Первоначальное равновесие в точке $Q_A=4, P_A=16 \textbf{ (1 балл)}$
В стране Б равновесие в точке $Q_Б=\dfrac{10}{3}, P_Б=\dfrac{40}{3} \textbf{ (1 балл)}$
А импортирует товар, а Б экспортирует.
$\begin{array}{l} Im=Q_{d_A}-Q_{S_A}=20-\dfrac{5}{4}P_A \\ Ex=Q_{S_Б}-Q_{D_Б}=3P_Б-40 \\ \textbf{(по 2 балла за функции экспорта и импорта, всего 4 балла)}\\
Im=Ex=5 \\ 20-\dfrac{5}{4}P_A=5 \rightarrow P_A=12 \\ 3P_Б-40=5 \rightarrow P_Б=15 \\ \dfrac{P_A}{P_Б}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5} \textbf{ (3 балла)}\end{array}$
Если налоговые сборы в два раза больше затрат на субсидии, то это интерпретируется так:
$tQ^*=2sQ^*$ (4 балла)
Решая эти уравнения в системе и выражая равновесную цену через ставку потоварного налога, получаем ответ:
$p^*=10+\dfrac{5}{6} t$ (4 балла)
Тогда функция прибыли имеет вид:
\(\pi = Q\cdot(a-bQ)-(c+t)\cdot Q=-bQ^2+(a-c-t)\cdot Q \textbf{ (2 балла)}\)
Это парабола ветвями вниз относительно Q, прибыль максимальна в вершине (1 балл за обоснование, 1 балл за правильные выпуск и цену):
\(Q^*=\dfrac{a-c-t}{2b}; \quad P^*=\dfrac{a+c+t}{2}\)
В условиях нашей задачи $a-c=3 \gt 0$, значит, до введения налога оптимум не в нуле:
\(\begin{array}{l} CS=\dfrac{a-P}{2}\cdot Q=\dfrac{a-c-t}{4}\cdot Q \\ \pi = TR-TC=\dfrac{a-c-t}{2}\cdot Q \\ T=t\cdot Q\end{array}\)
Тогда:
\(\begin{array}{l} SW=CS+\pi +T \\ SW=\dfrac{Q}{4}\cdot (3(a-c)+t)=\dfrac{1}{4}\cdot \left(-t^2-2(a-c)t+3(a-c)^2\right) \end{array}\)
(По 1 баллу за каждое выражение и за суммарную функцию. Всего 4 балла. Если слагаемые не были выписаны ранее, но функция верная, то за суммарную функцию всё равно ставить 4 балла)
Это парабола ветвями вниз относительно $t$. Оптимум в вершине, $t^*=c-a=-3$, то есть необходимо ввести субсидию в размере 3 у.е. (1 балл за обоснование, 2 за ответ).
Выведите функцию рыночного предложения данной отрасли для краткосрочного периода.
Для фирм типа А $AVC(q)=\dfrac{VC(q)}{q}=\dfrac{q^2+3q}{q}=q+3$. Минимум этой функции достигается при $q=0 \rightarrow \min AVC=3$.
Значит, при $P\lt3$ для фирмы типа А $q=0$. При $P \geq 3$ для максимизации прибыли фирма будет выбирать количество по принципу $P=MC(q)$.
Для фирм типа A $MC(q)=TC'(q)=2q+3$.
Тогда $P=2q+3 \rightarrow q=0{,}5P-1{,}5$.
Таким образом, предложение фирмы типа А имеет вид:
\[q(s)=\begin{cases}0, &\text{при } 0 \leq P \lt3 \\ 0{,}5P-1{,}5, & \text{при } P\geq 3 \qquad \textbf{(2 балла)}\end{cases}\]
и так как фирм типа А на данном рынке действует 100, то их совокупное предложение будет иметь вид: \(Q(s)=\begin{cases}0, &\text{при } 0 \leq P \lt3 \\ 50P-150, & \text{при } P\geq 3 \end{cases} \quad \textbf{(2 балла)}\).
Аналогично, для фирм типа Б $AVC(q)=\dfrac{VC(q)}{q}=\dfrac{0{,}5q^2+4q}{q}=0{,}5q+4$. Минимум этой функции достигается при $q=0 \rightarrow \min AVC=4$.
Значит, при $P\lt4$ для фирмы типа Б $q=0$. При $P \geq 4$ для максимизации прибыли фирма будет выбирать количество по принципу $P=MC(q)$.
Для фирм типа Б $MC(q)=TC'(q)=q+4$.
Тогда $P=q+4 \rightarrow q=P-4$.
Таким образом, предложение фирмы типа Б имеет вид:
\[q(s)=\begin{cases}0, &\text{при } 0 \leq P \lt4 \\ P-4, & \text{при } P\geq 4 \qquad \textbf{(2 балла)}\end{cases}\]
и так как фирм типа Б на данном рынке действует 50, то их совокупное предложение будет иметь вид: \(Q(s)=\begin{cases}0, &\text{при } 0 \leq P \lt4 \\ 50P-200, & \text{при } P\geq 4 \end{cases} \quad \textbf{(2 балла)}\).
Совокупное предложение на рынке найдём путём суммирования по горизонтали индивидуальных кривых предложения двух типов фирм (двух групп производителей):
\[Q(s)=\begin{cases}0, & \text{при } 0 \leq P \lt 3 \\ 50P-150, & \text{при } 3 \leq P \lt 4 \\ 100P-350, & \text{при } P \geq 4 \end{cases} \quad \textbf{(2 балла)}\]
Очевидно, что при эффективном разделении труда MC Икс должен записывать альбомы, а МС Игрек – проводить концерты, так как альтернативные издержки проведения концертов ниже у МС Игрека (или с учётом его производственных возможностей) (1 балл за сравнение альтернативных издержек и определение специализации).
Тогда максимальное количество концертов, которое может быть организовано ими совместно, совпадает с максимальным количеством концертов МС Игрека (15), если студией весь год будет пользоваться Игрек. А максимальное количество альбомов – с максимальным количеством альбомов МС Икса (20), если студией весь год будет пользоваться Игрек (1 балл за определение максимальных объемов производства благ).
Поскольку оборудование на студии может использоваться как одним из них, так и другим, рассмотрим вариант деления оборудования.
Пусть $t$ – часть года, в течение которого МС Икс использует студию. Тогда за это время он сможет выпустить $20t$ альбомов.
Тогда МС Игрек будет использовать студию $(1–t)$ часть года и сможет провести $15(1–t)$ концертов (1 балл).
Имеем систему:
\[\begin{cases} A=20t \\ K=15(1-t) \\ 0\leq t \leq 1 \end{cases} \quad \textbf{(3 балла за составление системы)}\]
Выразим $t$ из первого уравнения и подставим его во второе:
\[\begin{cases} t=\dfrac{1}{20}A \\ K=15-\dfrac{3}{4}A \\ 0\leq A \leq 20 \end{cases} \quad \textbf{(2 балла за решение системы и ответ)}\]
«Если к количеству моих покупателей прибавить 100, то полученное число будет без остатка делиться на количество месяцев году. Если количество моих покупателей возвести в квадрат, то одна десятая процента от полученного числа будет не меньше $110\%$ от количества моих покупателей. Если же каждый год число моих покупателей будет расти на $10\%$ по сравнению с предыдущим годом, то через 2 года оно не превысит 1600».
За сколько монет Путешественник в итоге купит лампу?
Значит, стоимость волшебной лампы для Путешественника равна $1100/10 = 110$ золотых монет (1 балл), что меньше, чем 130. То есть будет выбран именно этот вариант. (1 балл, если не забыли сказать, что 110 меньше 130)
Оксана: $40/2 = 20$
Полина: $60/1 = 60$ (4 балла)
Реальный доход Полины в $60/20 = 3$ раза больше, чем реальный доход Оксаны, следовательно, она может купить в 3 раза больше яблок $\textbf{(4 балла)}$
Носки: $500\cdot(35-15)=10 000 \text{ руб.}\textbf{ (1 балл)}$
Перчатки: $300\cdot(45-12)=9 900 \text{ руб.}\textbf{ (1 балл)}$
Таким образом, фирме выгодно специализироваться на производстве носков. Значит, ежемесячная прибыль составит 250 000 руб. (3 балла)
б). Если фирма будет специализироваться на производстве носков, её ежедневная прибыль составит 10 000 руб., то есть в данном случае прибыль будет облагаться налогом по ставке $5 \%$. Значит, наши расчёты в пункте а) надо изменить.
Носки: $500\cdot(35-15)\cdot 0{,}95= 9500\text{ руб.}\textbf{ (2 балла)}$
Перчатки: $300\cdot(45-12)= 9900\text{ руб.}\textbf{ (1 балл)}$
Таким образом, фирме выгодно специализироваться на производстве перчаток. Значит, ежемесячная прибыль составит 247 500 руб. (3 балла)
Банк | Вклад | Год 1 | Год 2 |
C | "Вверх" | $+5\%$ | $+15\%$ |
P | "Стоик" | $+10\%$ | $+11\%$ |
"Егоза" | $+20\%$ | $+1\%$ |
Начисление процентов по вкладу происходит раз в год (предполагается сложный процент). Помогите выбрать вклад и запишите, сколько рублей прибыли получит Б., вложив 100 рублей.
Следовательно, Б. выберет вклад «Стоик» в банке Р (2 балла)
Выгода, которую получит Б.: $122{,}1 – 100 = 22{,}1 \text{ руб.}$
2) Приравняем спрос и предложение до и после введения налога:
\(\begin{array}{l} \begin{cases}Q_{S0}=a+bP \\ Q_{S1}=a+b(P-t)\end{cases} \\
\begin{cases} 6= a+2b \\ 5=a+b(2{,}5-1{,}5) \textbf{ (по 2 балла за каждое уравнение, 4 балла за систему)}\end{cases} \\
\begin{cases} a=6-2b \\ a=5-b \end{cases} \\
6-2b=5-b \\ b=1 \rightarrow a=4 \\ Q_S=4+P \textbf{ (3 балла за функцию)} \end{array}\)
Какое максимальное количество весёлых песен смогут петь Д’Артаньян и три мушкетёра в день, если для защиты чести короля им необходимо выигрывать строго 8 дуэлей в день?
\[\text{Д}=\begin{cases}14-\dfrac{2}{3}\times\text{П}, & \text{П}<3 \\ 18-2\times\text{П}, & \text{П} \geq 3\end{cases}\]
(по 3 балла за каждую часть уравнения КПВ, всего 6 баллов)
\[\begin{array}{l} 8=18-2\times\text{П} \\ \text{П}=5 \textbf{ (2 балла)}\end{array}\]
Первоначальное равновесие в точке $Q_A=4, P_A=16 \textbf{ (1 балл)}$
В стране Б равновесие в точке $Q_Б=\dfrac{10}{3}, P_Б=\dfrac{40}{3} \textbf{ (1 балл)}$
А импортирует товар, а Б экспортирует.
$\begin{array}{l} Im=Q_{d_A}-Q_{S_A}=20-\dfrac{5}{4}P_A \\ Ex=Q_{S_Б}-Q_{D_Б}=3P_Б-40 \\ \textbf{(по 2 балла за функции экспорта и импорта, всего 4 балла)}\\
Im=Ex=5 \\ 20-\dfrac{5}{4}P_A=5 \rightarrow P_A=12 \\ 3P_Б-40=5 \rightarrow P_Б=15 \\ \dfrac{P_A}{P_Б}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5} \textbf{ (3 балла)}\end{array}$