11 класс

1. Доход или богатство

Два брата — Гриша и Ваня — запустили собственные стартапы. Изначальное богатство каждого из них составляло 100 тугриков, и оба они вложили все свои деньги в собственные проекты. Гриша, как более способный предприниматель, тщательнее подошёл к разработке бизнес-плана и потому его проект принес прибыль в размере 20% от вложений, в то время как Ваня понадеялся на авось, и прибыль его проекта составила 0 тугриков.
Государство намерено собрать с двух братьев 5 тугриков в виде налогов. Какую часть суммы заплатит каждый из них, зависит от того, что будет налогооблагаемой базой.

1. Предположим, налогом по ставке $х$% облагается только заработанная прибыль от проекта. Найдите $х$. Какую сумму заплатит каждый из братьев в виде налогов? Чему будет равна чистая прибыль от каждого из проектов после уплаты налогов? Как будут соотноситься между собой богатство Гриши и богатство Вани после уплаты налогов?
2. Предположим, налогом по ставке $y$% облагается совокупное богатство с учетом заработанного дохода. Найдите $y$. Какую сумму заплатит каждый из братьев? Чему будет равна чистая прибыль от каждого из проектов после уплаты налогов? Как будут соотноситься между собой богатство Гриши и богатство Вани после уплаты налогов?
3. Среди экономистов существует дискуссия о том, что нужно выбирать в качестве налогооблагаемой базы. В предыдущих пунктах задачи вы рассмотрели две альтернативы — налогообложение дохода и налогообложение богатства. Сравните эти альтернативы с точки зрения двух критериев:
а) В каком случае благосостояние перераспределяется от менее эффективных к более эффективным предпринимателям?
б) В каком случае неравенство по итоговому богатству выше?

Решение

1) Поскольку Ваня не заработал ничего, то он не платит налог на доход. Следовательно, всю сумму налогового бремени — 5 тугриков — платит Гриша. После уплаты налогов чистая прибыль проекта Вани не изменится и составит 0 тугриков, в то время как чистая прибыль проекта Гриши составит 100*0,2 – 5 = 15 тугриков.
Наконец, отношение богатства двух братьев составляет 115/100 = 1,15.

2) Поскольку налоговое бремя распределяется пропорционально объёму богатства каждого, Ваня заплатит в виде налогов 100/(100 + 120) * 5, то есть примерно 2,27 тугриков, Гриша —120/(100 + 120) * 5, то есть примерно 2,73 тугриков. После уплаты налогов чистая прибыль проекта Вани составит 0 – 2,27 = −2.27 тугриков, в то время как чистая прибыль проекта Гриши составит 0.2 * 100 – 2,73 = 17.27 тугриков. Наконец, отношение богатства двух братьев составляет (120 – 2,73)/(100 – 2,27) = 1.20.

3) а) В случае, когда налогом облагается богатство, а не доход, капитал перераспределяется от менее к более производительным проектам. Богатство Гриши в случае, когда налогом облагается налог, составляет 115, а когда налогом облагается богатство — 117,27.
б) С другой стороны, одним из потенциальных недостатков налогообложения богатства по сравнению с налогообложением дохода является увеличение неравенства по богатству (отношение выросло с 1.15 до 1.20).

2. Воспроизводимый ограниченный ресурс

В некотором городе действуют два предприятия, которые производят только два товара: товар X и товар Y. Для производства этих товаров используются ресурсы альфа и бета. Количества товаров X и Y, ресурсов альфа и бета беконечно делимые.
Известно, что на первом предприятии для производства двух единиц товара Y нужно затратить одну единицу ресурса альфа и четыре единицы ресурса бета, а для производства единицы товара X потребуется только одна единица ресурса альфа.
На втором предприятии из единицы ресурса альфа и четырёх единиц ресурса бета можно получить одну единицу товара Y, а из единицы ресурса альфа можно произвести две единицы товара Х.
Также известно, что в процессе производства товара X образуется некоторое количество ресурса бета. Так на первом предприятии при производстве трёх единиц товара Xобразуются 4 единицы ресурса бета, а на втором предприятии при производстве трех единиц товара X образуются две единицы ресурса бета.
В начале каждого месяца город поставляет каждому предприятию 30 единиц ресурса альфа и 40 единиц ресурса бета, передавать и обменивать ресурсы предприятия не могут. Если на конец месяца у предприятия остаются ресурсы, то город их забирает. Т.е. в начале каждого месяца каждое предприятие имеет в своём распоряжении ровно 30 единиц ресурса альфа и ровно 40 единиц ресурса бета.

1. Постройте график КПВ каждого предприятия.
2. Предположим, в результате острой конкурентной борьбы произошло объединение этих двух предприятий в производственное объединение (ПО). Теперь ПО на тех же условиях получает от города каждый месяц 60 единиц ресурса альфа и 80 единиц ресурса бета. Постройте КПВ производственного объединения.
3. Пусть товар Y продается на рынке по цене 30, а товар X – по цене 10. Какой объём производства каждого товара позволит ПО получить наибольшую выручку и чему будет в этом случае равна выручка?
4. Как должна измениться цена товара Х, чтобы ПО изменило свой выбор относительно объемов производства товаров по сравнению с решением, принятым в п.3?
5. Предположим, что помимо товаров X и Yпроизводственное объединение может также продавать ресурс бета. Пусть цены на товары X и Y соответствуют пункту 3. При какой цене ресурса бета предприятие будет производить товар Y?

Решение

Для начала составим из условия уравнения ресурсозатрат для каждого товара на каждом предприятии (т.е. пока на ограничение кол-ва ресурсов внимания не обращаем). Через «$\beta^+$» будем обозначать дополнительное кол-во ресурса бета, которое предприятие получает, производя товар X.
Предприятие 1:
$Y = min(2\alpha; \frac{1}{2}\beta$)
$X=\alpha$
$\beta^+=\frac{4}{3}X$

Предприятие 2:
$Y = min(\alpha; \frac{1}{4}\beta$)
$X=2\alpha$
$\beta^+=\frac{2}{3}X$

Заметим, что, если мы вставим в уравнения ресурсозатрат вместо $\alpha$ и $\beta$ количества данных ресурсов, которыми располагают предприятия, мы получим максимальное количество Y, которое могут произвести предприятия при нулевом производстве X (ведь ресурс $\alpha$, необходимый для производства X, мы полностью отправили на производство Y, как и ресурс $\beta$).
Но предприятия могут производить не только товар Y, часть ресурса $\alpha$ всё-таки идёт на производство товара X, следовательно, количество ресурса $\alpha$, задействованное в производстве Y уже будет меньше на эту самую часть.
И чем больше мы будем производить товара X, тем меньше ресурса α останется на производство товара Y.
Однако в процессе производства товара X выделяется ресурс $\beta$, который мы можем направить только на производства товара Y (что мы и сделаем). Отсюда следует, что чем больше мы производим товара X, тем больше ресурса $\beta$ мы можем задействовать на производстве товара Y.
Теперь выразим количества $\alpha$ и $\beta$, которые мы можем задействовать в производстве товара Y через объём производства товара X.

Предприятие 1:
$\alpha=30-X$
$\beta=40+\frac{4}{3}X$

Предприятие 2:
$\alpha=30-\frac{X}{2}$
$\beta=40+\frac{2}{3}X$

Теперь для того, чтобы получить уравнения КПВ нужно просто вставить количества α и β в уравнения ресурсозатрат производства товара Y.
Предприятие 1:
$Y=min(2(30-X); \frac{1}{2}(40+\frac{4}{3}X))=min(60-2X;20+\frac{2}{3}X)$

Предприятие 2:
$Y=min((30-\frac{X}{2}); \frac{1}{4}(40+\frac{2}{3}X))=min(30-\frac{X}{2};10+\frac{1}{6}X)$

Ответ на второй вопрос

Из ответа на первый вопрос видно, что предприятие №1 должно специализироваться на производстве товара Y, а предприятие №2 на производстве товара X.
В таком случае уравнения ресурсозатрат ПО будут выглядеть так:
$Y = min(2\alpha; \frac{1}{2}\beta$)
$X=2\alpha$
$\beta^+=\frac{2}{3}X$
Чтобы получить уравнение КПВ выражаем ресурсы через X и подставляем значения в уравнение ресурсозатрат производства Y (т.е. делаем всё тоже самое, что и в предыдущем пункте, но не забываем, что кол-во доступных ресурсов теперь в два раза больше).

КПВ ПО

$Y=min(2(60-\frac{X}{2}); \frac{1}{2}(80+\frac{2}{3}X))=min(120-X;40+\frac{1}{3}X)$

Ниже представлен график КПВ ПО.

Ниже представлены (для наглядности) графики всех трёх КПВ на одной системе координат.
Красный – предприятие №1
Синий – предприятие №2
Зелёный - ПО

Ответ на третий вопрос

Для начала заметим, что ПО никогда не выберет объём производства X меньше 60, т.к. тогда оно окажется на возрастающем участке КПВ (т.е. сможет увеличить производство обоих товаров сразу).
Также, убывающий участок КПВ представляет собой прямую с коэффициентом -1 при x (т.е. увеличивая производства X на 1, мы отказываемся от одного Y). Т.к. $P_Y=30$, а $P_X=10$, производство каждой дополнительной единицы X (на убывающем участке) будет приносить нам 20ед. убытков. Следовательно, оптимальный объём производства – точка перегиба (60; 60), а $TR_{max}=2400$.

Ответ на четвёртый вопрос

Т.к. убывающий участок КПВ – это прямая с коэффициентом -1 при X.
Для того, чтобы ПО изменило объём производства цена X должна быть больше цены Y.
А для этого она должна увеличиться более чем на 20ед. или более чем в 3 раза.

Ответ на пятый вопрос
Для начало определим максимальное количество ресурса β, которым может обеспечить себя предприятие.
Вспомним, что для ПО: $\beta^+=\frac{2}{3}X$, a максимальное кол-во X = 120.
Следовательно, максимальное кол-во $\beta =\frac{2}{3}*120+80=160$.
(80 – это поставки от города)
Цена Y = 30.
Для того, чтобы предприятие выбрало ненулевой объём производства Y должно выполняться следующее неравенство:
$160*P_{\beta}+120*10<2400$
$160*P_{\beta}<1200$
$P_{\beta}<7,5$

Пояснение: в левой части неравенства – выручка от продажи β и X, а в правой части неравенства – максимально возможная выручка предприятия при данных ценах (а именно – выручка от продажи 60Y и 60X).

Есть другой вариант решения. Заметим, что при уменьшении кол-ва X на 1, мы будем приобретать 20ед. выручки за каждую единицу (из-за того, что Y дороже X на 20 и тангенс угла наклона убывающего участка КПВ = -1).
Также, мы будем терять $\frac{2}{3}\beta$ за каждую единицу X и терять $2\beta$ за производство каждой дополнительной единицы Y. Итого: $\frac{8}{3}\beta$ мы будем терять при движении влево по КПВ.
Отсюда неравенство: $20 > \frac{8}{3}P_{\beta}$
т.е. $7,5 > P_{\beta}$

3. Рынок дроидов на планете Татуин

Студент Скайуокер, обучающийся в академии джедаев, выяснил, что на планете Татуин в отрасли, торгующей дроидами на совершенно конкурентном рынке, рыночный спрос и рыночное предложение представлены линейными функциями, причем пересекаются они в одной единственной точке, в которой $Q=300$ дроидов. Также от Оби-Вана Кеноби он узнал, что в точке рыночного равновесия $|E^p_d|=2$ и $|E^p_s|=3$, а $\sin \alpha =0.6$
На графике ниже представлена кривая рыночного спроса.

1. Восстановите функции рыночного спроса и рыночного предложения дроидов на планете Татуин.
2. Правительство планеты Татуин должно выплатить Империи 7000 у.е. на строительство звезды смерти (избежать этого никак не получится!). Для сбора данной суммы правительство вводит потоварный налог на производителей дроидов в размере $t$ у.е. с одного дроида. Какую максимальную ставку потоварного налога $t$ может установить правительство, чтобы собрать нужную сумму? Как и на сколько изменится равновесная цена для потребителя?
3. После того, как звезда смерти была достроена, Дарт Вейдер решил использовать ее мощь в своих корыстных целях и стать единственным производителем дроидов на планете Татуин, используя абсолютно новую имперскую технологию. Проведя необходимые расчеты вместе с Императором, они выяснили, что кривая MC представляется линейной функцией. Также было выявлено, что при производстве 100 дроидов предельные издержки равны 300 у.е., а при производстве, максимизирующем прибыль (максимум прибыли достигается только в одной точке), MC=450 у.е. Постоянных издержек производства нет. Какую прибыль получит Дарт Вейдер, монополизируя рынок дроидов на планете Татуин? Покажите решение данного пункта задачи на графике.

Решение

1) По формуле приведения $\sin(180-\alpha)=\sin\alpha \to \sin(180-\alpha)=0,6$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \to \cos^2 \alpha=\pm 0,8$, но так как угол $\alpha$ больше 90 градусов, что соответствует 2 четверти тригонометрического круга, $\cos\alpha=-0,8$.

По формуле приведения $\cos(180-\alpha)=-\cos\alpha \to \cos(180-\alpha)=0,8$

Следовательно,
$tg(180-\alpha)$$=\frac{\sin(180-\alpha)}{\cos(180-\alpha)}$$=\frac{0,6}{0,8}$$=\frac{3}{4}$$=0,75$.

Отсюда $tg \beta =\frac{4}{3}$, следовательно,$Q_d=a-bp=a-\frac{4}{3}p$ ($\beta$ - угол между кривой спроса и осью P).

Эластичность спроса по цене в точке равновесия:
$E^p_d=\frac{dQ}{dP}\times \frac{P_e}{Q_e}=-\frac{4}{3}\times \frac{P_e}{300}=-2 \to P_e=450$

Отсюда $Q_d=a-\frac{4}{3}p=a-\frac{4}{3}\times 450 =300 \to a=900 \to Q_d=900-\frac{4}{3}p$

Координаты точки рыночного равновесия $(Q_e;P_e)=(300;450)$

$E^p_s=\frac{dQ_s}{dp}\times \frac{P_e}{Q_e} \to 3=\frac{dQ_s}{dp}\times \frac{450}{300} \to \frac{dQ_s}{dp}=2 \to Q_s=c+dp=c+2p$

Отсюда: $300=c+2*450=c+900 \to c=-600 \to Q_s=2p-600$

2) Нам известно, что $Q_s=2p-60$, следовательно, после введения потоварного налога $Q_s^1=2(p-t)-600$

$T=7000 \to t*Q_e^1 = 7000 \to t=\frac{7000}{Q_e^1}$

Отсюда $Q_s^1=2(p-\frac{7000}{Q_e^1}-600= 2p - \frac{14000}{Q_e^1}-600$

Так как $tg \beta =\frac{4}{3} \to \frac{Q_e^1}{675-P_e^1} \to 3Q_e^1=2700-4P_e^1 \to P_e^1=\frac{2700-3Q_e^1}{4}$

Отсюда: $Q=2\times(\frac{2700-3Q}{4})-\frac{14000}{Q}-600=\frac{2700Q-3Q^2-28000-1200Q}{2Q}$

Получается $5Q^2-1500Q+28000=0$

$D=1690000 \to \sqrt{D}=1300$

Отсюда $Q_1=20, Q_2=280$

Отсюда получаем $t_1=350, t_2=25$

Следовательно $t_{max}=350$

Отсюда $p_1=660$, следовательно $\Delta p=210$

3) $Q_d=900-\frac{4}{3}p \to p= 675 -0,75 Q \to TR=675Q-0,75Q^2 \to MR=675 - 1,5Q$

Условие максимизации прибыли на рынке монополии $MC=MR$, и если в точке оптимума $MC=450$, то в этой же точке $MR=450 \to 450=675 - 1,5Q \to Q_e=150 \to P_e=562,5$

Восстановим вид кривой $MC$ по двум точкам:
$300=b+100k$ и $450=b+150k$, отсюда $MC=3Q$.

Восстановим уравнение TC:
$TC=\int MC dQ =\frac{3}{2}Q^2 + C$, $C=0$, так как нет постоянных издержек.

Подсчитаем прибыль Дарта Вейдера:
$\pi=TR-TC=150*562,5-\frac{3}{2}150^2=84375-33750=50625 $

Изобразим на графике:
Известно, что $\pi =TR-TC=p*Q-ATC*Q = (p-ATC)*Q$

$ATC=\frac{TC}{Q}=\frac{\frac{3}{2}Q^2}{Q}=\frac{3}{2}Q$

Прибыль – это прямоугольник с вершинами в следующих координатах: (P;Q): (225;0), (562.5;0), (562.5; 150), (225;150); или фигура, выделенная желтым цветом.

4. Неравенство в Некотором царстве

В Некотором царстве население по уровню дохода делится на две группы – бедные и богатые – причем доход внутри каждой группы распределен равномерно. Коэффициент Джини в Некотором царстве равен 0,4, а число богатых жителей не менее 15% всего населения.
Если бы средний доход бедных увеличился на 50%, а средний доход богатых не изменился, то средний доход во всем царстве возрос бы на 40 монет, а коэффициент Джини сократился до 0,3 (при этом бедные по-прежнему остались бы бедными, а богатые – богатыми).

1. Во сколько раз в Некотором царстве средний доход богатых превышает средний доход бедных?
2. Во сколько раз в Некотором царстве средний доход богатых превышает средний доход всего общества?

Решение

Пусть $\alpha$ – доля бедного населения ($\alpha\leqslant 0,85$), $\beta$ — доля совокупного дохода царства, которую получают бедные жители, $Х_1$ — средний доход в группе бедных, $Х_2$ — средний доход в группе богатых, К — коэффициент Джини. Тогда К = $\alpha$ – $\beta$. Определим $\beta$:

  • совокупный доход всех бедных равен$ Х_1\cdot \alpha\cdot N$, где N – число жителей Некоторого царства;
  • средний доход в царстве равен $ \alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2$;
  • совокупный доход всех жителей царства равен $(\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2) \cdot N$.

Следовательно,
$$ \beta = \frac{\alpha\cdot X-1\cdot N}{(\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2) \cdot N$} = \frac{\alpha\cdot X_1}{\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} $$

Из условия:
$$ K= \alpha - \beta = \alpha - \frac{\alpha\cdot X_1}{\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} =0.4 $$

Если бы средний доход бедных возрос на 50%, то доля совокупного дохода царства, которую стали бы получать бедные жители
$$ \beta_1= \frac{\alpha\cdot 1.5 \cdot X_1}{\alpha \cdot 1.5 \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2}$$

Из условия:
$$ K_1 = \alpha - \beta_1=\alpha - \frac{\alpha\cdot 1.5 \cdot X_1}{\alpha \cdot 1.5 \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} = 0.3 $$

При этом средний доход в царстве стал бы равен $\alpha\cdot 1.5 \cdot X_1+(1-\alpha)\cdot X_2$. А по условию разница средних доходов составляет 40 монет:
$$ \alpha\cdot 1.5 \cdot X_1+(1-\alpha)\cdot X_2 - (\alpha \cdot X_1+(1-\alpha)\cdot X_2) = 0.5 \cdot \alpha \cdot X_1 = 40 \to \alpha \cdot X_1 =80 \text{ } (1)$$

Запишем выражения $K$ и $K_1$, выполнив замену с учетом (1), получим систему уравнений:

$$\begin{cases}
\alpha - \frac{\alpha\cdot X_1}{\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} =0.4 \\
\alpha - \frac{\alpha\cdot 1.5 \cdot X_1}{\alpha \cdot 1.5 \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} = 0.3
\end{cases}$$

Выполним еще одну замену $80 + (1-\alpha)\cdot X_2 =Z $, тогда наша система выглядит намного проще:
$$\begin{cases}
\alpha - \frac{80}{Z} =0.4 \\
\alpha - \frac{120}{Z+40}= 0.3
\end{cases} \to \frac{80}{Z} +0.4 = \frac{120}{Z+40} +0.3 \to \frac{1}{10} = \frac{120Z-80(Z+40)}{Z(Z+40)} \to $$

$$ Z(Z+40) = 120Z-800(Z+40) $$

$$ Z^2 -360Z+32000=0 \to Z_1=200, Z_2=160$$

Если $Z=200$, то $\alpha =\frac{80}{200}+0.4=0.8$, если же $Z_1=160$, то $\alpha = \frac{80}{160}+0.4=0.9$, что не соответствует условию.

Если $\alpha = 0.8$, то из (1) $X_1=\frac{80}{0.8}=100$.

Теперь найдем $Х_2$ (из последней замены):
$$80+(1-0.8)\cdot X_2=200 \to X_2=600$$

А средний доход общества составляет $0.8\cdot 100+0.2 \cdot 600=200$.
Таким образом, средний доход богатых превышает средний доход бедных в 6 раз, а средний доход общества – в 3 раза.

7-8 класс

1. Данила-мастер и его работники

Иван, Петр и Кузьма работают в мастерской Данилы-мастера. Каждому работнику за отработанный день начисляется 120 монет, а за прогул с него удерживается штраф 30 монет. В прошлом месяце (20 рабочих дней) мастерская выполнила заказ на производство 72 изделий, а Данила выплатил в сумме всем трем работникам 3600 монет (расчет с работниками происходит после выполнения заказа).

1. Рассчитайте среднюю производительность труда одного работника в день.
2. Данила подсчитал, что если бы он уволил Кузьму, его суммарные расходы на выплаты работникам за месяц остались бы прежними. Какое количество дней прогулял Кузьма, а какое – Петр, если Иван не прогулял ни одного рабочего дня?
3. Даниле известно, что дневная производительность Ивана в два раза выше, чем у Петра. Смог бы Данила сэкономить на расходах на оплату работников, если бы уволил Петра и Кузьму, а заказ на производство 72 изделий выполнял один Иван?

Решение

1. Если бы никто из работников не прогуливал, было бы за месяц отработано человеко-дней. Пусть L – число отработанных человеко-дней. Тогда прогулы составляют ) человеко-дней. Следовательно, чистые расходы мастерской на оплату труда складываются из расходов (120·L) за вычетом полученных штрафов (30·(60 – L))
$$ 3600 = 120L-30\cdot(60-L) \to L=36$$
Средняя производительность одного работника составляет 72/36=2 изделия в день.

2. Если бы в мастерской работали только Иван и Петр, то чистые расходы на зарплату остались бы прежними:
$$ 3600 = 120L_1-30\cdot(40-L_1) \to L_1=32$$
То есть Кузьма отработал только 36 – 32 = 4 дня, а остальные 16 прогулял. Петр отработал 36 – 4 – 20 = 12 дней, а прогулял 8 дней.

3. Обозначим $P_И$ – дневную производительность Ивана, $P_П$– дневную производительность Петра, $P_К$ – дневную производительность Кузьмы.
По условию $P_И=2P_П$, из п.1 следует, что $\frac{1}{3}\cdot P_И+\frac{1}{3}\cdot P_П+\frac{1}{3}\cdot P_К=2$ или $P_И+ P_П+ P_К=6$, а значит $2P_П+P_П+ P_К=6 \to P_К = 6 - 3 \cdot P_П$

Кроме того, поскольку за месяц трое работников произвели 72 изделия, то
$$20\cdot P_И + 12 \cdot P_П +4 \cdot P_К =72 $$

$$ 20\cdot 2 \cdot P_П +12 \cdot P_П + 4\cdot (6-3\cdot P_П)=72 $$

$$ P_П=1,2, P_И=2,4 $$

Иван сделает работу за 72/2,4=30 рабочих дней. Затраты на оплату труда равны будут 30*120=3600, то есть экономия = 0.

2. Столярная мастерская

Два приятеля папа Карло и Джузеппе по прозвищу Сизый Нос в столярной мастерской производят стулья и деревянных кукол. Чтобы сделать 2 стула и 3 куклы папа Карло должен трудиться 14 часов, а Джузеппе этот же набор может изготовить за 21 час. Чтобы изготовить 3 стула и 2 куклы папе Карло придется поработать 11 часов, а Джузеппе справится с этой работой за 19 часов.
Карабасу-Барабасу для его нового театра требуется 95 новых стульев и 3 деревянные куклы.

1. Смогут ли приятели выполнить заказ Карабаса-Барабаса за 6 дней, учитывая, что более 10 часов в день никто из них работать не может, и производительность труда в течение дня у каждого постоянна?
2. За какое минимальное время Карло и Джузеппе смогут выполнить этот заказ?

Решение

Пусть папа Карло изготавливает один стул за $t_{ch}$ часов, а одну куклу – за $t_{p}$ часов; Джузеппе изготавливает один стул за $\tau_{ch}$ часов, а одну куклу – за $\tau_{p}$ часов.

Определим время, необходимое папе Карло для изготовления одной куклы и одного стула. Согласно условию:
$$\begin{cases}
2\cdot t_{ch}+3\cdot t_p=14\\
3\cdot t_{ch}+2\cdot t_p=11
\end{cases} \to 5\cdot t_{ch}+5\cdot t_p=25 \to t_{ch}+t_p=5$$

Тогда $2\cdot t_{ch}+3\cdot t_p=2\cdot(t_{ch}+t_p)+t_p=10+t_p=14 \to t_p=4, t_{ch}=1$

Рассуждая аналогично, определим сколько времени потребуется Джузеппе для изготовления одного стула и одной куклы:
$$\begin{cases}
2\cdot \tau_{ch}+3\cdot \tau_p=21\\
3\cdot \tau_{ch}+2\cdot \tau_p=19
\end{cases} \to 5\cdot \tau_{ch}+5\cdot \tau_p=40 \to \tau_{ch}+\tau_p=8$$

Тогда $2\cdot \tau_{ch}+3\cdot \tau_p=2\cdot(\tau_{ch}+\tau_p)+\tau_p=16+\tau_p=21 \to \tau_p=5, \tau_{ch}=3$

Очевидно, заказ выполнить приятели не смогут, так как даже если они будут изготавливать только стулья, за 6 дней (60 часов) они смогут сделать только 80 штук (60 сделает Карло и 20 – Джузеппе).

Альтернативная стоимость изготовления одной куклы папой Карло составляет 4 стула, а Джузеппе – 5/3 стула. Таким образом, изготавливать стулья будет Карло, а Джузеппе будет делать кукол. Для изготовления 3 кукол ему понадобится 15 часов. За это время Карло сделает 15 стульев, то есть останется сделать еще 80. За час вдвоем приятели делают $1\frac{1}{3}$ стула, то есть чтобы произвести оставшиеся 80 стульев, потребуется 80 : $1\frac{1}{3}$ = 60 часов. Значит, на выполнение всего заказа потребуется 15 + 60 = 75 часов или 7,5 рабочих дней.

3. Бедность и богатство в Тридесятом царстве

В Тридесятом царстве живут только четыре сказочных персонажа: Кощей Бессмертный, Баба Яга, Соловей Разбойник и Водяной.
Если Кощей Бессмертный в результате маленькой победоносной войны ограбит казну Тридевятого царства, то его богатство в результате возрастет в 1,5 раза, а совокупное богатство Тридесятого царства увеличится на 15%. Если Баба Яга произведет и продаст в Триодиннадцатом царстве колдовское зелье, то ее богатство возрастет на 50%, а совокупное богатство Тридесятого царства увеличится на 10%. Если Соловей Разбойник ограбит купца, направляющегося из Тридесятого в Триодиннадцатое царство, то его богатство возрастет в 1,5 раза, а совокупное богатство Тридесятого царства – на 5%.

1. Кто самый богатый в Тридесятом царстве, а кто – самый бедный? Во сколько раз богатство самого богатого превышает богатство самого бедного жителя Тридесятого царства?
2. Как изменится совокупное богатство Тридесятого царства, если одновременно:
• Кощей Бессмертный потерпит поражение в войне с Тридевятым царством, и ему придется выплатить треть своего богатства в качестве репарации;
• Баба Яга продаст не только все зелье в Триодиннадцатом царстве, но и фальсификат живой воды в Тридевятом царстве на такую же сумму;
• вместо купца Соловью Разбойнику встретится русский богатырь, побеседовав с которым он передумает разбойничать и грабить добрых людей, по крайней мере в ближайшие дни;
• Водяному придется уплатить оброк работнику Балде из Тридевятого царства, после чего его богатство сократится на четверть.

Решение

1. Если увеличение богатства Кощея на 50% приводит к росту совокупного богатства на 15%, то 50% богатства Кощея и есть эти 15% совокупного богатства. Следовательно, все богатство Кощея составляет 30% совокупного богатства Тридесятого царства. Рассуждая аналогично богатство Бабы Яги составляет 20% совокупного богатства, богатство Соловья Разбойника – 10% совокупного богатства. Откуда следует, что на долю Водяного приходится (100 – 30 – 20 – 10)=40% всего богатства Тридесятого царства. Он и есть самый богатый персонаж. Его богатство в 4 раза (40/10) превышает богатство Соловья Разбойника – самого бедного жителя царства.

2. Если исходно совокупное богатство царства было W, то Водяному принадлежало 0,4W, Кощею – 0,3W, Бабе Яге – 0,2W и Соловью Разбойнику 0,1W. Тогда после поражения в войне у Кощея останется 0,2W, Бабе Яге будет принадлежать 0,4W, Соловью Разбойнику по-прежнему 0,1W, Водяному 0,3W. Итого совокупное богатство составит (0,2+0,4+0,1+0,3)W=W, то есть не изменится.

4. Зачем покупать 200 рублей за 3000 рублей?

В октябре 2017 года в обращение поступили новые купюры достоинством в 200 и 2000 рублей. Сейчас на сайтах объявлений вовсю продают эти новые купюры. Разброс цен поражает: 200 рублей продают и за 230 и даже за 3000 рублей!

Дайте экономическое объяснение этому явлению.

Решение

Ценность новых купюр для тех, кто их покупает, выше, чем ценность тех товаров, которые люди могут на них приобрести. Новые купюры выступают пока не столько в роли денег, сколько в роли сувениров, и ценность их как сувениров выше ценности тех товаров, которые можно приобрести, если использовать эти купюры как обычные деньги.

9-10 класс

1. Доход или богатство

Два брата — Гриша и Ваня — запустили собственные стартапы. Изначальное богатство каждого из них составляло 100 тугриков, и оба они вложили все свои деньги в собственные проекты. Гриша, как более способный предприниматель, тщательнее подошёл к разработке бизнес-плана и потому его проект принес прибыль в размере 20% от вложений, в то время как Ваня понадеялся на авось, и прибыль его проекта составила 0 тугриков.
Государство намерено собрать с двух братьев 5 тугриков в виде налогов. Какую часть суммы заплатит каждый из них, зависит от того, что будет налогооблагаемой базой.

1. Предположим, налогом по ставке $х$% облагается только заработанная прибыль от проекта. Найдите $х$. Какую сумму заплатит каждый из братьев в виде налогов? Чему будет равна чистая прибыль от каждого из проектов после уплаты налогов? Как будут соотноситься между собой богатство Гриши и богатство Вани после уплаты налогов?
2. Предположим, налогом по ставке $y$% облагается совокупное богатство с учетом заработанного дохода. Найдите $y$. Какую сумму заплатит каждый из братьев? Чему будет равна чистая прибыль от каждого из проектов после уплаты налогов? Как будут соотноситься между собой богатство Гриши и богатство Вани после уплаты налогов?
3. Среди экономистов существует дискуссия о том, что нужно выбирать в качестве налогооблагаемой базы. В предыдущих пунктах задачи вы рассмотрели две альтернативы — налогообложение дохода и налогообложение богатства. Сравните эти альтернативы с точки зрения двух критериев:
а) В каком случае благосостояние перераспределяется от менее эффективных к более эффективным предпринимателям?
б) В каком случае неравенство по итоговому богатству выше?

Решение

1) Поскольку Ваня не заработал ничего, то он не платит налог на доход. Следовательно, всю сумму налогового бремени — 5 тугриков — платит Гриша. После уплаты налогов чистая прибыль проекта Вани не изменится и составит 0 тугриков, в то время как чистая прибыль проекта Гриши составит 100*0,2 – 5 = 15 тугриков.
Наконец, отношение богатства двух братьев составляет 115/100 = 1,15.

2) Поскольку налоговое бремя распределяется пропорционально объёму богатства каждого, Ваня заплатит в виде налогов 100/(100 + 120) * 5, то есть примерно 2,27 тугриков, Гриша —120/(100 + 120) * 5, то есть примерно 2,73 тугриков. После уплаты налогов чистая прибыль проекта Вани составит 0 – 2,27 = −2.27 тугриков, в то время как чистая прибыль проекта Гриши составит 0.2 * 100 – 2,73 = 17.27 тугриков. Наконец, отношение богатства двух братьев составляет (120 – 2,73)/(100 – 2,27) = 1.20.

3) а) В случае, когда налогом облагается богатство, а не доход, капитал перераспределяется от менее к более производительным проектам. Богатство Гриши в случае, когда налогом облагается налог, составляет 115, а когда налогом облагается богатство — 117,27.
б) С другой стороны, одним из потенциальных недостатков налогообложения богатства по сравнению с налогообложением дохода является увеличение неравенства по богатству (отношение выросло с 1.15 до 1.20).

2. Котлетки из мясного фарша

Фермер Иванов еженедельно поставляет в цех по переработке мяса 1200 кг говядины и 1400 кг свинины без костей. Это мясо там перемалывают и предлагают на продажу в виде готового фарша, при этом фарш весит столько же, сколько потраченные на его производство ингредиенты. В настоящее время цех выпускает фарш двух видов: фарш «Домашний», в котором содержится 30% говядины и 70% свинины и фарш «Фермерский», в котором содержится 80% говядины и 20% свинины.
Ресторан «Советский» еженедельно закупает два этих вида фарша. По специальному рецепту повара их смешивают таким образом, чтобы содержание говядины и свинины оказалось равным, и готовят фирменные котлетки. Эти котлетки пользуются огромным спросом у завсегдатаев и всегда все раскупаются. Вес одной котлетки 100 грамм, а мяса в ней ровно 80%.

1) Постройте кривую производственных возможностей цеха по переработке мяса и объясните ее построение.
2) Определите, сколько фарша каждого вида еженедельно закупает ресторан.
3) Рассчитайте, сколько фирменных котлеток продает ресторан в неделю.

Решение

1) При построении КПВ цеха по переработке мяса следует учитывать два ограничения: ограничение на говядину и свинину.
Введем обозначения для переменных.
Пусть Х – это количество (в кг) изготавливаемого фарша «Домашний», а Y – это количество (в кг) изготавливаемого фарша «Фермерский».
Тогда ограничение по говядине будет выглядеть следующим образом:
0,3Х+0,8Y≤1200,
а ограничение по свинине будет выглядеть так:
0,7Х+0,2Y≤1400.
Множество производственных возможностей по производству фарша ограничено осями координат и указанными ограничениями по говядине и свинине.
$$\begin{cases}
0,3X+0,8Y=1200 \\
0,7X+0,2Y=1400
\end{cases}$$
Получаем, что Х=1760 кг Y=840 кг.

Легко можно вывести функцию, описывающую КПВ:
$$Y=\begin{cases}
1500-0,375X, \text{ при } 0\leqslant X\leqslant 1760\\
7000-3,5X, \text{ при } 1760\leqslant X\leqslant 2000
\end{cases}$$

График КПВ будет выглядеть следующим образом.

2) Пропорцию, которая определяет, сколько и какого фарша следует покупать ресторану, находим из уравнения по содержанию говядины в фаршах:
$0,3X+0,8Y=0,5(X+Y)$ или из уравнения по содержанию свинины в фаршах: $0,7X+0,2Y=0,5(X+Y)$
Получаем, что $Y=\frac{2}{3}X$ или $X=1,5Y$

Так как ресторан заинтересован в изготовлении наибольшего количества котлеток, то он будет закупать фарш в указанной пропорции, и выйдет на границу КПВ. Если закупить 1760 кг фарша «Домашний», то для изготовления котлеток потребуется докупить 1760*2/3=1173, кг фарша «Фермерский», а этот объем фарша находится за КПВ. Значит ресторан будет покупать фарш в объеме меньшем, чем 1760 кг. Это предполагает выход на КПВ на участке, связанным с ограничением по говядине. Это соответствует точке на КПВ, координаты которой мы находим из равенства $1500-0,375X=\frac{2}{3}X$. Получаем, что Х=1440, и, соответственно, Y=960.

Ресторан покупает фарш «Домашний» - 1440 кг и фарш «Фермерский» - 960 кг.

3) Смешав два вида фарша, ресторан получает (1440+960=2400) кг фарша, пригодного для изготовления котлеток. В каждой котлетке содержится 80 грамм фарша.
Поэтому количество котлеток, которое изготавливает и продает ресторан равно (2400*1000/80=30000), т.е. 30 тысяч котлеток.

3. Они все такие разные…

На рынке товара Омега действуют три группы покупателей (А, В и С) и три группы продавцов (Х, Y и Z).
Покупатели группы А готовы купить любое количество товара, при условии, что его цена 40 тугриков и ниже. Покупатели группы Б готовы бесплатно забрать 930 единиц товара, но при любом увеличении цены на 1 тугрик их готовность купить товар снижается на 15 единиц товара. Покупатели группы С готовы купить до 120 единиц товара (не больше!) при любой цене.
Продавцы группы Х имеют запас товара в 100 единиц и готовы его продать по любой цене. Продавцы группы Y готовы начать торговать при цене 50 тугриков и любое повышение цены на 1 тугрик сопровождается у них ростом величины предложения товара на 5 единиц. Продавцы группы Z готовы предложить на продажу любое количество товара, если цена на рынке будет 90 тугриков и больше.

1) Постройте графики суммарного рыночного спроса и суммарного рыночного предложения товара Омега и объясните их построение.
2) Рассчитайте параметры равновесия на рынке товара Омега.
3) Решением правительства вводится потоварный налог на всех продавцов товара Омега в размере 15 тугриков на каждую единицу товара. Оцените, как в результате изменятся параметры рыночного равновесия.
4) Рассчитайте величину налоговых поступлений.

Решение

1) Характеристика спроса по каждой группе.
Спрос покупателей группы А характеризуется как абсолютно эластичный при цене 40 тугриков и ниже.
Спрос покупателей группы В описывается линейной функцией $Q=930-15P$.
Спрос покупателей группы C характеризуется как абсолютно неэластичный при Q = 120 единиц товара.
Характеристика предложения по каждой группе.
Предложение продавцов группы Х характеризуется как абсолютно неэластичное при Q = 100 единиц товара.
Предложение продавцов группы Y описывается линейной функцией $Q =5P-250$.
Предложение продавцов группы Z характеризуется как абсолютно эластичное при цене 90 тугриков и выше.
На рисунке представлены графики суммарного рыночного спроса и предложения.

2) Равновесие будет достигнуто на участке, где суммарный рыночный спрос представлен группами покупателей В и С и описывается функцией Q=1050-15P, а суммарное рыночное предложение представлено группами продавцов Х и Y и описывается функцией Q=5P-150.
Приравняв спрос и предложение, получаем, что равновесная цена рана 60 тугриков, а равновесный объем - 150 единиц товара Омега.

3) Введение налога приведет к сдвигу кривой предложения вверх по оси цен на 15 тугриков.
В итоге новое равновесие окажется на участке неэластичного спроса, следовательно, равновесный объем продаж составит 120 единиц товара Омега.
Чтобы найти равновесную цену рассчитаем изменение функции предложения для участка, когда на рынке торгуют продавцы из групп Х и Y. $Q=5(P-15) -150 $, т.е. $Q=5P-225$.
Приравняв спрос и предложение, найдем равновесную цену. Она равна 69 тугриков.
На рисунке показано новое равновесие на рынке товара Омега.

Итак, равновесная цена товара Омега возрастет на 9 тугриков, а равновесный объем продаж снизится на 30 единиц.

4) Налоговые сборы составят 15*120=1800 тугриков.

4. Домашнее задание по издержкам

Подруги Маша и Катя делали домашнее задание по экономике. Им надо было решить следующую задачу.
«В прошлом году общие совокупные издержки предприятия А составляли 38 тыс. рублей, и они были на 375% больше общих постоянных издержек. В текущем году на предприятии А объем производства товаров (в натуральном выражении) вырос на 25%, средние переменные издержки выросли на 20%, а общие совокупные издержки выросли на 18 тыс. рублей. Определите, как изменились средние постоянные издержки на предприятии А.»
Ответы у них получились одинаковые и, что самое главное, совпали с ответом в задачнике.
Однако Катя возмутилась: «А задача-то неправильная! Такого ответа не может быть! Он противоречит теории!»
Маша же ей возразила: «Ну, почему же. Такое может быть, если предположить, что…».

1) Решите задачу из домашнего задания девочек.
2) Объясните, что в ответе показалось Кате неправильным.
3) Укажите, какие могли быть встречные аргументы Маши

Решение

Введем условные обозначения:
$AFC_0$ – средние постоянные издержки в прошлом году;
$AFC_1$ – средние постоянные издержки в текущем году;

$AVC_0 $– средние переменные издержки в прошлом году;
$AVC_1$ – средние переменные издержки в текущем году;

$Q_0$ – количество производимой продукции в прошлом году;
$Q_1$ – количество производимой продукции в текущем году.

Исходя из условий задачи, можно записать.
$AFC_0+AVC_0)*Q_0=38000$

$AFC_0*Q_0=\frac{38000}{4.75}=8000$

Тогда $AVC_0*Q_0=38000-8000=30000$

$Q_1=1,25Q_0$

$(AFC_1+AVC_1)*Q_1=38000+18000=56000.$

Отсюда следует, что $AFC_1*Q_1=56000-45000=11000$.

Теперь мы готовы сравнить средние постоянные издержки.
$$\frac{AFC_1}{AFC_0}=\frac{\frac{11000}{1,25Q_0}}{\frac{8000}{Q_0}}=1,1$$
Итак, ответ задачи - средние постоянные издержки выросли на 10%.

2) Катя отметила, что по задаче получается, что с ростом объема производства средние постоянные издержки растут, а в теории они должны снижаться.

3) Маша могла предположить, что такое поведение средних постоянных издержек связано с изменением самой величины общих постоянных издержек, обусловленных, например, ростом стоимости аренды.