10-11 класс

1. Лоббирование

Страна A, обладающая трудовыми ресурсами в размере 200 единиц, производит с их помощью два товара — Икс и Игрек, причем для производства единицы Икса необходимо две единицы труда, а для производства единицы Игрека — одна единица труда. На мировом рынке единица Игрека стоит так же, как единица Икса, в этой пропорции страна может обменивать любой товар на другой в любом количестве.

Однако пропорцию обмена можно изменить с помощью лоббирования. Наняв лоббистов, страна А сможет добиться удвоения мировой цены любого из товаров (выраженной в единицах другого товара). Стоимость услуг лоббистов равна 50 единицам Игрека независимо от товара, цену которого страна решит лоббировать.

Назовем кривой торгово-лоббистских возможностей (КТЛВ) множество точек, которое ограничивает сверху множество всех наборов $(x, y)$, доступных стране в результате производства, торговли и лоббирования.
Постройте КТЛВ страны А и выведите аналитическое выражение для данной КТЛВ.

Решение

В отстутствие лоббирования страна А имеет сравнительное преимущество перед остальным миром в производстве Игреков. Внутренняя альтернативная стоимость 1 игрека равна 0,5 Икса, а на мировом рынке игрек стоит, как один икс: $p_x:p_y=1:1$. Получается, что страна произведет 200 (максимальное количество) единиц Игрека и, возможно, часть из них будет продавать, получая за каждый игрек 1 Икс взамен. Получается, что страна может добиться любого количества Икса и Игрека, сумма которых равна 200: $X+Y=200$. Эту линию иногда называют кривой торговых возможностей (КТВ).

Стране не может быть выгодно лоббировать повышение цены Икса, так как в этом случае она добьется пропорции обмена, равной альтернативным издержками производства внутри страны. А значит, выгод от торговли не будет, а товар Игрек на лоббирование будет потрачен.

Если страна решит лоббировать повышение цены Игрека, то она, конечно, продолжит его экспортировать (экспорт станет еще выгоднее, чем раньше), но потратит на эту операцию 50 единиц Игрека. Получается, что для торговли останется только 150 единиц Игрека, но зато за единицу Игрека можно будет получить 2 единицы Икса. Получаем уравнение КТВ после лоббирования: $X/2+Y=150$.

Такого объяснения получения данного уравнения достаточно, однако возможен и более формальный подход. Предположим, страна будет экспортировать $z$ единиц Игрека. Тогда она получит взамен $2z$ единиц Икса. Получается, что для потребления доступно $Y=150-z$ и $X=2z$. Выражая $z$ из любого из этих условий и подставляя в другое, получаем $X/2+Y=150$.

В каких случаях страна будет применять лоббирование, а в каких не будет? Ответ зависит от того, какая из линий КТВ (без лоббирования или с ним) лежит выше. В первой КТВ $Y=200-X$, во второй $Y=150-X/2$. Составим неравенство:

\begin{gather*}
200-X\ge 150-X/2,\\
X \le 100.
\end{gather*}
Получаем уравнение КТЛВ: (1.1)
\begin{equation}\label{ktv}
Y=\begin{cases}
200-X, & 0\le X\le 100; \\
150-X/2, & 100 < X\le 300.
\end{cases}\end{equation}

Альтернативный способ — составить неравенство, сравнивающее $X$ (так мы узнаем, какая КТВ лежит правее):
\begin{gather*}
200-Y\ge 300-2Y,\\
Y \ge 100.
\end{gather*}
Получаем уравнение КТЛВ: (1.2)
\begin{equation}\label{ktv2}
X=\begin{cases}
200-Y, & 100 \le Y\le 200; \\
300-2Y, & 0 \le Y < 100.
\end{cases}\end{equation}
Выражение (1.1) эквивалентно выражению (1.2), найденному ранее.

Графически ситуация сводится к следующему:

На этом рисунке изображены и подписаны исходная КПВ (не требуется для правильного ответа), КТВ без лоббирования, КТВ с лоббированием. КТЛВ — более толстая линия, состоящая из участков двух КТВ.

Примечание. В обоих вариантах записи уравнения КТЛВ точка $(100, 100)$ может быть отнесена как к верхнему интервалу, так и к нижнему, поскольку КТЛВ является непрерывной функцией. Кроме того, указание нижних и верхних границ ($X\ge 0$, $Y\ge 0$, $X\le 300$, $Y\le 200$) необязательно для корректной записи. Иными словами, следующие варианты, а также аналогичные, также корректны:
\begin{align*}
& Y=\begin{cases}
200-X, & X< 100; \\
150-X/2, & X \ge 100.
\end{cases} &
X=\begin{cases}
200-Y, & Y> 100; \\
300-2Y, & Y \le 100.
\end{cases}
\end{align*}

Пояснение ЦПМК

В авторском решении задачи 1 предполагается, что лоббирование можно использовать не более одного раза, причем только до обмена (или одновременно с ним). Это соответствует условию: в задаче написано, что с помощью лоббирования можно изменить пропорцию обмена, наличие нескольких разных пропорций не предусматривается. Такой подход к построению производственных и потребительских множеств традиционен для школьных олимпиад и для микроэкономики вообще: концепция КПВ предполагает только статическую модель, то есть в ней обычно не предполагается возможности итеративных процедур.

Тем не менее, по мнению членов жюри из некоторых регионов, понимание задачи, в котором допускается использование более сложных механизмов (многократное лоббирование, лоббирование после покупки только части товара и т. п.), также является корректным и не упрощает задачу. В соответствии с решением ЦПМК по экономике, в тех регионах, где условие задачи не пояснялось для всех участников, жюри должно засчитывать как верное решение любой вариант, который прямо не запрещен условием — в случае корректных расчетов и рассуждений.

2. Внезапный центробанк

В закрытой экономике страны Альфа продается единственный конечный товар, который производят $N$ одинаковых фирм. Рынок товара является рынком совершенной конкуренции. Выпуск каждой из фирм следующим образом зависит от количества используемых ею работников: $y=\sqrt {L}$. Заработная плата одного работника фиксирована профсоюзом и составляет $W$. Совокупный спрос в рассматриваемой экономике описывается уравнением:
\[Y_{AD}=2\frac{M}{P},\]
где $M$ — денежная масса, $P$ — уровень цен.

Центробанк неожиданно применяет меры сдерживающей денежно-кредитной политики, в результате которой новое предложение денег отличается от старого на 36% (профсоюз не успевает скорректировать назначенную им зарплату, количество фирм на рынке не меняется). На сколько процентов и в каком направлении в результате этой меры изменится реальная заработная плата работников?

Решение

Найдем равновесие на рынке в зависимости от параметров.

Прибыль каждой фирмы равна $\pi=Py-WL=Py-Wy^2$. Это парабола с ветвями вниз, максимум которой достигается в вершине: $y=P/(2W)$.

Можно также выразить прибыль не через выпуск, а через количество нанятых работников: $\pi = P\sqrt{L} - WL$. Производная этой функции равна \[\pi ' = \frac{P}{2\sqrt{L}}-W\] и достигает нуля при \[L = \left(P/(2W)\right)^2.\] В этом случае необходимо отметить, что производная убывает (вторая производная отрицательна), а при использовании правила $MRP_L=w$ — что убывает функция $MRP_L(L)$. Поэтому найденное значение $L$ является точкой максимума.

Отсюда получаем фукнцию совокупного предложения всех фирм:
\[ Y_{AS}=\frac{NP}{2W}.\]

Найдем равновесие:
\begin{gather*}
Y_{AD}=Y_{AS}\\
2\frac{M}{P} = \frac{NP}{2W} \\
P=2\sqrt{\frac{MW}{N}}
\end{gather*}

Реальная заработная плата $W/P$ в равновесии равна
\[
\frac{W}{P} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{NW}{M}}.
\]

Если денежная масса меняется со значения $M_0$ до значения $M_1$, а остальные параметры не меняются, то отношение новой и старой реальной заработной платы равно (2.1)
\begin{equation}\label{MM}
\frac{{W}/{P_1}}{{W}/{P_0}} = \frac{ \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{NW}{M_1}}}{ \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{NW}{M_0}}} = \sqrt{\frac{M_0}{M_1}}.
\end{equation}

Так как описанная в задаче политика сдерживающая, то предложение денег снижается. Следовательно, $M_1=0,64M_0$. Подставляя в формулу (2.1), получаем
\begin{equation}
\frac{{W}/{P_1}}{{W}/{P_0}} = \sqrt{\frac{M_0}{0,64M_0}} = 1,25.
\end{equation}

Получается, что реальная зарплата выросла на 25%.

3. Прибыль — это не всё

Часто считается, что фирмы должны не просто максимизировать прибыль, а учитывать интересы общества: ограничивать негативное влияние на окружающую среду, не нарушать этических стандартов при ведении бизнеса, предоставлять рабочие места представителям социально незащищенных слоев населения.

Рассмотрим фирму ABC, которая максимизирует не прибыль, а сумму прибыли и величины, зависящей от уровня безработицы в стране:
\[B=\pi+16(100-u),\]
где $\pi$ — прибыль, а $u$ — уровень безработицы в процентах.

Всего в стране проживают 100 человек, 70 из которых стабильно заняты на других производствах и не собираются устраиваться на фирму ABC. 30 человек являются безработными, и фирма ABC наймет сотрудников именно из их числа. (Больше никакие работодатели не предлагают им работу.)

Спрос на продукцию фирмы ABC задается уравнением $Q=120-P$. Фирма производит товар, используя только труд, при этом $Q=2L$. Если фирма наймет $L$ работников, нужно будет платить каждому из них зарплату $w=4L$.

На сколько процентных пунктов в этой ситуации уровень безработицы будет меньше по сравнению с тем, который был бы при максимизации фирмой ABC прибыли?

Решение

Запишем целевую функцию фирмы с учетом того, что $\pi = TR - TC$, $TR=PQ$, $TC=wL$, $P=120-Q$, $w=4L$, $Q=2L$, $u=(30-L)/100 \cdot 100~\%$:

\[
B=(120-2L)\cdot 2L -4L\cdot L + 16(100-(30-L)).
\]
После упрощения получаем $B=-8 L^2 + 256 L + 1120
$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $L^\star=16$.
Тот же ответ можно получить, взяв производную функции ($B '=-16L+256$) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на − (варианты: первая производная убывает, вторая производная равна $-16$, то есть отрицательна), так что это точка максимума.

4. Географическое разнообразие

В стране А есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания «Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими городами. Компания сама выбирает цены билетов, а также то, в какие города будут ходить автобусы из столицы (между маленькими городами дорог нет), при этом количество городов может быть только целым. Спрос на перевозки в каждый город одинаков и имеет следующий вид: $q_i=400/p_i^2$, где $q_i$ — величина спроса на билеты на автобус в $i$-й город (в штуках), $p_i$ — цена билета в этот город ($i = 1, 2, \dots, N$, где $N$ — общее количество городов, в которые ходят автобусы компании «Солнышко»).

Издержки перевозки одного пассажира в любой город составляют 2 денежных единицы, не считая издержек организации маршрута. Создание всё новых маршрутов — не такая уж и простая задача, требующая составления расписания, организации логистики, закупок, установки турникетов и т. п. Организация маршрута в первый город стоит 1 денежную единицу, во второй — 2 денежные единицы, ... , в $N$-й город — $N$ денежных единиц.

Определите максимальную прибыль фирмы «Солнышко».

Решение

Общую прибыль можно записать так:
\[ \pi =
(p_1 q_1 - 2q_1) + (p_2 q_2 - 2q_2) + \dots + (p_N q_N - 2q_N) - (1 + 2 +\dots + N).
\]
После подстановки обратных функций спроса $p_i=\frac{20}{\sqrt{q_i}}$ и применения формулы суммы арифметической прогрессии получаем:
\[ \pi =
(20 \sqrt{q_1} - 2q_1) + (20 \sqrt{q_2} - 2q_2) + \dots + (20 \sqrt{q_N} - 2q_N) - \frac{N^2+N}{2}.
\]
Выражение в каждой из скобок — парабола относительно $\sqrt{q_i}$ (каждое $\sqrt{q_i}$ влияет на значение только «своей» параболы). Если $\sqrt{q_i}=t$, то выражения в скобках принимают вид $(20t-2t^2)$. Все параболы имеют вершину в точке $t=5,$ то есть $q_i = 25$.

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок до отдельного города:
\[
\pi_i ' = (20 \sqrt{q_i} - 2q_i) '= \frac{10}{\sqrt{q_i}} - 2. \]

Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к $0$ даст максимум выражения под знаком производной: $q_i=25$.

Еще один способ — посчитать прибыль в регионе $i$ как функцию от цены:
\[
\pi_i = p_i \cdot \frac{400}{p_i^2} - 2\cdot \frac{400}{p_i^2}.
\]
Это парабола с ветвями вниз относительно $s=1/p_i$, максимум достигается при $p_i = 4$.

Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):
\[
\frac{p_i-MC}{p_i}= \frac{1}{|\varepsilon|}.
\]
При данных функциях спроса $|\varepsilon|=2$, а $MC=2$ по условию. Отсюда получаем $p_i=4$.

Этот результат никак не зависит от того, каково значение $N$: сколько бы городов ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета равна 4.

Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных $q_i$:
\begin{equation}\label{pin}
\pi = (20\cdot 5 - 2\cdot 25) \cdot N - \frac{N^2+N}{2} = \frac{99N - N^2}{2}.
\end{equation}
Это тоже парабола с ветвями вниз — теперь уже зависящая от переменной $N$. Ее максимум достигается в вершине — точке $N= 49,5$, но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной
\[ \pi =
\frac{99 \cdot 50 - 50^2}{2} = 1225.
\]

9 класс

1. Лоббирование

Страна A, обладающая трудовыми ресурсами в размере 200 единиц, производит с их помощью два товара — Икс и Игрек, причем для производства единицы Икса необходимо две единицы труда, а для производства единицы Игрека — одна единица труда. На мировом рынке единица Игрека стоит так же, как единица Икса, в этой пропорции страна может обменивать любой товар на другой в любом количестве.

Однако пропорцию обмена можно изменить с помощью лоббирования. Наняв лоббистов, страна А сможет добиться удвоения мировой цены любого из товаров (выраженной в единицах другого товара). Стоимость услуг лоббистов равна 50 единицам Игрека независимо от товара, цену которого страна решит лоббировать.

Назовем кривой торгово-лоббистских возможностей (КТЛВ) множество точек, которое ограничивает сверху множество всех наборов $(x, y)$, доступных стране в результате производства, торговли и лоббирования.
Постройте КТЛВ страны А и выведите аналитическое выражение для данной КТЛВ.

Решение

В отстутствие лоббирования страна А имеет сравнительное преимущество перед остальным миром в производстве Игреков. Внутренняя альтернативная стоимость 1 игрека равна 0,5 Икса, а на мировом рынке игрек стоит, как один икс: $p_x:p_y=1:1$. Получается, что страна произведет 200 (максимальное количество) единиц Игрека и, возможно, часть из них будет продавать, получая за каждый игрек 1 Икс взамен. Получается, что страна может добиться любого количества Икса и Игрека, сумма которых равна 200: $X+Y=200$. Эту линию иногда называют кривой торговых возможностей (КТВ).

Стране не может быть выгодно лоббировать повышение цены Икса, так как в этом случае она добьется пропорции обмена, равной альтернативным издержками производства внутри страны. А значит, выгод от торговли не будет, а товар Игрек на лоббирование будет потрачен.

Если страна решит лоббировать повышение цены Игрека, то она, конечно, продолжит его экспортировать (экспорт станет еще выгоднее, чем раньше), но потратит на эту операцию 50 единиц Игрека. Получается, что для торговли останется только 150 единиц Игрека, но зато за единицу Игрека можно будет получить 2 единицы Икса. Получаем уравнение КТВ после лоббирования: $X/2+Y=150$.

Такого объяснения получения данного уравнения достаточно, однако возможен и более формальный подход. Предположим, страна будет экспортировать $z$ единиц Игрека. Тогда она получит взамен $2z$ единиц Икса. Получается, что для потребления доступно $Y=150-z$ и $X=2z$. Выражая $z$ из любого из этих условий и подставляя в другое, получаем $X/2+Y=150$.

В каких случаях страна будет применять лоббирование, а в каких не будет? Ответ зависит от того, какая из линий КТВ (без лоббирования или с ним) лежит выше. В первой КТВ $Y=200-X$, во второй $Y=150-X/2$. Составим неравенство:

\begin{gather*}
200-X\ge 150-X/2,\\
X \le 100.
\end{gather*}
Получаем уравнение КТЛВ: (1.1)
\begin{equation}\label{ktv}
Y=\begin{cases}
200-X, & 0\le X\le 100; \\
150-X/2, & 100 < X\le 300.
\end{cases}\end{equation}

Альтернативный способ — составить неравенство, сравнивающее $X$ (так мы узнаем, какая КТВ лежит правее):
\begin{gather*}
200-Y\ge 300-2Y,\\
Y \ge 100.
\end{gather*}
Получаем уравнение КТЛВ: (1.2)
\begin{equation}\label{ktv2}
X=\begin{cases}
200-Y, & 100 \le Y\le 200; \\
300-2Y, & 0 \le Y < 100.
\end{cases}\end{equation}
Выражение (1.1) эквивалентно выражению (1.2), найденному ранее.

Графически ситуация сводится к следующему:

На этом рисунке изображены и подписаны исходная КПВ (не требуется для правильного ответа), КТВ без лоббирования, КТВ с лоббированием. КТЛВ — более толстая линия, состоящая из участков двух КТВ.

Примечание. В обоих вариантах записи уравнения КТЛВ точка $(100, 100)$ может быть отнесена как к верхнему интервалу, так и к нижнему, поскольку КТЛВ является непрерывной функцией. Кроме того, указание нижних и верхних границ ($X\ge 0$, $Y\ge 0$, $X\le 300$, $Y\le 200$) необязательно для корректной записи. Иными словами, следующие варианты, а также аналогичные, также корректны:
\begin{align*}
& Y=\begin{cases}
200-X, & X< 100; \\
150-X/2, & X \ge 100.
\end{cases} &
X=\begin{cases}
200-Y, & Y> 100; \\
300-2Y, & Y \le 100.
\end{cases}
\end{align*}

Пояснение ЦПМК

В авторском решении задачи 1 предполагается, что лоббирование можно использовать не более одного раза, причем только до обмена (или одновременно с ним). Это соответствует условию: в задаче написано, что с помощью лоббирования можно изменить пропорцию обмена, наличие нескольких разных пропорций не предусматривается. Такой подход к построению производственных и потребительских множеств традиционен для школьных олимпиад и для микроэкономики вообще: концепция КПВ предполагает только статическую модель, то есть в ней обычно не предполагается возможности итеративных процедур.

Тем не менее, по мнению членов жюри из некоторых регионов, понимание задачи, в котором допускается использование более сложных механизмов (многократное лоббирование, лоббирование после покупки только части товара и т. п.), также является корректным и не упрощает задачу. В соответствии с решением ЦПМК по экономике, в тех регионах, где условие задачи не пояснялось для всех участников, жюри должно засчитывать как верное решение любой вариант, который прямо не запрещен условием — в случае корректных расчетов и рассуждений.

2. Борьба с пробками

Люди численностью 50 человек живут в пригороде и ездят работать в город М. На работу можно ездить на метро или на автомобиле. Поездка на метро всегда занимает 50 минут, а продолжительность поездки на автомобиле зависит от загруженности дороги и занимает $11+2N$ минут, где $N$ — общее количество людей, которые едут на работу на автомобиле. Решая, как ехать на работу, люди принимают во внимание только время в пути, в равновесии никто из них не может доехать на работу быстрее, выбрав другой вид транспорта.

Мэр города М. озабочен проблемой пробок и хочет их уменьшить. Советники предлагают ему несколько мер, перечисленных ниже. От вас требуется прокомментировать каждую меру с точки зрения ее последствий для пробок: нужно ответить, чему в результате ее введения будет равно общее время, которое жители пригорода проводят в автомобилях в пути на работу (от этого зависят вредные выбросы в атмосферу, необходимость содержать дорожную полицию и т. д.). Каждую меру нужно комментировать в отдельности: например, если вводится мера из пункта в), то все остальные не вводятся.

а) (6 баллов) В этом пункте найдите равновесие для ситуации, описанной в задаче, то есть если никакие меры сокращения пробок не применяются. Ответьте на вопросы, заданные в условии.
б) (6 баллов) Если построить новую развязку, время поездки на работу на машине составит $9+2N$ минут.
в) (6 баллов) Если закупить дополнительные поезда для метро, время поездки на нем сократится до 40 минут.
г) (6 баллов) Ограничение парковки в городе увеличит время в пути каждого автомобилиста на 10 минут — их нужно будет потратить на поиск парковочного места.
д) (6 баллов) Запрет на автомобили с двигателями внутреннего сгорания позволит ездить в город на машине только 10 владельцам электромобилей (остальные 40 человек будут вынуждены ехать на метро).

Решение

а) Чтобы человек, который едет на машине, не захотел сменить вид транспорта, время в пути на машине не должно быть больше, чем время на метро: \[11+2N\le 50.\] С другой стороны, для пассажира метро время в случае перехода на автомобиль (тогда автомобилистов станет $N+1$) также не должно уменьшиться: \[50\le 11+2(N+1).\]

Первое неравенство верно при $N\le 19,5$, второе — при $N \ge 18,5$. Значит, на автомобилях поедут 19 человек. Время в пути на автомобиле составит $11+ 2\cdot 19 = 49$ минут. Всего же люди проведут в автомобилях $49 \cdot 19 = 931$ минуту.

б) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:
\begin{align*}
&\left\{\begin{aligned}
& 9+2N\le 50, \\
& 50\le 9+2(N+1).
\end{aligned}
\right.
&
&\left\{\begin{aligned}
& N\le 20,5, \\
& N\ge 19,5.
\end{aligned}
\right.
\end{align*}

Значит, на автомобилях поедет 20 человек, каждый из них потратит на дорогу $9+2\cdot 20 = 49$ минут (столько же, сколько до постройки развязки), а общее время в пути на автомобилях составит $49 \cdot 20 = 980$ минут — больше, чем до постройки развязки! Дело в том, что увеличение пропускной способности дороги стимулировало больше людей по ней поехать, из-за чего время в пути осталось примерно равно времени в пути на метро (которое не изменилось).

в) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:
\begin{align*}
&\left\{\begin{aligned}
& 11+2N\le 40, \\
& 40\le 11+2(N+1).
\end{aligned}
\right.
&
&\left\{\begin{aligned}
& N\le 14,5, \\
& N\ge 13,5.
\end{aligned}
\right.
\end{align*}

Получается, что количество людей в пробке уменьшилось до 14 человек, путешествие каждого из них занимает $11+2\cdot 14 = 39$ минут, а общее время в пути на автомобилях составит $39 \cdot 14 = 546$ минут. Ускорение метро действительно помогает снизить пробки.

г) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:
\begin{align*}
&\left\{\begin{aligned}
& 11+2N+10\le 50, \\
& 50\le 11+2(N+1).
\end{aligned}
\right.
&
&\left\{\begin{aligned}
& N\le 14,5, \\
& N\ge 13,5.
\end{aligned}
\right.
\end{align*}

Количество автомобилистов совпадает с предыдущим пунктом и равно 14 — по этому показателю усложнение парковки эквивалентно ускорению метро.

Путешествие каждого автомобилиста занимает $11+2\cdot 14 + 10 = 49$ минут, а общее время в пути на автомобилях составит $49 \cdot 14 = 686$ минут. Затруднение парковки помогает снизить пробки — несмотря на то, что автомобилисты вынуждены проводить дополнительное время в машинах, ища парковочные места.

д) Даже если все 10 владельцев электромобилей поедут на них на работу, их время в пути составит $11 + 2\cdot 10 = 31$ минуту — меньше, чем на метро. Значит, все они выберут этот вариант, а остальные 40 человек поедут на метро (у них нет возможности ехать на машине). Общее время в пути на автомобилях составит $31 \cdot 10 = 310$ минут. Запрет многим жителям пригорода передвигаться на автомобилях, конечно, сокращает пробки.

Альтернативное решение.

Ответы пунктов а)-г) можно было получить другим способом.

В при условии, что каждым видом транспорта хотя бы кто-то пользуется, время в пути обоими способами должно быть примерно одинаковым. Если оно будет существенно отличаться, люди перейдут на более быстрый вид. (В пункте д) эта логика не работает, так как выбор между видами транспорта есть не у всех.) Посмотрим, что будет, если приравнять время в пути в каждом из пунктов.

а) $11+2N=50$, $N=19,5$.
б) $9+2N=50$, $N=20,5$.
в) $11+2N=40$, $N=14,5$.
г) $11+2N+10=50$, $N=14,5$.

Ответы получились дробными. Что будет, если мы округлим их в бо'льшую сторону, то есть отправим «колеблющегося» человека на автомобиле? Тогда в каждом из случаев время в пути на автомобиле увеличится, а время в пути на метро останется прежним, то есть типичному автомобилисту станет выгодно пересесть на метро. С другой стороны, если мы округлим $N$ вниз (то есть отправим «колеблющегося» человека на метро), то время на автомобиле станет чуть больше времени на метро, но переключение невыгодно, поскольку развернет неравенство. Это в каждом случае и будет равновесием.

3. Прибыль — это не всё

Часто считается, что фирмы должны не просто максимизировать прибыль, а учитывать интересы общества: ограничивать негативное влияние на окружающую среду, не нарушать этических стандартов при ведении бизнеса, предоставлять рабочие места представителям социально незащищенных слоев населения.

Рассмотрим фирму ABC, которая максимизирует не прибыль, а сумму прибыли и величины, зависящей от уровня безработицы в стране:
\[B=\pi+16(100-u),\]
где $\pi$ — прибыль, а $u$ — уровень безработицы в процентах.

Всего в стране проживают 100 человек, 70 из которых стабильно заняты на других производствах и не собираются устраиваться на фирму ABC. 30 человек являются безработными, и фирма ABC наймет сотрудников именно из их числа. (Больше никакие работодатели не предлагают им работу.)

Спрос на продукцию фирмы ABC задается уравнением $Q=120-P$. Фирма производит товар, используя только труд, при этом $Q=2L$. Если фирма наймет $L$ работников, нужно будет платить каждому из них зарплату $w=4L$.

На сколько процентных пунктов в этой ситуации уровень безработицы будет меньше по сравнению с тем, который был бы при максимизации фирмой ABC прибыли?

Решение

Запишем целевую функцию фирмы с учетом того, что $\pi = TR - TC$, $TR=PQ$, $TC=wL$, $P=120-Q$, $w=4L$, $Q=2L$, $u=(30-L)/100 \cdot 100~\%$:

\[
B=(120-2L)\cdot 2L -4L\cdot L + 16(100-(30-L)).
\]
После упрощения получаем $B=-8 L^2 + 256 L + 1120
$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $L^\star=16$.
Тот же ответ можно получить, взяв производную функции ($B '=-16L+256$) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на − (варианты: первая производная убывает, вторая производная равна $-16$, то есть отрицательна), так что это точка максимума.

4. Географическое разнообразие

В стране А есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания «Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими городами. Компания сама выбирает цены билетов, а также то, в какие города будут ходить автобусы из столицы (между маленькими городами дорог нет), при этом количество городов может быть только целым. Спрос на перевозки в каждый город одинаков и имеет следующий вид: $q_i=400/p_i^2$, где $q_i$ — величина спроса на билеты на автобус в $i$-й город (в штуках), $p_i$ — цена билета в этот город ($i = 1, 2, \dots, N$, где $N$ — общее количество городов, в которые ходят автобусы компании «Солнышко»).

Издержки перевозки одного пассажира в любой город составляют 2 денежных единицы, не считая издержек организации маршрута. Создание всё новых маршрутов — не такая уж и простая задача, требующая составления расписания, организации логистики, закупок, установки турникетов и т. п. Организация маршрута в первый город стоит 1 денежную единицу, во второй — 2 денежные единицы, ... , в $N$-й город — $N$ денежных единиц.

Определите максимальную прибыль фирмы «Солнышко».

Решение

Общую прибыль можно записать так:
\[ \pi =
(p_1 q_1 - 2q_1) + (p_2 q_2 - 2q_2) + \dots + (p_N q_N - 2q_N) - (1 + 2 +\dots + N).
\]
После подстановки обратных функций спроса $p_i=\frac{20}{\sqrt{q_i}}$ и применения формулы суммы арифметической прогрессии получаем:
\[ \pi =
(20 \sqrt{q_1} - 2q_1) + (20 \sqrt{q_2} - 2q_2) + \dots + (20 \sqrt{q_N} - 2q_N) - \frac{N^2+N}{2}.
\]
Выражение в каждой из скобок — парабола относительно $\sqrt{q_i}$ (каждое $\sqrt{q_i}$ влияет на значение только «своей» параболы). Если $\sqrt{q_i}=t$, то выражения в скобках принимают вид $(20t-2t^2)$. Все параболы имеют вершину в точке $t=5,$ то есть $q_i = 25$.

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок до отдельного города:
\[
\pi_i ' = (20 \sqrt{q_i} - 2q_i) '= \frac{10}{\sqrt{q_i}} - 2. \]

Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к $0$ даст максимум выражения под знаком производной: $q_i=25$.

Еще один способ — посчитать прибыль в регионе $i$ как функцию от цены:
\[
\pi_i = p_i \cdot \frac{400}{p_i^2} - 2\cdot \frac{400}{p_i^2}.
\]
Это парабола с ветвями вниз относительно $s=1/p_i$, максимум достигается при $p_i = 4$.

Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):
\[
\frac{p_i-MC}{p_i}= \frac{1}{|\varepsilon|}.
\]
При данных функциях спроса $|\varepsilon|=2$, а $MC=2$ по условию. Отсюда получаем $p_i=4$.

Этот результат никак не зависит от того, каково значение $N$: сколько бы городов ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета равна 4.

Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных $q_i$:
\begin{equation}\label{pin}
\pi = (20\cdot 5 - 2\cdot 25) \cdot N - \frac{N^2+N}{2} = \frac{99N - N^2}{2}.
\end{equation}
Это тоже парабола с ветвями вниз — теперь уже зависящая от переменной $N$. Ее максимум достигается в вершине — точке $N= 49,5$, но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной
\[ \pi =
\frac{99 \cdot 50 - 50^2}{2} = 1225.
\]