2). Больше, чем 150, в первом периоде Егор потребить не может: он тратит 100 и берет кредит в размере 50, выплачивает 62,5 на второй неделе. Таким образом, у него остается 37,5 на второй неделе.

3) $C_1^* = 112,5$, $C_2^* = 112,5$
Берёт кредит в размере 50, покупает 37,5 акций.

8 класс

1. Задача 1 ОЧ-2018 8 класс

Вы - директор фитнес-клуба. Клиенты Вашего центра часто жалуются на то, что тренажеры сломаны или плохо работают. Перечислите ровно пять мер, которые Вы можете предпринять для решения этой проблемы.
Решение

Предложенные варианты решения:

  • Нанять ремонтников, которые будут вести постоянное наблюдение за состоянием тренажеров.
  • Обучить персонал чинить аппаратуру и вознаграждать их за это.
  • Проводить обязательное пробное занятие для новых членов клуба, чтобы обучать их, как пользоваться тренажерами.
  • Установить постоянное наблюдение за работой тренажерного зала (администратор).
  • Создать онлайн курс обучения для посетителей спортзала, как пользоваться тренажерами (везде вешать инструкции).

2. Задача 2 ОЧ-2018 8 класс

Как-то Винни-Пуху в очередной раз захотелось полакомиться медом неправильных пчел. Но справляться с пчелами в одиночку гораздо труднее, поэтому он обратился за помощью к Пятачку -- единственному обладателю ружья в округе. На ближайшую неделю у Пятачка уже запланированы дела, однако он согласился помочь другу в следующее воскресенье. В случае совместного похода каждый из них получит половину от собранного общими усилиями меда.

Встретив в пятницу вечером изрядно покусанного, но довольного Кролика, Винни-Пух сообразил, что их поход за медом может оказаться гораздо труднее, чем казалось изначально. Поэтому он отправился к Пятачку и предложил тому заключить сделку: Винни-Пух заберет себе ровно 8 баночек из всего собранного ими меда (в том числе весь мед, если 8 баночек не наберется), а остальное достанется Пятачку. Взамен этого он прямо сейчас готов отдать Пятачку 3 баночки из собственной кладовой. Пятачку такой договор пришелся по душе, однако он добавил, что Винни-Пух всегда может отказаться от предложенного условия, доплатив ему еще две баночки.

(а) Изобразите графически чистый доход Винни-Пуха, выраженный в баночках меда, в зависимости от величины собранного угощения. Сколько баночек меда необходимо собрать, чтобы заключение сделки для Винни-Пуха было целесообразным?

Встретив в субботу вечером слегка поправившегося и по-прежнему довольного Кролика, Пятачок осознал, в какое неприятное положение поставила его заключенная сделка. Поэтому он отправился к Винни-Пуху и предложил добавить пункт, согласно которому доля Пятачка будет составлять 20\% от общего числа собранных баночек меда. Взамен этого он прямо сейчас готов отдать Винни-Пуху одну баночку из своих запасов. Винни-Пуху такой договор пришелся по душе, однако он добавил, что Пятачок всегда может отказаться от предложенного условия, доплатив ему еще одну баночку. В случае, если каждый захочет воспользоваться своим условием, первоочередным будет именно предложение Пятачка.

(б) Изобразите графически чистый доход Пятачка, выраженный в баночках меда, в зависимости от величины собранного угощения, исходя из того, что Винни-Пух будет действовать в строгом соответствии с решением предыдущего пункта. Сколько баночек меда необходимо собрать, чтобы заключение новой сделки для Пятачка было целесообразным?

Решение

(а) У Винни-Пуха имеется два варианта: либо действовать в соответствии со сделкой, либо ее нарушать.
В случае, если он действует в соответствии со сделкой, его чистый доход составляет $8-3=5$ баночек меда, если их будет собрано больше $8$, и $Q-3$ баночки в противном случае.
В случае, если он нарушает сделку, его чистый доход составляет $0.5Q-5$ баночек меда.
Изобразим все три функции на графике. Решение задачи соответствует верхней огибающей.

Изломы графика в точках $(8;5)$ и $(20;5)$. Использовать опцию сделки имеет смысл, если собрано от $0$ до $20$ баночек меда.

(б) Рассмотрим варианты Пятачка:
Соблюдать сделку – тогда его чистый доход составит $3-1+0.2Q=2+0.2Q$ баночки.
Не соблюдать сделку – тогда его чистый доход составит $3-1-1+Q-8=Q-7$ баночек для $8\leqslant Q\leqslant 20$ (Винни-Пух пользуется своим правом) и $3-1-1+2+0.5Q=0.5Q+3$ для $Q\geqslant 20$ (Винни-Пух не пользуется своим правом). При $Q\leqslant 8$ Пятачок не будет получать меда вообще, этот случай из рассмотрения убираем. Поскольку предложение Пятачка превалирует, решение Винни-Пуха кроме вышеупомянутого разделения нас ничем не интересует.

Изломы в точках $(11.25;4.25)$ и $(20;13)$. Использовать опцию сделки имеет смысл, если собрано от $0$ до $11.25$ баночек меда.

3. Задача 3 ОЧ-2018 8 класс

На отдаленном островке в Тихом океане проживает племя Тамагочи. Всех $500$ представителей племени отличает увлечение известной игрой и безграничная общительность. Каждого жителя острова можно удобно идентифицировать по уникальному количеству его виртуальных питомцев: у $i$-того жителя $(i=1,2,\cdots,500)$ их ровно $i$ штук. К великому счастью Тамагочей недавно на острове наконец появилась первая социальная сеть. Удовольствие, испытываемое $i$-тым жителем от пользования сетью, можно измерить в соответствии с формулой $U_i=i\cdot(n-1)-A$, где $n$ обозначает количество пользователей сети, включая самого $i$-того жителя. В случае отключения от сети удовольствие жителя равно нулю, поскольку он не испытывает мук совести относительно своей интернет-зависимости. В случае, если пользование и не пользование сетью одинаково предпочтительны, житель выбирает первое.

Предположим, жители острова каждое утро независимо друг от друга принимают решение о подключении к сети или отключении от нее. Помимо этого каждое утро они могут наблюдать точное количество пользователей, подключившихся к сети в предыдущие дни. Принимая решение, каждый житель предполагает, что его соплеменники будут действовать так же, как они это делали в прошлом периоде. В день появления сети единственным, кто к ней подключился, был смелый вождь племени $(i=1)$.
(а) Для каждого натурального значения параметра $A$ определите, на какой день после появления сети к ней подключатся все жители острова.
Вскоре после описанных событий на острове появился мессенджер, ничуть не уступающий существующей сети по всем потребительским характеристикам. Мнения жителей разделились: ровно половина отдала предпочтение старой сети, а все остальные прельстились бесплатными стикерами и перешли на пользование новым мессенджером. Соответственно, теперь каждое утро жители независимо друг от друга принимают решение о том, каким способом они будут коммуницировать в этот день, или не будут этого делать вовсе.

(б) Предположим, что $A=0$. Покажите, как будет меняться количество пользователей обеих сетей, начиная с первого дня после появления нового мессенджера.

(в) Исходя из условия задачи, предположите, что экономисты подразумевают под термином {\it{сетевой эффект}}. Приведите пример блага (кроме социальных сетей), в отношении которого может быть применим этот термин. Приведите пример не более двух отрицательных последствий сетевого эффекта для потребителей блага.

Решение

(а) Определим ожидания жителей на первый день после подключения сети:
Вождь ожидает сохранения статуса-кво, что в его случае соответствует полезности $$U_1=1\cdot(1-1)-A=-A<0$$
Вне зависимости от значений параметра $A$ в первый день он отключится от сети.
Все остальные жители от подключения к сети ожидают полезность $U_i=i\cdot(2-1)-A=i-A$. Соответственно, при $A\leqslant 500$ подключится $n_1=\min\{501-A,499\}$ жителей, для которых $i\geqslant A$, и при $A>500$ не подключится никто.
Утром второго дня в сети будет $n_1$ жителей. Рассмотрим локальный случай $A=1$. Он описывает ситуацию, в которой утром первого дня в сети оказались все жители острова кроме вождя. Соответственно, он присоединится к ним во второй день, и, начиная с этого момента, сеть никто не покинет.
Для всех прочих $2\leqslant A\leqslant 500$ текущие пользователи сети будут оценивать полезность от статуса-кво как $$U_i=i\cdot (n_1-1)-A=i\cdot(500-A)-A$$
В сети останутся пользователи, для которых она неотрицательна:
$$i\cdot(500-A)-A\geqslant0 \to i \geqslant \dfrac{A}{500-A}=-1+\dfrac{500}{500-A}$$
Помним, что для этого $i$ выполняется $i\geqslant A$. Значит, для любого $A\leqslant 499$ житель, подключившийся к сети, останется в ней и на второй день. Случай $A=500$ можно рассмотреть отдельно и понять, что сеть окончательно умрет на второй день.

Все остальные жители будут оценивать полезность
$$U_i=i\cdot (n_1+1-1)-A=i\cdot(501-A)-A$$
Предлагается следующее: ввиду крайне быстрого роста числа пользователей сети поймем, при каких $A$ она не будет заполнена на второй день. Это можно интерпретировать как значения $A$, при которых на второй день вождь, как житель с наименьшим $i$, не подключится:
$$501-A-A<0\to A>250.5\to A\geqslant 251$$
Убедимся: $n_1(A=251)=250\Longrightarrow n_2(A=251):i\cdot 250-251\geqslant 0\Longrightarrow i_{\max}=2$
Значит, при всех $A\leqslant 250$ сеть заполнится на второй день.

На третий день задача неподключенного жителя будет выглядеть так:
$$U_i=i\cdot\left(500-\left\lfloor\dfrac{A}{501-A}\right\rfloor\right)-A\geqslant 0$$

Снова найдем наименьшее значение, при котором не подключится вождь. Без ограничения целочисленности получаем неравенство $$500\cdot 501-500A-A-501A+A^2\geqslant0\to A^2-2\cdot 501A+500\cdot 501\geqslant 0$$
$$A^2-2\cdot 501A+501^2-501\geqslant 0$$
$$501-A\leqslant \sqrt{501}\Longrightarrow A\geqslant 501-\sqrt{501}\Longrightarrow A\geqslant 501-22=479$$
Проверим $479$: $n_1=22,n_2=500-\left\lfloor\dfrac{479}{22}\right\rfloor=500-21=479$ - на третий день вождь подключится.
Понятно, что $A$ надо увеличить
Проверим $480$:
$n_1=21,n_2=500-\left\lfloor\dfrac{480}{21}\right\rfloor=500-22=478$ - на третий день вождь не подключится.
Ответ: при $0\leqslant A\leqslant 250$ на второй день
при $251\leqslant A\leqslant 479$ на третий день
при $480\leqslant A\leqslant 499$ на четвертый день
при $500\leqslant A$ никогда

(б) Каждый из половины пользователей сети на следующий день захочет стать $251$-ым пользователем мессенджера и наоборот. Соответственно, каждый житель племени будет ежедневно менять способ коммуникации, однако на количествах пользователей сети и мессенджера это не отразится.
(в) Согласно определению, сетевой эффект - эффект в экономике и бизнесе, который пользователь товара или услуги оказывает на ценность этого продукта или услуги для других пользователей.

4. Задача 4 ОЧ-2018 8 класс

На рынке некоего товара присутствуют два производителя с соответствующими функциями издержек: $$TC_1(q_1)=\dfrac{q_1^2}{2}$$ $$TC_2(q_2)=\dfrac{q_2^2}{4}$$ Потребители готовы купить любое количество товара по цене, равной восьми, и не готовы купить ничего при цене больше восьми.

(а) В данный момент государством установлен налоговый сбор в размере 25% от цены производителя за каждую единицу проданной продукции. Для каждого производителя определите уровень выпуска, прибыль и величину налоговых сборов, сложившиеся при таких условиях.

(б) Государство рассматривает возможность введения линейной шкалы налогообложения вида $t(q_i )=aq_i+b, \; i=1,2$ таким образом, чтобы при этом величина налогового сбора с каждого производителя осталась на прежнем уровне. Существует ли такая шкала? В случае утвердительного ответа на этот вопрос найдите все подходящие комбинации параметров $a$ и $b$.

Решение

(а) Запишем задачу производителя:
$$Pr_i=8q_i-TC_i(q_i)-2q_i=6q_i-TC_i(q_i )→\max_{(q_i)}$$
$$Pr_1'=6-q_1=0$$
$$Pr_2'=6-\dfrac{q_2}{2}=0$$
Либо через вершину параболы
Откуда $q_1=6$, $q_2=12$, $Pr_1=6\cdot 6-3\cdot 6=18$, $Pr_2=6\cdot 12-6\cdot6=36$, $T_1=2\cdot6=12$, $T_2=2\cdot 12=24$.

(б) Новая задача производителя:
$$Pr_i=8q_i-TC_i(q_i)-T(q_i)=8q_i-TC_i(q_i)-aq_i-b \to \max_{(q_i)}$$
$$Pr_1'=8-q_1-a=0$$
$$Pr_1'=8-\dfrac{q_2}{2}-a=0$$
Либо через вершину параболы.

Тогда налоговые сборы соответственно равны
$$T_1=(8-a)a+b=12$$
$$T_2=2(8-a)a+b=24$$
Очевидно, $(8-a)a=12$, откуда $b=0$. Корни квадратного уравнения на $a$ равны соответственно $2$ и $6$. Тем самым вводится фиксированный налог в размере $2$ или $6$ в расчете на единицу произведенной продукции.

5. Задача 5 ОЧ-2018 8-9 класс

В одной школе на окраине столицы всё хорошо, но вот только хромает дисциплина. Представьте: каждое утро сразу 4 ученика 9 «А» класса опаздывают на первый урок: Серёжа, Антон, Миша и Коля. В классе очень много ребят, поэтому мест на опоздавших остаётся немного: всего 4 – две парты в левом ряду (по 2 места каждая – у окна и у прохода) – первая и последняя.

Как и в любом нормальном классе, у ребят различаются предпочтения в вопросе того, где и с кем сидеть, ведь кто-то любит сидеть сзади и болтать с соседом по парте, а кому-то безразлично, где сидеть, лишь бы списать удалось. Предпочтения ребят устроены не так уж и просто: к примеру, для Миши в первую очередь важно сидеть вместе с Антоном (назовём это желанием 1 степени важности), чуть меньше его волнует то, что он любит сидеть сзади (желание 2 степени важности), и еще чуть меньше – то, что он любит сидеть у прохода (желание 3 степени важности), потому что часто выбегает попить. То есть для Миши лучше сидеть с Антоном спереди, чем с Колей или Сережей сзади, а если Мише удаётся сидеть вместе с Антоном, то лучше сзади (даже у окна), чем спереди, и т.д.

Предпочтения всех опоздавших (где и с кем сидеть) описываются следующим образом:

Будем называть итоговую рассадку школьников неэффективной, если опоздавшие могут перераспределить между собой эти 4 места так, чтобы хотя бы одному из них стало лучше, а остальным – не хуже. В противном случае рассадку будем называть эффективной.

(a) Приведите пример неэффективной рассадки и обоснуйте её неэффективность. Приведите пример эффективной рассадки и обоснуйте её эффективность. Сколько всего существует эффективных и неэффективных рассадок?
Взаимодействие между мальчиками происходит последовательно: первым в 9:05 приходит Миша и занимает какое-то место. Затем в 9:20 прибегают Коля и Антон, Мальчики договариваются о том, кто из них куда сядет, причем если они захотят сесть на одно и то же место, то Коле придётся уступить Антону и выбрать другое место, потому что он зачастую у него списывает и не хочет с ним спорить лишний раз. Наконец, в 9:30 прибегает Серёжа – самый сильный мальчик в классе, который без промедления занимает единственное оставшееся свободное место. Однако если Серёже не понравится это место, то он может быстро поменяться своим местом с любым из опоздавших.

(б) Все опоздавшие действуют рационально, зная о порядке взаимодействия и о предпочтениях других. Определите, может ли Миша в итоге оказаться сзади? Как в итоге рассядутся мальчики? Обязательно ли итоговая рассадка будет эффективной?

Решение

a) Всего расположений: $4!=24$.
Неэффективные рассадки: $8+2+2+8=20$.
Чтобы доказать неэффективность рассадки, необходимо указать хотя бы одну такую пересадку, что в результате этой пересадки хотя бы одному из ребят стало лучше, а остальным – по крайней мере не хуже.

1) Антон сзади не с Мишей: $2\cdot2\cdot2=8$.
Коля (Сережа) спереди, Антон может поменяться с ним.
Антону станет лучше (сядет вперед), и Коле (Сереже) станет лучше (сядет назад), и Мише станет лучше (будет с Антоном), и Сереже (Коле) станет лучше (будет с Колей (Сережей)).

2) Сережа спереди у окна, Коля спереди у прохода, Антон сзади с Мишей: 2.
Сережа может поменяться местами с Колей, и Сереже станет лучше (сядет у прохода), а всем остальным станет не хуже.

3) Антон спереди с Мишей, Сережа сзади у окна, а Коля - у прохода: 2.
Сережа может поменяться с Колей, Сереже станет лучше (сядет справа), Коле не станет хуже, а Антону с Мишей не стало хуже, так как они остались на своих местах.

4) те, где Антон спереди не с Мишей: $2\cdot2\cdot2=8$.
Миша сзади, а Коля (Сережа) спереди, значит Миша может поменяться с Колей (Сережей) местами, и Мише станет лучше (сядет с Антоном), и Коле (Сереже) (сядет сзади), и Антону станет лучше (будет с Мишей), и Сереже (Коле) станет лучше (будет с Колей (Сережей)).

Эффективные рассадки: $2+1+1=4$.
Чтобы доказать эффективность рассадки, необходимо продемонстрировать, что при любом изменении местоположения ребят хотя бы одному из них станет хуже.

1) те, где Антон спереди с Мишей, Сережа сзади у прохода, а Коля сзади у окна: 2.

Докажем вначале, что для обоих случаев нельзя пересаживать Сережу и Колю со своих мест: до пересадки Сережа сидит сзади у прохода с Колей - наилучшее возможное расположение для него, поэтому если в результате пересадок как-то изменятся места Сережи или Коли, то Сереже гарантированно станет хуже.

Осталось рассмотреть возможность поменять местами только Мишу с Антоном спереди: если это сделать, то тому, кто сидел до пересадки у прохода, станет хуже.

Таким образом, данные расположения эффективны.

2) Сережа спереди у прохода, Коля спереди у окна, Антон сзади у окна, Миша сзади у прохода: 1.

Если в результате пересадки как-то изменится положение Миши и Антона, то Мише станет хуже, потому что сейчас для него наилучшее возможное расположение.

Осталось рассмотреть возможность поменять спереди местами Колю с Сережей, но тогда станет хуже Сереже.

Данное расположение также эффективно.

3) Сережа спереди у прохода, Коля спереди у окна, Антон сзади у прохода, Миша сзади у окна: 1

Если в результате пересадки Миша окажется спереди, то ему станет хуже.
Если в результате пересадки Антон окажется спереди, то Мише станет хуже.
Если поменять местами Мишу с Антоном, то хуже станет Антону (окажется у окна).
Значит, осталось рассмотреть перестановку Сережи с Колей: Сережа окажется не у прохода - ему станет хуже.

Данное расположение также эффективно.

(б) Взаимодействие стоит воспринимать как динамическое: сначала место выбирает Миша, потом - Антон, только потом - Коля (так как при совпадении желаний Антона и Коли место отдается Антону, то взаимодействие между ними двумя можно трактовать как последовательное), и в конце - Сережа выбирает одно место для себя, а школьник, на место которого он садится, попадает на оставшееся свободное (либо Сережа занимает оставшееся свободное место).

Докажем несколько утверждений последовательно, чтобы ограничить число возможных равновесий (это всего лишь один из возможных путей решения).

(1) Сережа всегда сядет и окажется сзади у прохода:

Это местоположение для него лучше всего независимо от того, кто будет его соседом, то есть он не будет садиться ни на какое другое место – это заведомо ухудшит его положение.

(2) Антон не окажется на заднем ряду:
Для Антона важнее всего оказаться спереди, поэтому если мы покажем, что для любого выбора места Мишей Антон сможет оказаться спереди, то так и произойдёт. Куда бы Миша ни сел, на переднем ряду в любом случае останется хотя бы 1 свободное место. Если Антон займёт его, то сместить его сможет только Сережа, который не будет этого делать в силу утверждения (1).

(3) Миша сядет на место спереди у прохода и останется на нём:
Миша понимает, что Антон, действуя рационально, в итоге всегда окажется спереди. Поскольку Миша выбирает первым, покажем, что он может добиться наилучшего возможного для себя при этих условиях расположения (с Антоном, у прохода - сзади Миша вместе с Антоном оказаться не может никак исходя из предыдущего доказанного утверждения) тогда и только тогда, когда он изначально сядет на переднее место у прохода.
1) Если он сядет спереди у прохода, то исходя из утверждения (1) Антон окажется в итоге спереди у окна. Сережа не будет смещать Мишу, так как хочет сидеть сзади у прохода в первую очередь.
2) Если он сядет спереди у окна, то исходя из утверждения (1) Антон окажется спереди у прохода. Сережа не будет смещать Мишу, так как хочет сидеть сзади у прохода в первую очередь.
3) Если он сядет сзади у окна, то Сережа не будет смещать его, и в итоге Миша окажется сзади, а Антон - спереди.
4) Если он сядет сзади у прохода, то Сережа сместит его на оставшееся свободным место после выбора Антона и Коли. Если при этом Антон с Колей сядут спереди, то Миша окажется сзади, а Антон – спереди. Если Антон сядет сзади у окна, то Миша в итоге окажется спереди (его пересадит Сережа, а Антон – сзади). Если Антон сядет спереди, а Коля – сзади, то в итоге Миша попадёт на оставшееся свободным место спереди рядом с Антоном, но так как они оба в таких условиях хотят сидеть у прохода, то Антон сядет спереди у прохода и останется там. В итоге Миша будет спереди у окна с Антоном.
Из (1), (2) и (3) утверждений однозначно следует, что спереди у прохода сядет и окажется в итоге Миша, спереди у окна окажется в итоге Антон, а сзади у прохода сядет и окажется Сережа. Чтобы оказаться спереди у окна после того, как Миша сел спереди у прохода, Антону нужно сесть либо спереди у окна (тогда Коля займет любое место на заднем ряду и окажется сзади у окна), либо сзади у прохода (тогда Коля сядет сзади у окна и останется там, что для него лучше, чем сесть спереди у окна и остаться там, значит, Антон в итоге будет пересажен Сережей на место спереди у окна). Если же Антон сядет сзади у окна, то Сережа не сместит его оттуда, и Антон останется сзади.
Значит, в равновесии возможны следующие варианты взаимодействия:
1) Миша сел спереди у прохода, затем Антон сел спереди у окна, Коля сел сзади у прохода или у окна, после чего Сережа занял место сзади у прохода, а Коля оказался сзади у окна.
2) Миша сел спереди у прохода, затем Антон сел сзади у прохода, тогда Коля сядет сзади у окна, а Сережа сместит Антона вперед к окну и окажется сзади у прохода.
В обоих вариантах в итоге спереди у окна сидит Антон, спереди у прохода – Миша, сзади у окна – Коля, сзади у прохода – Сережа. Эта итоговая рассадка эффективна.

9 класс

1. Задача 1 ОЧ-2018 9 класс

Вы - владелец проката велосипедов. Ваши клиенты часто жалуются на поломку велосипедов. Перечислите ровно пять мер, которые Вы можете предпринять для решения этой проблемы.
Решение

Предложенные варианты ответа:

  1. Нанять ремонтников, которые будут вести постоянное наблюдение за состоянием велосипедов.
  2. Обучить персонал самим чинить велосипеды и вознаграждать их за это.
  3. Проводить обязательный инструктаж для клиентов до начала проката.
  4. Проводить обязательную оценку состояния велосипедов до и после катания и ввести систему штрафов.
  5. Сделать отдельную зону катания, чтобы минимизировать риски поломки

2. Задача 2 ОЧ-2018 9 класс

В одном отдаленном уезде проживают бедняк и кулак. Весной бедняк засеивает поле, а осенью собранный с него хлеб продает кулаку. Кулак совершенно не стеснен в средствах и поэтому покупает весь хлеб, собранный бедняком, по цене, утвержденной губернатором уезда. В текущем году, по всем предположениям, она должна составить 100 монет за мешок. Бедняк может продавать хлеб и губернатору, но по цене, на 10% ниже утвержденной. В свою очередь, и кулак может закупать хлеб у губернатора, но по цене, на 10% выше утвержденной.

Как-то утром бедняк, купаясь в лучах весеннего солнца, вдруг понял, что лето, по всей видимости, выдастся крайне благоприятным, а тогда губернатор может установить цену на хлеб ниже ожидаемого уровня. Он отправился к кулаку и попросил того заранее обговорить детали сделки и утвердить закупочную цену на уровне 100 монет за мешок. Кулак готов согласиться на это условие, если бедняк сиюминутно заплатит ему 75 монет в качестве компенсации возможных потерь. При этом за бедняком сохранится право расторгнуть договор, но если он откажется продать кулаку весь собранный хлеб, ему придется заплатить штраф в размере 100 монет.

(а) Предположим, осенью бедняк собрал 10 мешков хлеба. Изобразите зависимость чистого дохода бедняка от утвержденной цены в случае своевременного заключения сделки. При каких значениях утвержденной цены заключение сделки является целесообразным?
Как-то летом в уезде проводилась ярмарка, на которой был представлен новейший образец инструмента для обработки земли. Кулак справедливо ожидает роста производительности крестьян, однако опасается скептически настроенного губернатора, который, по его предположениям, может утвердить слишком высокую закупочную цену. Поэтому он предлагает бедняку встречную сделку: утвердить закупочную цену на уровне 80 монет за мешок. Бедняк готов согласиться на это условие, если кулак сиюминутно заплатит ему 50 монет в качестве компенсации возможных потерь. При этом за кулаком сохранится право расторгнуть договор, но если он вовсе откажется закупать хлеб у бедняка, ему придется заплатить штраф в размере 100 монет. В случае, если каждая сторона захочет предложить свой вариант сделки, решающим по праву первого будет предложение бедняка.

(б) Предположим, для удовлетворения своих потребностей кулаку необходимо ровно 10 мешков хлеба. Изобразите зависимость чистых расходов кулака от утвержденной цены в случае заключения только новой сделки. При каких значениях утвержденной цены заключение сделки является целесообразным?

(в) Изобразите зависимость чистого дохода бедняка от утвержденной цены в случае заключения обеих сделок, считая, что кулак будет действовать строго в соответствии с решением предыдущего пункта. При каких значениях утвержденной цены заключение сделки является целесообразным?

Решение

(а) У бедняка имеется три варианта: продажа губернатору по цене, ниже утвержденной, продажа кулаку по утвержденной цене и продажа кулаку по цене 100 монет за мешок. Заметим, что второй вариант строго доминирует первый, поскольку в этом случае и выше цена, и не надо платить штраф.
В случае продажи губернатору чистый доход составит $9p-175$
В случае продажи кулаку по утвержденной цене чистый доход составит $10p-175$.
В случае продажи кулаку по цене сделки чистый доход составит $10\cdot100-75=925$ монет.
Строим графики и выбираем верхнюю огибающую:

Излом графика в точке $(110; 925)$. Использовать сделку имеет смысл при $p\leqslant 110$.

У кулака имеется три варианта: покупать хлеб у губернатора по цене выше утвержденной, покупать хлеб у бедняка по утвержденной цене и покупать хлеб у бедняка по цене сделки. И снова второй вариант строго доминирует первый.
В случае покупки хлеба у губернатора чистые расходы кулака составят $11p+150$.
В случае покупки у бедняка по утвержденной цене расходы составят $10p+150$.
В случае покупки у бедняка по цене сделки расходы составят $10\cdot 80+50=850$.

Строим графики и выбираем нижнюю огибающую:

Излом в точке $(70;850)$. Использовать сделку имеет смысл при $p\leqslant 70$.

(в) Разбиваем ось на три участка:
При $p\leqslant 70$ кулак будет готов заключить свою сделку, следовательно, он освобожден от уплаты штрафа. Доход бедняка составит $1000-75+50=975$ монет.
При $70\lt p\leqslant 110$ кулак будет хотеть нарушить свою сделку, следовательно, он должен будет уплатить штраф. Доход бедняка составит $1000-75+50+100=1075$ монет.
При $p\geqslant 110$ никто не захочет зключать сделку, следовательно, оба заплатят штраф. Доход бедняка составит $10p-75-100+50+100=10p-25$ монет.

Строим графики и верхнюю огибающую:

Изломы в точках $(70;975)$, $(70;1075)$, $(110;1075)$. Относительно вертикального участка возможны следующие интерпретации:

  • Точки соединены отрезком (как на графике);
  • Точки соединены полуинтервалом (любая одна выколота);
  • Одна из точек выколота

Некорректен только вариант с обеими выколотыми точками.

3. Задача 3 ОЧ-2018 9 класс

На рынке редкого металла вибраниума в стране Уганда спрос имеет вид $Q_d=500-2P$, а предложение - $Q_s=3P$, где $P$ – цена в долларах за грамм, а $Q$ – количество металла в тоннах. На прошлой неделе доселе закрытое соседнее государство Ваканда объявило, что готово открыть границы и торговать металлом с Угандой.

Экономисты Уганды ещё не успели досконально изучить спрос соседней страны, но смогли узнать, какая равновесная цена была на рынке Ваканды до открытия границ - она составляла 70 долларов за грамм. Кроме того экономисты выяснили, что функции спроса и предложения в Ваканде имеют линейный вид, а местные производители готовы продавать вибраниум только при цене выше 10 долларов за грамм. Потребители Ваканды, в свою очередь, по этой цене готовы приобрести суммарно 600 тонн металла.

Помогите экономистам Уганды узнать цену, которая установится на открытом рынке, и оценить объемы международной торговли вибраниумом.

Решение

Сперва найдем параметры равновесия в Уганде: $$500-2P=3P$$ откуда $P=100$, $Q=300$.
Поскольку равновесная цена в закрытой Ваканде равнялась $70$, что меньше равновесной цены в Уганде, Ваканда будет экспортером, а Уганда – импортером.
Найдем спрос на импорт в Уганде и спрос на экспорт в Ваканде:
Величина импорта определяется как разность между спросом и предложением:
$$Im=500-2P-3P=500-5P$$
Со спросом на экспорт в Ваканде все куда сложнее. Автор предлагает использовать идею с подобными треугольниками:
$$\dfrac{Exp}{600-0}=\dfrac{P_{world}-70}{70-10}$$
откуда $Exp=10(P-70)$.
Приравнивая импорт и экспорт, получаем $P=80$, $Exp=Im=100$

4. Задача 4 ОЧ-2018 9 класс

На рынке резиновых уточек действует фирма-монополист "LaTeX". Конечно же, количество резиновых уточек может выражаться только целым неотрицательным числом. Известно, что функция спроса на них линейна, причём при цене 9 руб. потребители хотят купить 15 уточек, а при цене 37 руб. – всего 1 уточку.
Производство резиновых уточек не требует больших первоначальных вложений – завод у "LaTeX" уже есть, но нужно выплатить зарплату охраннику в размере 10 рублей. Других постоянных издержек монополист не несёт.
Производство каждой следующей уточки увеличивает предельные издержки их производства на 4 руб. Общие издержки на производство 10 резиновых уточек составляют 240 руб.

(а) Выведите функцию спроса на резиновых уточек.
(б) Выведите функцию общих издержек фирмы "LaTeX".
(в) Определите, сколько уточек будет продавать монополист и по какой цене.

Решение

(а) По 2 точкам выводится линейная функция спроса $P_d(Q)=39-2Q$

(б) $FC=10, TC(10)=240\longrightarrow VC(10)=230$. $MC(Q)=c+4Q$ из условия.

Используем эти условия для нахождения функции издержек. Поскольку уточки могут быть только целыми, то $$VC(1)=MC(1)=c+4, $$ $$VC(2)=MC(1)+MC(2)=(c+4)+(c+8)$$ $$VC(3)=MC(1)+MC(2)+MC(3)=(c+4)+(c+8)+(c+12),\ldots,$$ $$VC(Q)=MC(1)+…+MC(Q)=(c+4)+…(c+4Q)=cQ+2Q+2Q^2$$
Мы знаем, что $VC(10)=230$, откуда находим $c=1$ и итоговую функцию общих издержек $$TC(Q)=2Q^2+3Q+10$$

(в) $TR(Q)=39Q-2Q^2$

Запишем функцию прибыли $PR(Q)=36Q-4Q^2$ и промаксимизируем ее по $Q$ с учетом целочисленности, в результате чего получим $Q^*=4$ или $Q^*=5$ и $P^*=31$ или $P^*=29$ соответственно.

5. Задача 5 ОЧ-2018 8-9 класс

В одной школе на окраине столицы всё хорошо, но вот только хромает дисциплина. Представьте: каждое утро сразу 4 ученика 9 «А» класса опаздывают на первый урок: Серёжа, Антон, Миша и Коля. В классе очень много ребят, поэтому мест на опоздавших остаётся немного: всего 4 – две парты в левом ряду (по 2 места каждая – у окна и у прохода) – первая и последняя.

Как и в любом нормальном классе, у ребят различаются предпочтения в вопросе того, где и с кем сидеть, ведь кто-то любит сидеть сзади и болтать с соседом по парте, а кому-то безразлично, где сидеть, лишь бы списать удалось. Предпочтения ребят устроены не так уж и просто: к примеру, для Миши в первую очередь важно сидеть вместе с Антоном (назовём это желанием 1 степени важности), чуть меньше его волнует то, что он любит сидеть сзади (желание 2 степени важности), и еще чуть меньше – то, что он любит сидеть у прохода (желание 3 степени важности), потому что часто выбегает попить. То есть для Миши лучше сидеть с Антоном спереди, чем с Колей или Сережей сзади, а если Мише удаётся сидеть вместе с Антоном, то лучше сзади (даже у окна), чем спереди, и т.д.

Предпочтения всех опоздавших (где и с кем сидеть) описываются следующим образом:

Будем называть итоговую рассадку школьников неэффективной, если опоздавшие могут перераспределить между собой эти 4 места так, чтобы хотя бы одному из них стало лучше, а остальным – не хуже. В противном случае рассадку будем называть эффективной.

(a) Приведите пример неэффективной рассадки и обоснуйте её неэффективность. Приведите пример эффективной рассадки и обоснуйте её эффективность. Сколько всего существует эффективных и неэффективных рассадок?
Взаимодействие между мальчиками происходит последовательно: первым в 9:05 приходит Миша и занимает какое-то место. Затем в 9:20 прибегают Коля и Антон, Мальчики договариваются о том, кто из них куда сядет, причем если они захотят сесть на одно и то же место, то Коле придётся уступить Антону и выбрать другое место, потому что он зачастую у него списывает и не хочет с ним спорить лишний раз. Наконец, в 9:30 прибегает Серёжа – самый сильный мальчик в классе, который без промедления занимает единственное оставшееся свободное место. Однако если Серёже не понравится это место, то он может быстро поменяться своим местом с любым из опоздавших.

(б) Все опоздавшие действуют рационально, зная о порядке взаимодействия и о предпочтениях других. Определите, может ли Миша в итоге оказаться сзади? Как в итоге рассядутся мальчики? Обязательно ли итоговая рассадка будет эффективной?

Решение

a) Всего расположений: $4!=24$.
Неэффективные рассадки: $8+2+2+8=20$.
Чтобы доказать неэффективность рассадки, необходимо указать хотя бы одну такую пересадку, что в результате этой пересадки хотя бы одному из ребят стало лучше, а остальным – по крайней мере не хуже.

1) Антон сзади не с Мишей: $2\cdot2\cdot2=8$.
Коля (Сережа) спереди, Антон может поменяться с ним.
Антону станет лучше (сядет вперед), и Коле (Сереже) станет лучше (сядет назад), и Мише станет лучше (будет с Антоном), и Сереже (Коле) станет лучше (будет с Колей (Сережей)).

2) Сережа спереди у окна, Коля спереди у прохода, Антон сзади с Мишей: 2.
Сережа может поменяться местами с Колей, и Сереже станет лучше (сядет у прохода), а всем остальным станет не хуже.

3) Антон спереди с Мишей, Сережа сзади у окна, а Коля - у прохода: 2.
Сережа может поменяться с Колей, Сереже станет лучше (сядет справа), Коле не станет хуже, а Антону с Мишей не стало хуже, так как они остались на своих местах.

4) те, где Антон спереди не с Мишей: $2\cdot2\cdot2=8$.
Миша сзади, а Коля (Сережа) спереди, значит Миша может поменяться с Колей (Сережей) местами, и Мише станет лучше (сядет с Антоном), и Коле (Сереже) (сядет сзади), и Антону станет лучше (будет с Мишей), и Сереже (Коле) станет лучше (будет с Колей (Сережей)).

Эффективные рассадки: $2+1+1=4$.
Чтобы доказать эффективность рассадки, необходимо продемонстрировать, что при любом изменении местоположения ребят хотя бы одному из них станет хуже.

1) те, где Антон спереди с Мишей, Сережа сзади у прохода, а Коля сзади у окна: 2.

Докажем вначале, что для обоих случаев нельзя пересаживать Сережу и Колю со своих мест: до пересадки Сережа сидит сзади у прохода с Колей - наилучшее возможное расположение для него, поэтому если в результате пересадок как-то изменятся места Сережи или Коли, то Сереже гарантированно станет хуже.

Осталось рассмотреть возможность поменять местами только Мишу с Антоном спереди: если это сделать, то тому, кто сидел до пересадки у прохода, станет хуже.

Таким образом, данные расположения эффективны.

2) Сережа спереди у прохода, Коля спереди у окна, Антон сзади у окна, Миша сзади у прохода: 1.

Если в результате пересадки как-то изменится положение Миши и Антона, то Мише станет хуже, потому что сейчас для него наилучшее возможное расположение.

Осталось рассмотреть возможность поменять спереди местами Колю с Сережей, но тогда станет хуже Сереже.

Данное расположение также эффективно.

3) Сережа спереди у прохода, Коля спереди у окна, Антон сзади у прохода, Миша сзади у окна: 1

Если в результате пересадки Миша окажется спереди, то ему станет хуже.
Если в результате пересадки Антон окажется спереди, то Мише станет хуже.
Если поменять местами Мишу с Антоном, то хуже станет Антону (окажется у окна).
Значит, осталось рассмотреть перестановку Сережи с Колей: Сережа окажется не у прохода - ему станет хуже.

Данное расположение также эффективно.

(б) Взаимодействие стоит воспринимать как динамическое: сначала место выбирает Миша, потом - Антон, только потом - Коля (так как при совпадении желаний Антона и Коли место отдается Антону, то взаимодействие между ними двумя можно трактовать как последовательное), и в конце - Сережа выбирает одно место для себя, а школьник, на место которого он садится, попадает на оставшееся свободное (либо Сережа занимает оставшееся свободное место).

Докажем несколько утверждений последовательно, чтобы ограничить число возможных равновесий (это всего лишь один из возможных путей решения).

(1) Сережа всегда сядет и окажется сзади у прохода:

Это местоположение для него лучше всего независимо от того, кто будет его соседом, то есть он не будет садиться ни на какое другое место – это заведомо ухудшит его положение.

(2) Антон не окажется на заднем ряду:
Для Антона важнее всего оказаться спереди, поэтому если мы покажем, что для любого выбора места Мишей Антон сможет оказаться спереди, то так и произойдёт. Куда бы Миша ни сел, на переднем ряду в любом случае останется хотя бы 1 свободное место. Если Антон займёт его, то сместить его сможет только Сережа, который не будет этого делать в силу утверждения (1).

(3) Миша сядет на место спереди у прохода и останется на нём:
Миша понимает, что Антон, действуя рационально, в итоге всегда окажется спереди. Поскольку Миша выбирает первым, покажем, что он может добиться наилучшего возможного для себя при этих условиях расположения (с Антоном, у прохода - сзади Миша вместе с Антоном оказаться не может никак исходя из предыдущего доказанного утверждения) тогда и только тогда, когда он изначально сядет на переднее место у прохода.
1) Если он сядет спереди у прохода, то исходя из утверждения (1) Антон окажется в итоге спереди у окна. Сережа не будет смещать Мишу, так как хочет сидеть сзади у прохода в первую очередь.
2) Если он сядет спереди у окна, то исходя из утверждения (1) Антон окажется спереди у прохода. Сережа не будет смещать Мишу, так как хочет сидеть сзади у прохода в первую очередь.
3) Если он сядет сзади у окна, то Сережа не будет смещать его, и в итоге Миша окажется сзади, а Антон - спереди.
4) Если он сядет сзади у прохода, то Сережа сместит его на оставшееся свободным место после выбора Антона и Коли. Если при этом Антон с Колей сядут спереди, то Миша окажется сзади, а Антон – спереди. Если Антон сядет сзади у окна, то Миша в итоге окажется спереди (его пересадит Сережа, а Антон – сзади). Если Антон сядет спереди, а Коля – сзади, то в итоге Миша попадёт на оставшееся свободным место спереди рядом с Антоном, но так как они оба в таких условиях хотят сидеть у прохода, то Антон сядет спереди у прохода и останется там. В итоге Миша будет спереди у окна с Антоном.
Из (1), (2) и (3) утверждений однозначно следует, что спереди у прохода сядет и окажется в итоге Миша, спереди у окна окажется в итоге Антон, а сзади у прохода сядет и окажется Сережа. Чтобы оказаться спереди у окна после того, как Миша сел спереди у прохода, Антону нужно сесть либо спереди у окна (тогда Коля займет любое место на заднем ряду и окажется сзади у окна), либо сзади у прохода (тогда Коля сядет сзади у окна и останется там, что для него лучше, чем сесть спереди у окна и остаться там, значит, Антон в итоге будет пересажен Сережей на место спереди у окна). Если же Антон сядет сзади у окна, то Сережа не сместит его оттуда, и Антон останется сзади.
Значит, в равновесии возможны следующие варианты взаимодействия:
1) Миша сел спереди у прохода, затем Антон сел спереди у окна, Коля сел сзади у прохода или у окна, после чего Сережа занял место сзади у прохода, а Коля оказался сзади у окна.
2) Миша сел спереди у прохода, затем Антон сел сзади у прохода, тогда Коля сядет сзади у окна, а Сережа сместит Антона вперед к окну и окажется сзади у прохода.
В обоих вариантах в итоге спереди у окна сидит Антон, спереди у прохода – Миша, сзади у окна – Коля, сзади у прохода – Сережа. Эта итоговая рассадка эффективна.