10 класс

1. Задача 1 ОЧ-2016 (10 класс)

На рынке совершенной конкуренции в стране Ботанляндия спрос студентов на учебники имеет вид $Q^D = 40 − 0,2p$, где $Q$ – величина спроса в штуках, а $p$ – цена учебника в рублях.

Король страны решил нажиться на бедных школьниках и студентах и ввести налог в виде процента от цены покупателя (акциз).

До введения налога эластичность спроса в точке равновесия равнялась $(−9/11)$, эластичность предложения (функция которого является линейной) до введения налога по абсолютной величине превышала эластичность спроса в $50t$ раз, где $t$ – величина введенного позднее акциза $(0 < t < 1)$

После введения акциза($t$) эластичность предложения стала равна $88/9$, а равновесный объем упал на 4 единицы.

  1. Сколько денег собрал король с помощью налога?
  2. Может ли король изменить каким-либо образом налоговую ставку так, чтобы увеличить сборы?

Эластичностью спроса по цене называется следующая величина: $E_D^P = \frac{\bigtriangleup Q_D}{\bigtriangleup P} \cdot \frac{P}{Q_D}$, аналогично эластичность предложения равна $E_S^P = \frac{\bigtriangleup Q_S}{\bigtriangleup P} \cdot \frac{P}{Q_S}$

Решение

1. Эластичность спроса вычисляется по формуле (допускается также поиск через т.н. геометрический смысл эластичности):

$E = −0,2 \cdot \dfrac{p}{40−0,2p} = −\dfrac{9}{11}$

Откуда: $p = 90$, $Q = 22$
Тогда: $Q' = 18, p' = 110$

Функция предложения линейна. Обозначим её как $Q^S = a + b \cdot p$

В исходной точке эластичность: $E = b \cdot \frac{p}{a+bp} = b \cdot \frac{90}{22} = \frac{9}{11} \cdot 50t$

В полученной точке: $E = b \cdot \frac{p}{a+bp} = b \cdot \frac{110(1−t)}{18} = \frac{88}{9}$ (подставляем цену для продавцов)

Откуда: $b = 2$, $t = 0,2$.

Тогда налогов король собрал следующую сумму: $T = t \cdot P \cdot Q = 0,2 \cdot 110 \cdot 18 = 396$

2. Может. В качестве обоснования можно привести любой подходящий пример с обоснованием.

Функция предложения (находится из вышеуказанных уравнений):

$Q^S = 2P − 158$

Функция спроса:

$Q^D = 40 − 0,2p$

Пусть он, например, введёт потоварный налог в размере $60,5$ единиц $\Bigl( \Bigr.$или акцизный в размере $\frac{60,5}{145}\Bigl. \Bigr)$ – соответствует наибольшему налоговому сбору. Тогда $Q^* = 11$.

Налоговые сборы равны $665,5$.

В качестве ответа годится любой иной обоснованный пример, показывающий, что ставка не является оптимальной.

2. Задача 2 ОЧ-2016 (10 класс)

В некотором государстве есть три города: Альфа ($\alpha$), Бета ($\beta$), Дзета ($\zeta$). В каждом из городов есть аэропорт. Города Альфа ($\alpha$) и Бета ($\beta$), а также Бета ($\beta$) и Дзета ($\zeta$) имеют прямое регулярное авиасообщение. Прямого авиасообщения между городами между Альфа ($\alpha$) иДзета ($\zeta$) нет.

На рынке присутствует единственная авиакомпания OpenChampionshipAirways. На рейсах между Альфа ($\alpha$) и Бета ($\beta$) используется самолет А320 с 158 местами.

На рейсах между городами Бета ($\beta$) и Дзета ($\zeta$) используется самолет B747 вместимостью 505 пассажиров.

Издержки авиакомпании устроены так: на каждый рейс она тратит фиксированную сумму денег. За 1 совершенный рейс по указанному маршруту на A320 её издержки составляют 5000 дублонов. Аналогичные издержки для B747 составляют 15000 дублонов.

Авиакомпания продает билеты из Альфа ($\alpha$) в Бета ($\beta$) и из Бета ($\beta$) в Дзета ($\zeta$).

Устанавливая цены на авиабилеты, менеджмент авиакомпании располагал следующей информацией: ($P$ – установленная цена на перелет, $Q^d$ – количество проданных билетов).

  • Спрос на перелет из Альфа ($\alpha$) в Бета ($\beta$) описывается уравнением $Q^d = 200 − P$
  • Спрос на перелет из Бета ($\beta$) в Дзета ($\zeta$) описывается уравнением $Q^d = 800 − 2P$

Когда число проданных билетов достигает числа мест в самолете, продажа заканчивается.

1. Какие цены установил менеджмент, исходя из располагаемой информации?

2. Некий аналитик заметил, что из-за того, что между Альфа ($\alpha$) и Дзета ($\zeta$) нет прямых рейсов, пассажиры готовы летать транзитом через Бета ($\beta$) и покупать два билета.
Спрос на такие билеты описывается уравнением $Q^d = 100 − \frac{1}{3}P$, где $P$ – цена в дублонах за весь маршрут, и не был учтён в оценках менеджмента (в т.ч. не входил в функции спроса из условия).

Какую прибыль на самом деле получила авиакомпания, если менеджмент установил цены, которые вы нашли в пункте 1?

3. Узнав о спросе на транзитные билеты из Альфа($\alpha$) в Дзета($\zeta$) менеджмент решил сделать специальную цену для такой категории пассажиров. Какие будут установлены цены на все три направления? (Предполагается, что по билету проданному для перелета из Альфа($\alpha$) в Дзета($\zeta$) невозможно пролететь только часть пути). Прокомментируйте полученный результат. Чем можно объяснить полученные цены на билеты?

4. Менеджмент взял на стажировку студента. Студент должен был провести проверку и установить, какие расходы есть у авиакомпании. Выяснилось, что основные расходы делятся на следующие сегменты:

  • Аэронавигация, аэропортовые сборы, наземное обслуживание
  • Расходы на оплату труда экипажа
  • Авиакеросин

Используя общие знания и жизненный опыт, помогите стажёру расположить затраты авиакомпании в порядке убывания (начиная с наиболее значимых и заканчивая наименьшими) и поясните ваши рассуждения.

Решение

1. У нас фиксированные издержки. Поэтому цены выбираем, исходя из идеи максимизации выручки на каждом участке.

Тогда для рейса из Альфа ($\alpha$) в Бета ($\beta$):
$TR = (200 − P)P = 200P − P^2 \Rightarrow P^* = 100, Q^* = 100 < 158$ – все уместятся в самолет.

Аналогично для рейса из Бета ($\beta$) в Дзета ($\zeta$)
$TR = (800 − 2P)P = 800P − 2P^2 \Rightarrow P^* = 200, Q^* = 400 < 505$ – все влезут в самолет.

$P^* = 100$, $P^* = 200$

2. Получается, что для новой группы потребителей билет стоил 300 дублонов. За такую цену они покупают 0 билетов, поэтому Авиакомпания получила прибыль только от продажи билетов, найденных в п.1

$PR = (100 \cdot 100 - 5000) + (200 \cdot 400 - 15000) = 5000 + 65000 = 70000$

3. Аналогично пунктам выше, мы максимизруем выручку. Поэтому по возможности мы будем устанавливать цену, максимизируя выручку для этой группы
пассажиров.

$TR_{доп.} = (100 − \frac{1}{3}P) \cdot P = 100P − \frac{1}{3}P^2 \Rightarrow P^* = 150 \Rightarrow Q^* = 50$

50 пассажиров запросто поместятся в самолеты обоих рейсов, поэтому мы установим такую цену. Наша прибыль увеличится на величину этой выручки. Таким образом:

$PR = 70000 + 50 \cdot 150 = 77500$

Цена на более длинный перелет с использованием того же рейса выходит дешевле, чем просто отдельный рейс. Объясняется ценовой дискриминацией: менее платежноспособным пассажирам из Альфа мы даём возможность путешествовать дешевле.

4. Порядок затрат следующий:

1. Авиакеросин
2. Аэропортовые сборы, наземное обслуживание, аэронавигация
3. Расходы на оплату труда экипажа

3. Задача 3 ОЧ-2016 (10 класс)

В стране Омега ($\Omega$) продаются подержанные автомобили. Они бывают двух типов: в хорошем состоянии и в плохом состоянии.

Машины в хорошем состоянии, прослужат долго. Каждый продавец готов продать машину в хорошем состоянии не менее чем за 10 тыс. койнов. Покупатели готовы заплатить за хорошую машину не более 12 тыс. койнов.

Также на рынке продаются автомобили в плохом состоянии, которые в скором времени потребуют дорогостоящего ремонта. Каждый продавец готов продать автомобиль в плохом состоянии за 2 тыс. койнов, а покупатель готов купить такой автомобиль за 4 тыс. койнов.

Известно также, что в настоящее время половина продаваемых на рынке автомобилей имеют хорошее качество, а другая половина – плохое.

0. Каким цитрусовым в США называют подержанные автомобили плохого качества?
1. Пусть для начала и продавцы, и покупатели, знают о том, какой продаваемый автомобиль какого качества. По какой цене будут продаваться автомобили каждого вида? Если существует несколько возможных уровней цен, укажите их все.
2. Теперь пусть ни продавцы, ни покупатели не знают ничего о качестве автомобиля. По какой цене будут продаваться автомобили? Если существует несколько возможных уровней цен, укажите их все.
3. Наконец, рассмотрим ситуацию, в которой продавец знает, в каком состоянии его автомобиль. К примеру, он знает, что 10 лет назад машина побывала на дне реки. Покупатель же не может
определить, какого качества автомобиль. Какие автомобили будут продаваться и по какой цене? Если существует несколько возможных уровней цен, укажите их все.

Примечание: покупатели и продавцы знают всегда о том, за сколько кто готов продать или купить автомобиль каждого состояния (и доли автомобилей в хорошем и плохом состоянии на рынке). Если же есть неопределенность, какого качества автомобиль, то его оценивают с помощью математического ожидания. Математическим ожиданием мы называем следующую величину: $M(H) = p_1 \cdot S_1 + p_2 \cdot S_2$, где $S_1, S_2$ – значения субъективных оценок автомобилей, а $p_1, p_2$ – вероятность попадания того или иного автомобиля. (Подсказка: в данном случае $p_1 = p_2 = 0,5$)

Решение

0. Лимон, по статье Рынок «лимонов»: неопределенность качества и рыночный механизм (George A. Akerlof. The Market for «Lemons»: Quality Uncertainty and the Market Mechanism // The Quarterly Journal of Economics, v.84, August 1970, p. 488—500

1. Хорошие: $p \in [10; 12]$, плохие: $p \in [2; 4]$

2. Если никто не знает о качестве автомобиля, то покупатели готовы купить автомобиль по цене $\frac{4+12}{2} = 8$, а продавцы готовы продать по цене $\frac{2+10}{2} = 6$. Таким образом цена будет в промежутке $[6; 8]$

3. Если на рынке продаются только плохие автомобили, то установится цена $p \in [2; 4]$

Если на рынке установится цена $p \ge 10$, то все автомобили будут продаваться по этой цене, потому что покупатели не отличают плохой автомобиль от хорошего.

Однако покупатели, не зная о качестве, будут готовы заплатить максимум 8 (см предыдущий пункт).

Однако при цене $p \le 8$, хорошие автомобили продаваться не будут, потому что производители готовы продавать их минимум по 10 тыс. койнов.

Хорошие автомобили продаваться не будут, таким образом, на рынке будут продаваться только плохие автомобили, поэтому цена будет лежать в промежутке $p \in [2; 4]$

4. Задача 4 ОЧ-2016 (10 класс)

Крестьянин Иван владеет двумя полями площадью по 20 гектар. На одном гектаре первого поля можно вырастить 12 тонн пшена или 16 тонн ржи. На гектаре другого поля можно вырастить 8 тонн пшена или 4 тонны ржи. Известно, что Иван выращивает $x_0$ тонн ржи и использует свои земельные ресурсы полностью и эффективно.

Старший брат Ивана владеет одним полем площадью в 40 гектар, на гектаре которого можно выращивать $a$ тонн пшена или $a$ тонн ржи, и предлагает Ивану обменяться злаковыми культурами.

Известно, что Иван согласится на обмен, если он сможет производить больше (по сравнению с ситуацией до обмена) хотя бы одной из культур и во всяком случае не меньше другой. При каких значениях $a$ и $x_0$ Иван согласится на обмен?

Решение

Нетрудно заметить, что при $a \le 10$ Иван не согласится на обмен. В этом случае производственные возможности универсального поля полностью содержатся в производственных возможностях полей Ивана.

Также ясно, что при $a > 12$ Иван всегда будет соглашаться на сделку. Решается указанием на то, что в таком случае производственные возможности Ивана полностью содержатся в производственных возможностях его брата.

Найдем прямые, которые задают КПВ Ивана.
\begin{equation*}
Y =
\begin{cases}
400 − 0.75X, & X < 320 \\
800 − 2X, & X \ge 320
\end{cases}
\end{equation*}
Куда включать точку излома не имеет значения.

Найдем прямую, характеризующую КПВ универсального поля:

$Y = 40a − X$

Найдем пересечение кривых производственных возможностей:
\begin{equation*}
\begin{cases}
160a − 1600 \\
800 − 40a
\end{cases}
\end{equation*}

Иван будет соглашаться на обмен в тех точках, где КПВ универсального поля лежит выше КПВ Ивана, то есть:

При $a \le 10$ на обмен не соглашаться
При $a \in (10, 12]$ не соглашаться при $x_0 \in (160a − 1600, 800 − 40a)$
При $a > 12$ соглашаться

11 класс

1. Задача 1 ОЧ-2016 (11 класс)

Крестьянин Иван владеет двумя полями площадью по 20 гектар. На одном гектаре первого поля можно вырастить 12 тонн пшена или 16 тонн ржи. На гектаре другого поля можно вырастить 8 тонн пшена или 4 тонны ржи. Известно, что Иван выращивает $x_0$ тонн ржи и использует свои земельные ресурсы полностью и эффективно.

Старший брат Ивана владеет одним полем площадью в 40 гектар, на гектаре которого можно выращивать $a$ тонн пшена или $a$ тонн ржи, и предлагает Ивану обменяться злаковыми культурами.

Известно, что Иван согласится на обмен, если он сможет производить больше (по сравнению с ситуацией до обмена) хотя бы одной из культур и во всяком случае не меньше другой. При каких значениях $a$ и $x_0$ Иван согласится на обмен?

Решение

Нетрудно заметить, что при $a \le 10$ Иван не согласится на обмен. В этом случае производственные возможности универсального поля полностью содержатся в производственных возможностях полей Ивана.

Также ясно, что при $a > 12$ Иван всегда будет соглашаться на сделку. Решается указанием на то, что в таком случае производственные возможности Ивана полностью содержатся в производственных возможностях его брата.

Найдем прямые, которые задают КПВ Ивана.
\begin{equation*}
Y =
\begin{cases}
400 − 0.75X, & X < 320 \\
800 − 2X, & X \ge 320
\end{cases}
\end{equation*}
Куда включать точку излома не имеет значения.

Найдем прямую, характеризующую КПВ универсального поля:

$Y = 40a − X$

Найдем пересечение кривых производственных возможностей:
\begin{equation*}
\begin{cases}
160a − 1600 \\
800 − 40a
\end{cases}
\end{equation*}

Иван будет соглашаться на обмен в тех точках, где КПВ универсального поля лежит выше КПВ Ивана, то есть:

При $a \le 10$ на обмен не соглашаться
При $a \in (10, 12]$ не соглашаться при $x_0 \in (160a − 1600, 800 − 40a)$
При $a > 12$ соглашаться

2. Задача 2 ОЧ-2016 (11 класс)

В стране R. есть налоговая инспекция, а есть предприниматель, который получил прибыль в размере 25 тугриков. Согласно законодательству, он должен уплатить налог в размере 20 процентов от прибыли.

Предприниматель хочет достичь как можно большего уровня счастья. Его функция счастья зависит от того, сколько денег он получил, и выражается следующей функцией:

$H = ln(1 + Y_D),$

Где $H$ – размер счастья, а $Y_D$ – его доход в тугриках после уплаты налогов и штрафов.

Предприниматель не хочет платить столь большой налог. Это несправедливо, считает он. Он хочет поступить «умнее»: скрыть от налоговых органов часть своей прибыли. Т.е. задекларировать меньший доход и с него заплатить положенные 20 процентов налога.

Налоговая инспекция может проверить его деятельность, и тогда точно будет выявлен обман. Согласно законодательству, предприниматель будет должен не только полностью уплатить налог, но и за каждый неуплаченный тугрик налога выплатить штраф 3 тугрика.

1. Налоговая инспекция может проверить предпринимателя с вероятностью $p = 0,2$. $p \in [0; 1]$. Предприниматель максимизирует математическое ожидание своего счастья. Помогите предпринимателю выбрать оптимальное значение декларируемой прибыли.
Примечание: математическим ожиданием случайной величины мы называем сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: $M(H) = ∑p_iH_i$, где $H_i$ - значения счастья, а $p_i$ – вероятность получения данного значения счастья.

Так получилось, что налоговая инспекция провела проверку нескольких предпринимателей, и в СМИ попали цифры неуплаченных налогов. «Гнать их в шею – этих предпринимателей надо. Отобрать надо у них все предприятия, фирмы и заводы и сделать общими. Надо, чтобы прибыль доставалась народу, а не буржуям. Если все фирмы будут государственными, всем станет лучше», - рассуждает дворник Василий.

2. Как называется передача из частной собственности в собственность государства крупных предприятий? Согласны ли вы с позицией Василия, что всем действительно будет лучше от таких мероприятий?

Решение

1. Пусть $Y$ – доход, а $S$ – величина, которую предприниматель скрыл. Тогда если налоговая его не проверит, то его счастье будет равно:

$H_1 = ln(1 + 0,8(Y − S) + S) = ln(1 + 0,8Y + 0,2S)$

Если же он будет проверен, то его счастье будет таким:

$H_2 = ln(1 + 0,8(Y − S) + S − 0,2S − 0,2 \cdot 3S) = ln(1 + 0,8Y − 0,6S)$

Предприниматель максимизирует ожидаемое счастье.

Тогда:

$M(H) = 0,8 \cdot H_1 + 0,2 \cdot H_2 = 0,8 \cdot ln(1 + 0,8Y + 0,2S) + 0,2 \cdot ln(1 + 0,8Y − 0,6S)$

Возьмем производную по $S$:
$$\begin{array}{c}M′(H) = \dfrac{0,8 \cdot 0,2}{1 + 0,8Y + 0,2S} + \dfrac{0,2 \cdot (−0,6)}{1 + 0,8Y − 0,6S} = 0\\
\dfrac{4}{1 + 0,8Y + 0,2S} = \dfrac{3}{1 + 0,8Y − 0,6S}\\
4 + 3,2Y − 2,4S = 3 + 2,4Y = 0,6S\\
3S = 1 + 0,8Y\\
S =\dfrac{1 + 0,8Y}{3}\end{array}$$
Обоснование максимума:
Если мы возьмем функцию $Z = e^{M(H)}$, то функция $Z$ будет парабола с ветвями вниз и максимумом в вершине. А максимуму функции $M(H)$ соответствует максимум функции $e^{M(H)}$

Подставляем сюда значение дохода:

$S^* = 7$

Таким образом, оптимально скрыть 7 единиц; значит, задекларирует он (25 − 7) = 18 тугриков.

2. Национализация.

Не следует с ним соглашаться.

Предприниматели создают новые фирмы, организуют рабочие места. Когда компания находится в частном ведении, то она эффективно использует ресурсы. Если произвести национализацию, то компании теряют стимулы эффективно использовать свои ресурсы, могут стать убыточными и закрыться. Поэтому могут возникнуть проблемы – увеличение безработицы, уменьшение зарплат.

3. Задача 3 ОЧ-2016 (11 класс)

В некотором государстве было решено построить огромный горнолыжный курорт. По счастливой случайности выбранное место для горнолыжного курорта идеально: красивые горы, чистый воздух, рядом есть международный аэропорт.

К сожалению, путь до аэропорта есть только объездной по старой дороге. Строительство горнолыжного комплекса идет полным ходом. Теперь предстоит построить качественную дорогу до аэропорта (чтобы привлечь туристов со всего мира). Но есть проблема. Строительство дороги очень дорого. И хочется построить ее подешевле. Местность до аэропорта состоит из трех частей: горной, равнинной и реки. Стоимость моста через реку составляет $ (100 − 10\sqrt{82})$ млн. Стоимость 1 км. равнинной дороги составляет \$1 млн., а стоимость 1 км горной дороги составляет \$9 млн. Все расстояния указаны на схеме:

  1. Какие факторы влияют на выбор места для строительства горнолыжного курорта? Укажите не менее 5 факторов.
  2. Считая, что дорогу можно прокладывать в любом участке горной или равнинной местности, проложите оптимальный маршрут (с точки зрения минимизации затрат на строительство) и найдите стоимость сооружения магистрали. Мост строится перпендикулярно берегам реки. Примечание: строгое обоснование минимума или максимума функций, которые вы будете получать, в задаче не требуется. В ответе нарисуйте схему и укажите точное расположение строительства моста.
  3. Выяснилось, что сейчас у компании возникли трудности, и у неё совсем нет денег для строительства дороги. Требуется построить дорогу сейчас, а платить за неё потом. Сегодня банк готов предоставить фирме необходимые для строительства дороги средства. Фирма должна будет выплатить предоставленную сумму по следующей схеме: каждый год, начиная со следующего, фирма уплачивает банку фиксированную сумму на протяжении неограниченного периода времени. Учитывая, что процентная ставка равна 10% годовых (и ожидается, что она останется такой всегда), сколько фирме придется платить ежегодно (платить она будет, начиная со следующего года)?
Решение

1. Возможные варианты ответа: наличие гор, транспортная инфраструктура (аэропорт/дороги), отсутствие криминогенной обстановки, удобная транспортная доступность (не Камчатка), погодные условия: мягкий климат, наличие снега, красивая природа, чиновники, которые не будут препятствовать… и т.д.

2. Чтобы дорога была дешевле, её участки должны состоять из прямых.
Далее обозначим за t определенную величину (см. схему).

Тогда стоимость дороги ($S$) составляет:
$$S = 9 \cdot \sqrt{9^2 + t^2} + (100 − 10\sqrt{82}) + 1 \cdot \sqrt{1^2 + (10 − t)^2}$$
Будем минимизировать это выражение. Возьмём производную и приравняем к $0$:
$$\begin{array}{c}S' = \dfrac{9 \cdot 2t}{2\sqrt{9^2 + t^2}} + \dfrac{2t − 20}{2\sqrt{1^2 + (10 − t)^2}}= 0 \\
\dfrac{9t}{\sqrt{9^2 + t^2}} = \dfrac{10 − t}{\sqrt{1^2 + (10 − t)^2}} \\
\dfrac{81t^2}{9^2 + t^2} = \dfrac{100 − 20t + t^2}{t^2 − 20t + 101} \\
81t^4 − 1620t^3 + 8181t^2 = 8100 − 1620t + 81t^2 + 100t^2 − 20t^3 + t^4 \\
80t^4 − 1600t^3 + 8000t^2 + 1620t − 8100 = 0 \\
8t^4 − 160t^3 + 800t^2 + 162t − 810 = 0 \\
4t^4 − 80t^3 + 400t^2 + 81t − 405 = 0 \end{array}$$
Далее угадывается корень $t = 1.$
$$(t − 1)(4t^3 − 76t^2 + 324t + 405)$$
Посчитаем значения функций на краях. Там явно значение функции больше

Обоснования достаточности не требуется в решении! (что стимулирует к бездумному приравниванию производной к нулю) Но в решении мы её обоснуем. Мы можем исследовать функцию, получившуюся справа.
$f(0) = 405$. Рассмотрим как она себя ведёт на положительной оси.
$$\begin{array}{c}f′(x) = 12x^2 − 152x + 324 = 0\\
x′ = \frac{152 + \sqrt{7552}}{24}\\
f(x′) > 0\end{array}$$
Это означает, что производная всюду положительна при $t > 1$, функция возрастает, поэтому на положительной оси больше экстремумов нет.

Обоснуем, что найденное $t = 1$ действительно является минимумом. Возьмем краевые значения $t$ и увидим, что в них значения больше, чем получившаяся стоимость.

Далее можно перемножать и пытаться искать корни, но корень легко угадывается; $t = 1$. Это минимум. (Строгое обоснование не требуется).

Значит, стоимость строительства дороги:
$S = 9 \cdot \sqrt{82} + (100 − 10\sqrt{82}) + \sqrt{82} = 100$ млн. $

3. Требуется, чтобы приведённая стоимость была равна 100. Тогда $x$ – ежегодный платёж.
$100 = \frac{x}{1+0,1} + \frac{x}{(1+0,1)^2} + \cdots = \frac{x}{1,1} \cdot \frac{1}{1−\frac{1}{1,1}} = \frac{x}{1,1} \cdot \frac{11}{1} = 10x \Rightarrow$
Платить придется ежегодно по $\frac{100}{10} = 10$ млн. \$

Если в предыдущем пункте получился ответ $Q$, то ответ на этот пункт $\dfrac{Q}{10}$

4. Задача 4 ОЧ-2016 (11 класс)

В стране А продается N товаров. Спрос на товар $i$ описывается функцией $P_i=a_i-b_i\cdot Q_i$, где $P_i$ – цена товара, $Q_i$ – кол-во проданных единиц, $a_i, b_i$ – константы, $i=1,\ldots ,N.$ Производство каждого товара $i$ осуществляет одна единственная фирма-монополист. Функция издержек производства $TC_i (Q_i )=c_i\cdot Q_i.$ Таким образом, товары различаются между собой тремя параметрами $\left(a_i, b_i, c_i\right)$. $\left(a_i\geq c_i\right)$

1. Найдите общую выручку монополиста как функцию от параметров $\left(a_i, b_i, с_i\right).$ Предположим, наблюдатель не знает параметров $\left(a_i, b_i, с_i\right)$ на каждом рынке (в отличие от фирм), а знает лишь, что они линейные. Что, тем не менее, он может предположить относительно спроса и издержек фирм с большой выручкой по сравнению с фирмами с маленькой выручкой?

2. Найдите эластичность цены монополиста по предельным издержкам производства. Какие фирмы, большие или маленькие, сильнее (в процентном измерении) меняют цены в ответ на шоки издержек?
Фирмы называем большими ли маленькими в зависимости от значения параметра а.

3. Предположим, что некоторые товары, продаваемые в стране А, производятся и импортируются из страны В. Из-за падения ВВП в стране В местное правительство решает девальвировать национальную валюту с целью стимулирования экспорта в страну А. Оцените эффективность данной экономической политики, если известно, что экспорт осуществляют только большие фирмы, а рынок в стране B устроен схожим образом с рынком в стране А.

4. Опрос производителей показал, что большинство фирм-экспортеров в стране В одновременно являются крупными импортерами: значительная часть их издержек производства приходится на покупку сырья в стране А. Как этот факт влияет на эффективность девальвации в стимулировании экспорта страны В? Каковы потенциальные издержки девальвации для страны В в этом случае?

Решение

1.
$MR_i=MC_i$ (все функции хорошие, то есть экстремумы нужного типа достигаются в точках, полученных из необходимых условий).

Поэтому $p_i=\dfrac{a_i+c_i}{2}, Q_i=\dfrac{a_i-c_i}{2b_i}, TR_i=\dfrac{a_i^2-c_i^2}{4b_i}.$

Отсюда следует, что выручка фирмы возрастает по $a_i$ и убывает по $c_i$ и $b_i$. Таким образом, большие фирмы продают более востребованые/качественные товары и/или продают их дешевле, чем маленькие фирмы.

2.
Эластичность:

$E=\dfrac{\partial P_i}{\partial c_i}\cdot\dfrac{c_i}{P_i}=\dfrac{c_i}{2P_i}=\dfrac{c_i}{a_i+c_i}$

Эластичность возрастает по $c_i$ и убывает по $a_i$. Поэтому, как следует из п.1, большие фирмы отличаются в среднем низкими издержками и высокими спросом, сильнее в ответ на шоки издержек менять цены будут маленькие фирмы.

3.
Девальвация национальной валюты в стране В приведет к падению издержек производства экспортеров, выраженных в валюте страны А. В результате цена на экспортируемые товары снизится, и объём продаж в стране А возрастет.

Однако поскольку экспортом занимаются большие фирмы, у которых эластичность цены по издержкам низкая, эффект девальвации на экспорт может оказаться незначительным.

4.
Если часть издержек производства импортируемых в страну А товаров приходится на покупку товаров, произведенных в стране А, то чувствительность издержек, выраженных в валюте страны А, к изменениям курса снижается. Действительно, в предельном случае, когда все издержки приходятся на товары страны А, импортируемый товар фактически становится домашним. В результате, эффект девальвации на экспортные цены и объем экспорта страны В будет еще ниже, чем в пункте 3.

При этом девальвация означает рост издержек производства, выраженных в валюте стран В, а значит, и рост цен (инфляцию) в стране В.

8 класс

1. Задача 1 ОЧ-2016 (8 класс): Взвешенное решение

У школьника Васи есть 9 внешне одинаковых монет, одна из которых фальшивая (она весит чуть меньше остальных). Мальчик очень любит конфеты и тратит все деньги только на них, его счастье прямо пропорционально числу купленных конфет. Однако он знает, что если он попробует расплатиться фальшивой монетой, то в его городе больше никогда никто не продаст ему конфеты, поэтому ему очень хочется узнать, какая из монет фальшивая.

а) Помочь ему в этом может индивидуальный предприниматель Жора, у которого имеются два экземпляра внешне неразличимых чашечных весов, из которых одни неисправны (при любом взвешивании, в котором на чашах поровну монет, показывают равенство). Какие из весов неисправны, Жора не рассказывает. Вася может сделать сколько захочет взвешиваний, однако, каждое взвешивание у Жоры стоит одну настоящую монету (плата взимается после окончания всех взвешиваний, Вася не может взвешивать «в кредит»). Какое наибольшее количество конфет сможет гарантированно купить Вася, если цена одного килограмма конфет – одна монета?

б) Недалеко от Жоры работает его конкурент, Константин, у которого есть одни исправно работающие чашечные весы. Какую наибольшую цену одного взвешивания может поставить Константин, чтобы Васе было выгоднее идти к нему, если при прочих равных Вася предпочтет иметь дело с честным Константином, а монеты можно разменивать на меньшие по ценности. (При выборе Вася руководствуется тем количеством взвешиваний, которое позволит гарантированно выявить фальшивку, потому что он пессимист).

Решение

а) Пронумеруем монеты от 1 до 9. Для первого взвешивания положим на одну чашу монеты под номерами 1, 2, 3, 4 и на другую – с номерами 5, 6, 7, 8. Если монеты на одной чаше оказались легче другой, то данные весы исправны, фальшивая монета в этой четверке, и за два взвешивания на этих весах мы найдем фальшивку.

Если чаши при первом взвешивании остались в равновесии, то вторым взвешиванием кладем на чаши вторых весов монеты с номерами 1, 2, 3 и 5, 6, 7. Если в этот раз чаши оказались на разном уровне, то мы нашли хорошие весы и три монеты, среди которых фальшивая, за последнее взвешивание на них найдем фальшивую монету.

Если и во второй раз чаши находятся в равновесии, то возможна одна из двух ситуаций: первые весы неисправны, а фальшивая монета – одна из 4, 8, 9; вторые весы неисправны и 9 – фальшивка. Таким образом, если третьим взвешиванием положить на вторые весы монеты 4 и 8, то, в зависимости от исхода, достоверно определим фальшивую монету: если чаши в равновесии – фальшивая монета с номером 9, если одна перевешивает, то та, чаша с которой легче.

Докажем, что за два взвешивания точно определить нельзя, будем действовать от противного и рассмотрим варианты первого взвешивания:

  1. На чашах – по 4 монеты, на весах – неравновесие, тогда за оставшееся одно взвешивание не получится выявить фальшивую монету из 4 подозрительных.
  2. Если на чашах было меньше, чем по 4 монеты, но равновесие при первом взвешивании, то отложено больше одной монеты, и если проведем второе взвешивание на вторых весах (это необходимое условие для проверки весов), а они окажутся неисправными, то мы не сможем понять, какая из отложенных монет фальшивая.

Таким образом, Вася не сможет сделать меньше трех взвешиваний, то есть отдаст Жоре не меньше трех монет. Фальшивую монету Жора не возьмет, а значит Вася сможет купить не больше 5 кг конфет.

Ответ: 5 кг.
Примечание: допускается использование других путей решения или оформление с помощью графа последовательных событий.

б) Из 9 монет на исправных весах определить фальшивую монету можно за 2 взвешивания: кладем на обе чаши по три монеты; если одна из чаш перевешивает, то фальшивая монета на чаше, оказавшейся легче; если чаши оказались в равновесии, то фальшивая – одна из трех оставшихся монет. Таким образом мы выбрали три монеты, среди которых есть фальшивая. Вторым взвешиванием кладем по одной монете на чаши из выбранной тройки, определяем, какая из них фальшивая аналогично алгоритму первого взвешивания.

За одно взвешивание определить фальшивую монету нельзя, так как, сколько бы монет мы ни положили на чаши в первом взвешивании, после него может остаться несколько монет, среди которых будет фальшивка (можно разобрать каждый случай: по 1, по 2, по 3, по 4 на каждой чаше в первое взвешивание). Жоре Вася отдаст 3 монеты, значит, чтобы мальчику выгодно было идти к Константину, цена одного взвешивания не должна превышать 1,5 монеты.

Ответ: 1,5 монеты.

2. Задача 2 ОЧ-2016 (8 класс)

У выигравшего в лотерею 100 000 рублей учителя Николая Петровича есть два варианта распоряжения новоприобретенными деньгами – он может либо вложить их в дело своей жены, Натальи Сергеевны, чтобы расширить производство её компании по изготовлению шляпок, либо положить деньги в Банк «Выгодный» в качестве вклада (комбинировать два этих варианта нельзя).

Банк «Выгодный» предлагает Николаю Петровичу очень выгодную процентную ставку – 50% годовых. (Процент начисляется в конце года на сумму, лежащую в банке на момент начисления, то есть с учётом предыдущих начислений). Наталья Сергеевна уверена, что, если Николай Петрович инвестирует деньги в её компанию, уже через 3 года она сможет вернуть ему эти деньги в тройном размере (за вычетом 9-процентного налога на прибыль с окончательной суммы).

Пытаясь решить, как лучше поступить, Николай Петрович внимательно вчитывается в договор на вклад с Банком «Выгодный» и видит пункт мелким шрифтом, говорящий о том, что, начиная со второго года, Банк «Выгодный» будет уменьшать процентную ставку на фиксированное (Х) количество процентных пунктов. Найдите максимальный X, при котором Николаю Петровичу будет выгодно отнести деньги в Банк, тем самым расстроив свою жену.

Решение

1) Вычислим, сколько денег Н. П. получит, если инвестирует выигрыш в компанию жены. Инвестиции вернут в тройном размере, за вычетом 9 процентного налога на прибыль с окончательной суммы.
$100000 \times3 = 300000$ р – прибыль до налога.
$300000 \times (1,00 – 0,09) = 273000$ р – столько Н. П. получит денег, если отдаст их жене.

2) Если Н. П. отнесет деньги в Банк «Выгодный», то:

- к концу первого года он будет иметь $100000 \times (1 + 0,5) = 150000$ р.
- к концу второго года (когда Банк уменьшит ставку на X %) $150000 + 150000 \times (0,5 – X)$ р
- к концу третьего года (ставка уменьшится еще на X %) на счету будет:

$150000 + 150000 \times (0,5 – X) + \left[150.000 + 150000 \times (0,5 – X)\right]\times(0,5 – 2X)$ р

3) Теперь составим уравнение. Необходимо найти максимальный X, при котором будет выгодно отнести деньги в Банк.
То есть:
$$150000 + 150000 \times (0,5 – X) + \left[150000 + 150000 \times (0,5 – X)\right]\times(0,5 – 2X) \geq273000$$
Для удобства (и так как нам надо найти максимальный X) будем рассматривать равенство данного выражения.
$$\begin{array}{l}150000 + 150000 \times (0,5 – X) +\left [150000 + 150000 \times (0,5 – X)\right]\times(0,5 – 2X) = 273000\\
150 + 150 \times (0,5 – X) + (150 + 75 – 150X)\times(0,5 – 2X) = 273 \\
150 + 75 – 150X + (225 – 150X)\times(0,5-2X) = 273 \\
225 – 150X + 112,5 – 450X – 75X +300X^2 – 273 = 0 \\
300X^2 - 675X + 64,5 = 0 \\
X^2 – 2,25X +0,215 = 0 \\
(X – 0,1)\times (X – 2,15) = 0 \text{ (здесь можно воспользоваться формулой дискриминанта)}\\
X=2,15 \text{ – корень не подходит} \\
X=0,1 \text{ – ответ} \end{array}$$

3. Задача 3 ОЧ-2016 (8 класс)

Предположим, что вы ежедневно совершаете поездки из дома на работу и обратно на легковом автомобиле по новой платной трассе, соединяющей Зеленоград и Москву. Базовый тариф за проезд по маршруту Зеленоград – Москва в утренний час пик (6:00 – 10:00) составляет 400 рублей. Базовый тариф за проезд по маршруту Москва – Зеленоград в вечерний час пик (16:00 – 22:00) составляет 350 рублей. (Оба тарифа указаны с учётом затрат на бензин.) Альтернатива «ехать по бесплатной дороге» вам глубоко противна, так как Ленинградское шоссе является чрезвычайно загруженным. Однако существует ещё альтернатива пользования электричкой.

Вы рассматриваете период из 10 недель по 5 рабочих дней в каждой, то есть 50 поездок туда и 50 поездок обратно. Стоимость пользования электричкой за это время составит 21300 рублей.

Для пользования платной дорогой вам предлагают следующую скидочную программу, стоимость которой оплачивается единовременно до начала использования:

Первые 20 поездок Следующие 10 поездок Следующие 14 поездок Следующие 6 поездок
Скидка x% Скидка (x+30)% Скидка (x+40)% Скидка (x+50)%

Какой должна быть величина скидки на первые 20 поездок, чтобы вам было всё равно, пользоваться ли платной дорогой со скидочной программой или совершать поездки на электричке?

Решение

Составим таблицу платы за проезд по платной дороге:

Без использования скидочной программы С использованием скидочной программы
Первые 20 поездок $(400+350)\cdot20=15000$ $15000\cdot\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=15000-150x$
Следующие 10 поездок $(400+350)\cdot10=7500$ $7500\cdot\left(1-\dfrac{x+30}{100}\right)=5250-75x$
Следующие 14 поездок $(400+350)\cdot14=10500$ $10500\cdot\left(1-\dfrac{x+40}{100}\right)=6300-105x$
Следующие 6 поездок $(400+350)\cdot6=4500$ $4500\cdot\left(1-\dfrac{x+50}{100}\right)=2250-45x$
Сумма 37500 $28800-375x$

Тогда вам будет всё равно, пользоваться ли платной дорогой со скидочной программой или совершать поездки на электричке, если:
$$\begin{array}{c}28800-375x=21300 \\
x=20\%\end{array}$$

4. Задача 4 ОЧ-2016 (8 класс)

Решите кроссворд:


1. Ввоз товаров, работ, услуг и т.п. на территорию страны из-за границы.
2. Длительный спад совокупной экономической активности.
3. Способность товара удовлетворять человеческую потребность.
4. Краткосрочный спад производства в экономике, снижение темпов роста.
5. Объём произведённых товаров и услуг.
6. Безвозмездный трансферт, осуществляемый государством, с целью покрытия убытка предприятия.
7. Устойчивый рост общего уровня цен в экономике.
8. Раздел экономической науки, изучающий экономику страны или мира как единое целое.
9. Экономическая политика, направленная на поддержку внутреннего производителя и его защиту от
зарубежной конкуренции.
10. Совокупность экономических отношений, базирующихся на обмене товарами и услугами между
производителями и потребителями.
11. Совокупность правила и механизма принуждения к исполнению этого правила.
12. Готовность фирмы произвести определённое количество товара при заданных условиях.
13. Совокупность предприятий, занятых производством орудий труда, добычей сырья, материалов,
топлива, производством энергии и дальнейшей обработкой продуктов.
14. Безвозмездная передача средств из государственного бюджета фирмам или потребителям, обычно с
целью стимулирования производства конкретного товара.
15. Периодическое колебание экономической активности.
16. Косвенный налог, устанавливаемый на предметы массового потребления внутри страны.

Решение

9 класс

1. Задача 1 ОЧ-2016 (9 класс)


В некотором государстве есть Промзона, а также есть морской Порт, куда каждый день ездят 6 тысяч машин. Так сложилась жизнь, что из Промзоны в Порт можно попасть, если ехать либо через город Альфа, либо через город Бета. В зависимости от того, сколько машин едет по участку дороги (в этот день), время движения по ней составит $T(c)$ минут, где $c$ – загруженность дороги (в тыс. машин).

1. Считая, что каждый водитель знает о текущей дорожной обстановке, и предполагая, что он минимизирует время на проезд, определите равновесное время в пути.
2. Правительство решает улучшить дорожную ситуацию. Для этого оно строит дорогу (одностороннюю) из города Бета в город Альфа. Время движения по этой дороге составляет $T(c) = c + 10$. Определите, какое время необходимо будет затратить теперь для того, чтобы попасть из Промзоны в Порт. Дайте объяснение полученному ответу.
3. Предложите возможные способы для улучшения ситуации, полученной в предыдущем пункте.

Решение

1. Есть два пути: через Альфу и через Бету. Водители минимизируют время в пути, следовательно, в равновесии время в пути по каждой из дорог будет одинаковым. (Иначе кто-то бы с более долгой дороги перешел на более быструю). Заметим, что наши пути эквивалентны. Поэтому по каждой дороге поедет ровно половина машин, то есть 3000. Время в пути составит 83 минуты.
Ответ: 83 минуты.

2. Аналогично предыдущему пункту, время в пути по каждому из маршрутов в равновесии будет одинаковым.
Теперь рассмотрим три маршрута:
$\bullet$ Промзона-Альфа-Порт (1й маршрут)
$\bullet$ Промзона-Бета-Порт (2й маршрут)
$\bullet$ Промзона-Альфа-Бета-Порт (3й маршрут)
Пусть $x_1$ едет по 1му, $x_2$ едет по 2му, $x_3$ едет по 3му маршруту. Тогда получим систему уравнений:
$$\begin{cases}
x_1 + 50 + 10 (x_1 + x_3) = 10(x_2 + x_3) + x_2 + 50 \\
10(x_2 + x_3) + x_3 + 10 + 10 (x_1 + x_3) = 10(x_2 + x_3) + x_2 + 50\\
x_1 + x_2 + x_3 = 6
\end{cases}$$
Откуда $x_1 = x_2 = x_3 = 2$. Тогда время в пути (по каждому из маршрутов) составит 92 минуты, т.е. время в пути увеличилось.

Объяснение: новый маршрут позволяет миновать более загруженный участок с пропускной способностью $T(c) = c + 50$. Но, с другой стороны, он создает нагрузку на участки $T(c) = 10c$.
Получается, что новый участок увеличивает загрузку на существовавшие участки дороги, что приводит к замедлению движения.

3. Возможные варианты:
$\bullet$ Закрыть новый участок дороги и вернуться к исходной ситуации.
$\bullet$ Ввести квоту на проезд. Т.е., например, пускать только по 500 машин в день. (По очереди, каждый может пользоваться дорогой только один раз в 12 дней). Тогда все остальные машины распределятся равномерно по первоначальным участкам. Время в пути по первоначальному участку:
$$2,75 + 50 + 10(2,75 + 0,5) = 85,25$$
В то же время, время в пути по привилегированному участку составит
$$10(2,75 + 0,5) + (0,5 + 10) + 10(2,75 + 0,5) = 75,5$$
То есть, пользуясь дорогой один раз в 12 дней, человек будет экономить почти 12 минут. В то же время, в обычный день он тратит на 2 минуты больше, чем обычно.

$\bullet$ Ввести тариф за пользование дороги (по сути квотирование, аналогично предыдущему пункту).

2. Задача 2 ОЧ-2016 (9 класс)

Петя и Вася решили испечь торт «Секрет дружбы». Мальчики заранее договариваются о составе торта, а затем каждый из ребят в тайне от другого должен положить в тесто по одному ингредиенту: либо ягоды, либо орехи, либо шоколад. Любимый торт Васи – «Ягодный», в нем нет ничего, кроме ягод. А Петя обожает торт «Лесной» – с ягодами и орехами. Вася же, наоборот, «Лесной» терпеть не может. Оба мальчика не любят, когда шоколад в торте сочетается с какими-либо другими продуктами (с ягодами или орехами). Ко всем остальным сочетаниям ингредиентов мальчики равнодушны. До чего в результате договорятся мальчики? Какой ингредиент положит каждый из них на самом деле?
Решение

Рассмотрим действия Пети:

$\bullet$ Если Вася выберет ягоды, то наилучший вариант для Пети – выбрать орехи.
$\bullet$ Если Вася выберет орехи, то Пете лучше всего положить ягоды.
$\bullet$ Если Вася выберет шоколад, самый подходящий вариант для Пети – выбрать шоколад.

Рассмотрим действия Васи:

$\bullet$ Если Петя выберет ягоды, Васе лучше выбрать ягоды.
$\bullet$ Если Петя выберет орехи, Вася выберет орехи.
$\bullet$ Если Петя положит шоколад, Васе стоит выбрать также шоколад.

Заметим, что в любой ситуации, кроме «шоколад-шоколад», одному из мальчиков выгодно отклониться от договорённости таким образом, что ему от этого станет лучше, а другому – хуже. Тогда другой мальчик не согласится на такой договор.

Таким образом, единственная ситуация, в которой никому из них не выгодно отклониться от договорённости и есть та, о которой они договорятся.

3. Задача 3 ОЧ-2016 (9 класс)

Владимир Муравьев работает менеджером по продажам в автосалоне. Его зарплата состоит из фиксированного ежемесячного оклада 15000 рублей и бонуса 3000 рублей за продажу каждого автомобиля. Екатерина Муравьева работала учителем в школе, сейчас находится в декретном отпуске и собирается вернуться на работу через год. Зарплата Екатерины составляла 25000 рублей, сейчас она получает ежемесячное пособие в размере 10000 рублей.

Муравьевы подсчитали, что средний уровень текущих расходов на нужды их семьи составляет 32000 рублей в месяц. Сейчас Муравьевы живут в однокомнатной квартире и хотели бы через три года улучшить свои жилищные условия. Владимир и Екатерина исходят из того, что для обмена квартиры на двухкомнатную потребуется доплата не менее полутора миллионов рублей. В данный момент у Муравьевых есть сбережения в размере 300 тысяч рублей, которые они планируют разместить на три года на непополняемый банковский депозит под 7% годовых с ежегодным начислением процентов (процент начисляется на полную сумму, с учётом прошлых начислений).

Посчитав свои доходы и расходы, Муравьевы пришли к выводу, что достижение поставленной цели зависит от того, как будут идти дела на работе Владимира. На подъёме рынка Владимиру удавалось продавать в месяц до 12 машин, однако сейчас объём продаж автомобилей снизился на 25%.

Если доходов от продажи автомобилей всё же не хватит, семье придётся брать кредит на покупку квартиры. Предельная сумма кредита, которую готовы взять Муравьевы, составляет 300000 рублей.

Рассчитайте, какое минимальное количество автомобилей в среднем в месяц должен продавать Владимир, чтобы семья смогла в установленный срок реализовать поставленную финансовую цель только за счёт собственных средств. Как изменится минимальное количество проданных автомобилей, если Муравьевы возьмут кредит? Позволит ли это реализовать финансовую цель семьи в случае, если объём продаж автомобилей сохранится на текущем уровне?

Решение

1. Фиксированный доход семьи за три года составит $15\cdot36 + 10\cdot12 + 25\cdot24 = 1260$ тыс. руб.
2. Совокупные расходы на текущие нужды составят $32\cdot36 = 1152.$
3. После покрытия текущих расходов остается сумма $108$ тыс. руб. на накопление.
4. Банковский вклад с процентами к концу третьего года составит $300\cdot1,13 = 399,3$ тыс. руб.
5. Если не брать кредит, за три года за счет доходов от продажи машин нужно накопить не менее чем $1500 – 108 – 399,3 = 992,7$ тыс. руб., то есть всего нужно продать не меньше $331$ машины $(992,7/3 = 330,9)$, или $9,20$ машин в месяц.
6. Если семья возьмёт кредит, за счёт бонусов нужно накопить не менее чем $992,7 – 300 = 692,7$, то есть всего нужно продать не меньше $231$ машины $(692,7/3 = 230,9)$, или $6,42$ машины в месяц.
7. Да, позволит.

4. Задача 4 ОЧ-2016 (9 класс)

Город Волгоград имеет очень необычную планировку. Он растянулся на 60 километров с севера на юг вдоль правого берега Волги. Ширина города не превышает 10 километров, а в самых узких местах город можно за несколько минут пройти пешком поперек. Вот он, настоящий линейный город! Для удобства обозначений будем считать самую северную точку Волгограда 0-ым километром, а самую южную – 60-ым.

Волгоградская область славится своим мягким козьим пухом из Урюпинска. Какая досада, что в этом городе нет ни одного специализированного магазина, продающего исключительно мягкий козий пух из Урюпинска. В городе планируется открыть 2 таких магазина.

Продукция этих магазинов пользовалась бы спросом. Известно, что спрос на неё распределен равномерно вдоль реки Волга, то есть если, к примеру, в магазин станут ходить потенциальные покупатели, живущие в районе города с 0-ого по 12-ый километр, то это означает, что магазин удовлетворяет 20% спроса. Также известно, что пух из Урюпинска настолько качественный, что покупатели готовы и все 60 километров преодолеть, чтобы его заполучить, однако из двух магазинов они выберут ближайший. Если покупателям, проживающим по одному и тому же адресу, безразлично, в какой магазин идти, то одна половина из них пойдет в один магазин, а другая половина – в другой магазин.

1) Как нужно расположить магазины с точки зрения минимизации максимального расстояния, которое покупателю придется преодолеть на пути от дома до магазина? Дайте аргументированный ответ, выраженный в километрах от самой северной точки города.

Предположим теперь, что магазины принадлежат разным продавцам, конкурирующим за покупателей друг с другом. Цена на пух определяется поставщиком и не зависит от местоположения магазина.

2) Где разместит магазин первый владелец, если он точно знает, где расположен магазин второго владельца? Дайте ответ для всех возможных расположений второго магазина.
3) Где разместит магазин второй владелец, если он точно знает, где расположен магазин первого владельца? Дайте ответ для всех возможных расположений первого магазина.
4) Есть ли такое расположение магазинов, при котором каждому владельцу в отдельности не выгодно менять расположение своего магазина?
5) Эффективно ли такое расположение с точки зрения планировки города? Аргументируйте свой ответ.

Решение

Будем обозначать расположение магазинов как $x_1$ и $x_2$. Спрос на продукцию магазинов будем выражать в километрах и обозначать как $Q_1$,$Q_2$.

1) В этом пункте без ограничения общности перенумеруем магазины так, что $x_1 \le x_2$. Всем потребителям, живущим севернее $\dfrac{x_1+x_2}{2}$ км, ближе идти до магазина 1, а всем, живущим южнее, – до магазина 2.

Наиболее удаленный от магазинов покупатель может жить либо на окраине города (0 км, 60 км), либо ровно между магазинами $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \text{ км}\right)$. Таким образом, расстояние может быть равно $x_1$, $60 − x_2$ или $\dfrac{x_1+x_2}{2}$ − $x_1 = \dfrac{x_2−x_1}{2}$. Опционально, школьник здесь может нарисовать график временных затрат для потребителя в
зависимости от его места жительства.

Соответственно нам нужно минимизировать следующее выражение:
$$max \left(x_1, 60 − x_2, \dfrac{x_2 − x_1}{2}\right) \to min$$
Минимум достигается там, где: $ \begin{cases}
x_1 = 60 − x_2 \\
x_1 = \dfrac{x_2−x_1}{2}
\end{cases}$
$\textbf{Ответ: } \begin{cases}
x_1 = 15 \\
x_2 = 45
\end{cases}$

2) Выразим функции спроса на магазин 1 в зависимости от $x_1$ и $x_2$:
\begin{equation*}
Q_1(x_1, x_2) =
\begin{cases}
x_1 + \dfrac{x_2 − x_1}{2}, x_1 \lt x_2 \\
60 − x_1 + \dfrac{x_1 − x_2}{2}, x_2 \lt x_1 \\
30, x_1 = x_2
\end{cases}
\end{equation*}
Предположим, что $x_2 \lt 30$. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения находятся рядом с магазином 2, немного к югу от него.
Предположим, что $x_2 > 30$. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения рядом с магазином 2, немного к северу от него.
Предположим, что $x_2 = 30$. Тогда, максимум функции достигается в точке $x_1 = x_2$

3) Аналогично пункту 2 (Допускается именно такая фраза в решении)

4) Если $x_1 < 30$, то второму магазину выгодно быть рядом с магазином 1 ($x_2 \lt 30$), но немного к югу. В таком случае 1 магазину выгодно отклониться и переместиться немного к югу от магазина 2.

Аналогично для случая $x_1 > 30$

В случае $x_1 = 30$, оптимальный ответ: $x_2 = 30$. В таком расположении никому не выгодно отклоняться и потому это равновесие.

5) Нет, не эффективно. При таком расположении наибольшее расстояние до магазина составит 30, в то время как при эффективном раскладе расстояние составит 15.

Если строгость рассуждений и прозрачность решения не рушится, некоторые отсутствующие в решении школьника пункты можно засчитывать, при условии верно данного ответа.