10-11 класс

1. Ускорение производства

Одна из распространенных задач в управленческом консалтинге — не только снизить издержки производства, но и ускорить его, чтобы фирма могла произвести больше продукции в единицу времени. Рассмотрим фирму-монополиста Ф. Изначально ее издержки производства описываются функцией $TC(q)=10q$, функция спроса имеет вид $q=40-2P$ единиц в месяц. Изначально максимальная скорость произвоства такова, что фирма Ф может произвести не более 8 единиц продукции в месяц.

а) (8 баллов) Найдите максимальную прибыль фирмы.
б)(8 баллов) Консалтинговая компания MBB предлагает фирме план А, при реализации которого без увеличения скорости производства себестоимость упадет на 40% при любом объеме производства. При этом фирма Ф должна будет платить компании MBB комиссию $Y$ каждый месяц. Найдите максимальное значение $Y$, которое согласится заплатить фирма Ф.
в) (6 баллов)Вместо плана A фирме Ф предлагают план Б, согласно которому максимальная скорость производства вырастет и позволит фирме выпустить на 50% больше продукции в месяц, чем раньше. Найдите максимальное значение $Y$ в этом случае.
г) (8 баллов) У фирмы Ф есть возможность внедрить оба плана одновременно. Найдите максимальное значение $Y$ в этом случае.

Решение

а) Найдем первоначальный оптимум, для чего составим функцию прибыли.
$$\pi _0(q) = (20 − q/2)q − 10q = 10q − q^2/2.$$
Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0; 8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $q = 10$. (Это значение можно найти и приравниванием производной прибыли к 0.) Следовательно, функция возрастает на допустимом отрезке [0; 8], оптимальный выпуск равен $q_0^* = 8$. При этом максимальная прибыль составит $\pi _0(8) = 80 − 32 = 48$.
Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода ($MR = 20 − q$) и предельных издержек ($MC = 10$). При всех $q \leq 8$ выполнено $MR > MC$, так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение $q^* = 8$. Функции $MR$ и $MC$ пересекаются в точке $q = 10$, но это больше допустимого количества.
б) После внедрения плана А функция издержек примет вид $TC(q) = 0,6 \cdot 10q + Y = 6q + Y$.
Функция прибыли примет вид
$$\pi _1(q) = (20 − q/2)q − (6q + Y) = 14q − q^2/2 − Y.$$
Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0; 8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке $q = 14$. Следовательно, функция возрастает на отрезке [0;8], оптимальный выпуск равен $q_1^* = 8$. При этом максимальная прибыль составит $\pi _1(8) = 112 − 32 − Y = 80 − Y$ .
Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода ($MR = 20 − q$) и предельных издержек ($MC = 6$). При всех $q \leq 8$ выполнено $MR > MC$, так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение $q^* = 8$. Функции $MR$ и $MC$ пересекаются в точке $q = 14$, но это больше допустимого количества.
Для получения этого ответа можно формально не максимизировать новую функцию прибыли. Заметим, что при снижении предельных издержек монополиста его оптимальный выпуск увеличится, так как в силу убывания функции $MR$ ее пересечение с $MC$ будет правее, чем раньше. А значит, фирма по-прежнему будет производить максимально доступное количество товара.
Чтобы узнать максимально допустимое для фирмы значение $Y$ , решим неравенство $80 − Y \geq 48$. Получаем, что за план А фирма будет готова платить не более, чем 32 ден. ед.
в) Функция прибыли не изменится; изменится отрезок, на котором фирма проводит оптимизацию. Теперь фирма будет максимизировать прибыль на отрезке [0; 12]. Заметим, что теперь отрезок содержит вершину параболы $q^* = 10$, найденную в пункте а). Значит, фирма выберет этот объем выпуска. Максимальная прибыль составит $\pi _0(10) − Y = 50 − Y$.
Решая неравенство $50 − Y \geq 48$, получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 2 ден. ед.
г) Теперь изменится и функция прибыли, и отрезок. Фирма будет максимизировать функцию $\pi _1(q) = 14q − q^2/2 − Y$ на отрезке [0; 12]. В пункте б) мы видели, что эта функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке 14. Следовательно, функция возрастает на отрезке [0; 12], оптимальный выпуск равен 12. Максимальная прибыль составит $\pi _1(12) = 14 \cdot 12 − 12^2/2 − Y = 12\cdot (14 − 6) − Y = 12 \cdot 8 − Y = 96 − Y$.
Решая неравенство $96 − Y \geq 48$, получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 48 ден. ед.

2. Трудовое законодательство

Градообразующее предприятие является монополистом на внутреннем рынке товара $X$, а также монопсонистом на рынке труда специалистов по его производству. Производственная функция имеет вид $Q=L/2$, где $L$ — число нанятых работников. Предложение труда работников задается функцией $w=3+L/4$, где $w$ — зарплата. Спрос потребителей на товар $X$ зависит от фазы экономического цикла. Он задается функцией $Q=90-P$ во время экономического подъема; во время спада спрос меньше в 5 раз при каждой цене. Монополист планирует свою деятельность на следующие два года: считая, что в ближайший год будет подъем, а в следующий — спад, он определяет оптимальные цены и количество нанятых работников в каждом периоде.

а) (12 баллов) Сколько работников наймет фирма в каждом периоде?
б) (16 баллов) Государство изменило трудовое законодательство, чтобы защитить работников в кризис: монополисту разрешено увольнять не более 50% работников после окончания первого года. Об этом правиле стало известно заранее, еще до начала первого года. Сколько работников наймет фирма в каждом из периодов?
в) (2 балла) Допустим, благосостояние работников положительно зависит от суммы количеств работающих в первом и втором периоде. Вырастет ли благосостояние работников в результате изменения трудового законодательства, призванного защитить их?

Решение

а) Во время спада функция спроса будет иметь вид $Q = (90 − P )/5 = 18 − P/5$. Обратная функция спроса будет иметь вид $P = 90 − 5Q$. Выпишем прибыль как функцию от количества нанятых работников в период подъема ($L_1$) и спада ($L_2$):
$$\pi (L_1,L_2) = TR_1 + TR_2 − w(L_1)\cdot L_1 − w(L_2)\cdot L_2 = (90 − Q_1)\cdot Q_1 + (90 − 5Q_2)\cdot Q_2 − (3 + L_1/4)\cdot L_1 − (3 + L_2/4)\cdot L_2 =$$
$$= (90 − L_1/2)\cdot L_1/2 + (90 − 5L_2/2)\cdot L_2/2 − (3 + L_1/4)\cdot L_1 − (3 + L_2/4)\cdot L_2 = (42L_1 − L_1^2/2) + (42L_2 − 3L_2^2/2).$$
Как видим, прибыль является суммой двух не зависящих друг от друга слагаемых, и поэтому каждое их них можно оптимизировать по отдельности. Каждое из них задает параболу с ветвями вниз относительно своей переменной, откуда $L_1^* = \frac{42}{2/2} = 42$, $L_2^* = \frac{42}{2\cdot 3/2} = 14$.
Ответ можно найти и с помощью выписывания стандартных условий $MRP_L = MC_L$ для каждого периода:
Первый период:
$MR = 90 − 2Q = 90 − L$
$MP_L = 1/2$
$MRP_L =MR\cdot MP_L = (90 − L)\cdot 1/2$
$TC(L) = (3 + L/4)\cdot L$
$MC_L = 3 + L/2$
$MRP_L = MC_L$
$(90 − L)\cdot 1/2 = 3 + L/2$
$L = 42$
Второй период:
$MR = 90 − 10Q = 90 − 5L$
$MP_L = 1/2$
$MRP_L = MR\cdot MP_L = (90 − 5L)\cdot 1/2$
$TC(L) = (3 + L/4)\cdot L$
$MC_L = 3 + L/2$
$MRP_L = MC_L$
$(90 − 5L)\cdot 1/2 = 3 + L/2$
$L = 14$
Функции $MRP_L$ убывают, а $MC_L$ возрастают, так что найденные точки являются точками максимума.
Еще один способ – взять производную функции прибыли по обеим переменным: $\pi _{L_1}′ = 42 − L_1 = 0$, откуда $L_1^* = 42$; $\pi _{L_1}′ = 42 − 3L_2 = 0$, откуда $L_2^* = 14$. Эти точки являются точками максимума, так как производные меняют знак с плюса на минус (вариант: вторая производная, равная (−1) в период подъема и (−3) в период спада, отрицательна).
Кроме того, с таким же успехом можно было оптимизировать прибыль по $Q$, $P$ или $w$. В каждом из случаев функция является суммой двух квадратичных парабол.
б) В этом пункте нам нужно найти максимум той же функции $\pi (L_1,L_2)$, которую мы нашли выше, но при ограничении $L_2 \geq 0,5L_1$.
Легко убедиться, что самая лучшая для фирмы точка (42, 14) этому условию не удовлетворяет. Поскольку функция прибыли, будучи суммой двух квадратичных функций, убывает при движении в любом направлении от точки глобального максимума (42, 14), максимум этой функции при ограничении $L_2 \geq 0,5L_1$ достигается на границе допустимого множества, то есть когда ограничение выполняется как равенство. При этом условии
$$\pi(L_1, L_2) = \pi(L_1, 0,5L_1) = 42L_1 − L_1^2/2 + 42L_1/2 − 3(L_1/2)^2/2 = 63L_1 − 7L_1^2/8.$$
Полученная функция одной переменной является квадратичной, ветви параболы направлены вниз. Поэтому оптимальным является $L_1^* = \frac{63}{7/4} = 36$. Тогда $L_2^* = 0,5L_1 = 18$.
Максимум снова можно найти с помощью производной. $\pi ′ = 63 − 7L_1/4 = 0$, откуда $L_1 = 36$. Это точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус (вариант: вторая производная (−7/4) отрицательна).
Также можно было выписать прибыль как функцию от $L_2$.
в) В пункте а) суммарная занятость за два периода равна 42 + 14 = 56, а в пункте б) 36 + 18 = 54 < 56. Таким образом, благосостояние работников упало.

3. Динамика безработицы (10-11)

Все население страны делится на три группы: безработные ($U$), занятые ($E$) и выбывшие из рабочей силы$^1$ ($V$). Известно, что в отсутствие шоков совокупного спроса и предложения каждый год 10% от всех выбывших переходят в рабочую силу и сразу же находят работу. Также каждый год 5% занятых становятся безработными, 25% безработных находят работу, а 20% безработных выбывают из рабочей силы. Занятые не выбывают из рабочей силы напрямую. Численность населения неизменна и положительна.

а) (15 баллов) Определите естественный уровень безработицы $u^\star$, то есть такой, при котором достигается долгосрочное равновесие (число занятых, безработных и выбывших не изменяется со временем). Определите также долю экономически активного населения в долгосрочном равновесии.
б) (15 баллов) Из-за кризиса в году Z потеряли работу вдвое больше людей, чем обычно, а также вдвое меньше безработных смогли найти работу. Количество выбывших, перешедших в рабочую силу, не изменилось, но работу смогли найти только половина из них. Определите процентное отклонение фактического ВВП от потенциального в году Z, если в данной стране коэффициент Оукена равен 2. При ответе на данный вопрос учитывайте фактический уровень безработицы на конец года Z.

$^1$ Этот термин значит то же, что и «не включаемые в рабочую силу».

Решение

а) Пусть $\triangle X$ – изменение показателя $X$. Тогда в долгосрочном равновесии выполняются равенства:
$$\triangle E = 0,25U + 0,1V − 0,05E = 0; (3.1)$$
$$\triangle V = 0,2U − 0,1V = 0; (3.2)$$
$$\triangle U = −0,25U + 0,05E − 0,2U = 0. (3.3)$$
(Достаточно выписать любые два из трех этих уравнений, так как любое из них следует из двух других, поскольку $\triangle E + \triangle U + \triangle V = 0$.)
Уровень безработицы равен $\frac{U}{U + E} \cdot 100 %$, и его удобно найти из уравнения (3.3). Имеем $0,05E = 0,45U$ , откуда $E = 9U$ и значит,
$$\frac{U}{U + E} \cdot 100 % = \frac{U}{U + 9U} \cdot 100 % = 10%$$
Из уравнения (3.2) $V = 2U$ , тогда доля экономически активного населения равна
$$\frac{U + E}{U + E + V} = \frac{10U}{12U} = \frac{5}{6}.$$
б) На начало года все величины равны своим долгосрочным равновесным значениям $E$, $U$ , $V$ . На конец года Z количество безработных $U_Z$ будет равно
$$U + 0,05E \cdot 2 − 0,25U/2 − 0,2U + 0,1V/2 = U + 0,9U − 0,125U − 0,2U + 0,1U = 1,675U. (3.4)$$
Количество занятых на конец года составит
$$E_Z = E − 2\cdot 0,05E + 0,25U/2 + 0,1V/2 = 9U − 0,9U + 0,125U + 0,1U = 8,325U. (3.5)$$
Значит, новый фактический уровень безработицы составит
$$u_Z = \frac{U_Z}{U_Z + E_Z} \cdot 100 \% = \frac{1,675U}{1,675U + 8,325U} \cdot 100 \% = 16,75\%.$$
Согласно закону Оукена,
$$\frac{Y_Z - Y^*}{Y^*} \cdot 100 \% = - \beta \cdot (u_Z - u^*),$$
где $\beta$ – коэффициент Оукена, а $(u_Z - u^*)$ – отклонение фактического уровня безработицы на конец года Z от естественного. Тогда
$$\frac{Y_Z - Y^*}{Y^*} \cdot 100 \% = -2 \cdot (16,75\% − 10\%) = −2 \cdot 6,75\% = −13,5\%.$$
Этот показатель и требовалось найти.

4. Фруктовая страна (10-11)

Во Фруктовой Стране есть три региона (А, B и С), в каждом из которых выращивают персики ($X$) и бананы ($Y$). В каждом из регионов КПВ имеет линейный вид; альтернативные издержки производства персиков положительны, и в регионе А они больше, чем в регионе B, а в регионе B больше, чем в регионе С. Максимально возможное количество произведенных персиков в каждом из регионов одинаково и равно 24 тонны. Максимально возможное производство бананов в стране равно 104 тонны.

Страна потребляет персики и бананы только в пропорции 1:1 и максимизирует потребление фруктов. Известно, что в условиях закрытой экономики каждый из фруктов производился более, чем в одном регионе. Hа мировом рынке можно обменять 1 тонну персиков на 1 тонну бананов. После того как страна открылась для международной торговли, стране стало безразлично, сколько персиков и бананов производить в одном из регионов (при оптимальных уровнях производства в других регионах).

В результате открытия международной торговли потребление как персиков, так и бананов в стране выросло на $Z>0$ тонн. Какие значения может принимать $Z$?

Для удобства проверки при построении КПВ указывайте количество произведенных персиков по горизонтали. Кроме того, если вы будете решать задачу аналитически (что необязательно), обозначьте альтернативные издержки (а. и.) производства персиков в регионах за $a$, $b$ и $c$, $a>b>c>0$.

Решение

Всю задачу можно решить двумя способами – либо с помощью геометрических соображений, не вводя уравнения КПВ регионов в общем виде аналитически, либо вводя эти уравнения. В дальнейшем мы будем приводить оба этих способа (конечно, участнику достаточно решить задачу каким-нибудь одним из способов, причем их можно комбинировать, то есть получить какие-то из выводов геометрически, а какие-то – аналитически).
Заметим, что луч $Y = X$ пересекает КПВ страны на «среднем» участке, так как каждый из товаров производится более чем в одном регионе. Тогда из геометрических соображений видно, что точка (48; 48) должна находиться выше КПВ страны. Для дальнейшего решения геометрическим способом этого наблюдения достаточно.
Решая аналитически, получаем, что уравнения КПВ в трех регионах имеют вид $Y = a(24 − X)$, $Y = b(24 − X)$, $Y = c(24 − X)$. Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответствующий региону А, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид $Y = a(72 − X)$. Пересечение этой прямой и прямой $Y = X$ должно произойти при $X < 48$. Точка пересечения имеет абсциссу $72a/(a + 1) < 48$, откуда $a < 2$. Это аналитический вариант условия о том, что точка (48; 48) должна находиться выше КПВ страны.
Альтернативные издержки в одном из регионов должны равняться 1, так как стране неважно, сколько каких товаров производить в этом регионе после открытия торговли. Рассмотрим три случая.
а) Допустим, а. и. равны 1 в регионе А.
Способ 1. Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответстующий региону А, является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид $Y = 72 − X$ . И снова, поскольку КПВ страны вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), вся КПВ лежит под прямой $Y = 72 − X$ . В этом случае максимальный объем производства бананов в стране не больше 72, а по условию он равен 104. Противоречие.
Способ 2. Уравнения КПВ в трех регионах имеют вид $Y = a(24 − X)$, $Y = b(24 − X)$, $Y = c(24 − X)$. Тогда максимальное производство бананов равно $24(a + b + c) < 24 \cdot 3a = 72$. По условию же оно равно 104. Противоречие.

b) Допустим, а. и. равны 1 в регионе B.
Способ 1. Поскольку участок общей КПВ, соответствующий региону B, является «средним», при открытии международной торговли объемы потребления не изменятся, а по условию $Z > 0$. Противоречие.
Способ 2. Поскольку точка (48; 48) лежит над КПВ и поскольку наклон КПВ на среднем участке равен 1, вся КПВ, в силу своей вогнутости (выпуклости вверх, выполнения закона возрастающих а. и.) должна лежать под прямой $Y = 96 − X$ , а значит, максимальное производство бананов в стране меньше 96. По условию же оно равно 104. Противоречие.
Способ 3. Поскольку $b = 1$ и $c < b$, а по выведенному выше $a < 2$, максимальное производство бананов, равное $24(a + b + c)$, меньше $24 \cdot 4 = 96$. По условию же оно равно 104. Противоречие.
с) Значит, а. и. равны 1 в регионе С. Поскольку выполняется закон возрастающих альтернативных издержек, регион С соответствует верхнему участку КПВ страны. Значит, уравнение КПВ на этом участке имеет вид $Y = 104 − X$ . Кроме того, такое уравнение имеет прямая, вдоль которой страна обменивается товарами с другими странами. Значит, объемы потребления после открытия торговли определяются из пересечения прямых $Y =104 − X$ и $Y = X$, откуда $X = Y = 52$.

Для ответа на вопрос задачи осталось определить, какие значения может принимать потребление фруктов в условиях закрытой экономики.
Заметим, что точка (24; 80) является точкой излома КПВ, а точка (72; 0) лежит на КПВ. Соединим эти точки прямой. Ее уравнение имеет вид $Y = 120 − 5X/3$. Поскольку КПВ вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), КПВ не может лежать ниже этой прямой. Значит, объемы потребления в отсутствие торговли не меньше, чем те, что получаются при пересечении прямых $Y = 120 − 5X/3$ и $Y = X$ . Эти объемы равны 45.
Наконец, по сказанному выше, точка (48; 48) лежит выше КПВ страны, и поэтому объемы потребления в условиях закрытой экономики меньше 48. Значит, объемы потребления в условиях закрытой экономики лежат в пределах от 45 до 48, не включая границы. Граница 48 не включается, так как в противном случае оказалось бы, что точка (48; 48) лежит на КПВ, а это не так. Граница 45 не включается, так как в противном случае оказалось бы, что альтернативные издержки в регионах A и B одинаковы, а по условию это не так.
Легко убедиться графически, что все промежуточные объемы между 45 и 48 возможны. Отсюда получаем, что выигрыш страны от торговли $Z \in (52 − 48; 52 − 45) = (4; 7)$.

9 класс

1. Ускорение производства

Одна из распространенных задач в управленческом консалтинге — не только снизить издержки производства, но и ускорить его, чтобы фирма могла произвести больше продукции в единицу времени. Рассмотрим фирму-монополиста Ф. Изначально ее издержки производства описываются функцией $TC(q)=10q$, функция спроса имеет вид $q=40-2P$ единиц в месяц. Изначально максимальная скорость произвоства такова, что фирма Ф может произвести не более 8 единиц продукции в месяц.

а) (8 баллов) Найдите максимальную прибыль фирмы.
б)(8 баллов) Консалтинговая компания MBB предлагает фирме план А, при реализации которого без увеличения скорости производства себестоимость упадет на 40% при любом объеме производства. При этом фирма Ф должна будет платить компании MBB комиссию $Y$ каждый месяц. Найдите максимальное значение $Y$, которое согласится заплатить фирма Ф.
в) (6 баллов)Вместо плана A фирме Ф предлагают план Б, согласно которому максимальная скорость производства вырастет и позволит фирме выпустить на 50% больше продукции в месяц, чем раньше. Найдите максимальное значение $Y$ в этом случае.
г) (8 баллов) У фирмы Ф есть возможность внедрить оба плана одновременно. Найдите максимальное значение $Y$ в этом случае.

Решение

а) Найдем первоначальный оптимум, для чего составим функцию прибыли.
$$\pi _0(q) = (20 − q/2)q − 10q = 10q − q^2/2.$$
Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0; 8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $q = 10$. (Это значение можно найти и приравниванием производной прибыли к 0.) Следовательно, функция возрастает на допустимом отрезке [0; 8], оптимальный выпуск равен $q_0^* = 8$. При этом максимальная прибыль составит $\pi _0(8) = 80 − 32 = 48$.
Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода ($MR = 20 − q$) и предельных издержек ($MC = 10$). При всех $q \leq 8$ выполнено $MR > MC$, так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение $q^* = 8$. Функции $MR$ и $MC$ пересекаются в точке $q = 10$, но это больше допустимого количества.
б) После внедрения плана А функция издержек примет вид $TC(q) = 0,6 \cdot 10q + Y = 6q + Y$.
Функция прибыли примет вид
$$\pi _1(q) = (20 − q/2)q − (6q + Y) = 14q − q^2/2 − Y.$$
Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0; 8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке $q = 14$. Следовательно, функция возрастает на отрезке [0;8], оптимальный выпуск равен $q_1^* = 8$. При этом максимальная прибыль составит $\pi _1(8) = 112 − 32 − Y = 80 − Y$ .
Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода ($MR = 20 − q$) и предельных издержек ($MC = 6$). При всех $q \leq 8$ выполнено $MR > MC$, так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение $q^* = 8$. Функции $MR$ и $MC$ пересекаются в точке $q = 14$, но это больше допустимого количества.
Для получения этого ответа можно формально не максимизировать новую функцию прибыли. Заметим, что при снижении предельных издержек монополиста его оптимальный выпуск увеличится, так как в силу убывания функции $MR$ ее пересечение с $MC$ будет правее, чем раньше. А значит, фирма по-прежнему будет производить максимально доступное количество товара.
Чтобы узнать максимально допустимое для фирмы значение $Y$ , решим неравенство $80 − Y \geq 48$. Получаем, что за план А фирма будет готова платить не более, чем 32 ден. ед.
в) Функция прибыли не изменится; изменится отрезок, на котором фирма проводит оптимизацию. Теперь фирма будет максимизировать прибыль на отрезке [0; 12]. Заметим, что теперь отрезок содержит вершину параболы $q^* = 10$, найденную в пункте а). Значит, фирма выберет этот объем выпуска. Максимальная прибыль составит $\pi _0(10) − Y = 50 − Y$.
Решая неравенство $50 − Y \geq 48$, получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 2 ден. ед.
г) Теперь изменится и функция прибыли, и отрезок. Фирма будет максимизировать функцию $\pi _1(q) = 14q − q^2/2 − Y$ на отрезке [0; 12]. В пункте б) мы видели, что эта функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке 14. Следовательно, функция возрастает на отрезке [0; 12], оптимальный выпуск равен 12. Максимальная прибыль составит $\pi _1(12) = 14 \cdot 12 − 12^2/2 − Y = 12\cdot (14 − 6) − Y = 12 \cdot 8 − Y = 96 − Y$.
Решая неравенство $96 − Y \geq 48$, получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 48 ден. ед.

2. Торговля пряниками

Московская и Тульская губернии участвуют в свободной торговле пряниками друг с другом. Спрос и предложение жителей двух губерний (в штуках) имеют вид:
\begin{align*}
D_M &= 150 - P; & D_T &= 40-P; \\
S_M &= -60 + P; & S_T &= P.
\end{align*}
Других покупателей и продавцов на рынке нет.

а) (10 баллов) Какая цена установится на общем свободном рынке? Какая губерния экспортирует, а какая импортирует пряники?
а) (10 баллов) Если вы правильно решили пункт а), то вы догадываетесь, что тульский губернатор недоволен положением вещей. Он решил ввести таможенную пошлину по ставке $t$ за каждый пряник, перевезенный через границу между губерниями, и добиться того, чтобы жители Тульской губернии потребляли все вместе такое же положительное число пряников, какое потребляют жители Московской. Удастся ли ему это сделать? Если да, сколько пряников будет потребляться в каждой губернии? Считайте, что таможенные сборы губернатор тратит на свои нужды, не связанные с рынком пряников.
в) (10 баллов)В ситуации пункта а) московский губернатор решил поддержать местных производителей. Для этого он решил ввести таможенную пошлину по ставке $m$ за каждый пряник, перевезенный через границу между губерниями, и добиться того, чтобы тульские пряничники производили все вместе такое же положительное число пряников, какое производят московские. Удастся ли ему это сделать? Если да, сколько пряников будет производиться в каждой губернии? Считайте, что таможенные сборы губернатор тратит на свои нужды, не связанные с рынком пряников.

3. Динамика безработицы (9)

Все население страны делится на три группы: безработные ($U$), занятые ($E$) и выбывшие из рабочей силы$^1$($V$). Известно, что в отсутствие шоков совокупного спроса и предложения каждый год 10% от всех выбывших переходят в рабочую силу и сразу же находят работу. Также каждый год 5% занятых становятся безработными, 25% безработных находят работу, а 20% безработных выбывают из рабочей силы. Занятые не выбывают из рабочей силы напрямую. Численность населения неизменна и положительна.

Определите естественный уровень безработицы $u^\star$, то есть такой, при котором достигается долгосрочное равновесие (число занятых, безработных и выбывших не изменяется со временем). Определите также долю экономически активного населения в долгосрочном равновесии.

$^1$Этот термин значит то же, что и «не включаемые в рабочую силу».

4. Фруктовая страна (9)

Во Фруктовой Стране есть три региона (А, B и С), в каждом из которых выращивают персики ($X$) и бананы ($Y$). В каждом из регионов КПВ имеет линейный вид; альтернативные издержки производства персиков в регионе А больше, чем в регионе B, а в регионе B больше, чем в регионе С. Максимально возможное количество произведенных персиков в каждом из регионов одинаково и равно 20 тонн. Страна потребляет персики и бананы только в пропорции 1:1 и максимизирует потребление фруктов. Известно, что в оптимуме каждый из фруктов производился более, чем в одном регионе. Если страна перенаправит все ресурсы на производство бананов, она сможет произвести $Z$ тонн бананов.

Какие значения может принимать $Z$?

Для удобства проверки при построении КПВ указывайте количество произведенных персиков по горизонтали. Кроме того, если вы будете решать задачу аналитически (что необязательно), обозначьте альтернативные издержки производства персиков в регионах за $a$, $b$ и $c$, $a>b>c>0$.}