Второй этап

1. Диалог об эластичности

— Отличная погодка сегодня! –– воскликнул Оптимист, заходя в отдел продаж.
— Днем обещают дожди... –– ответил Пессимист.
— В этом месяце объем продаж нашего товара вырос, и это при том, что функция спроса
на него осталась прежней! –– радовался Оптимист.
— Еще бы, мы ведь снизили цены. Те же единицы продукции, что еще месяц назад мы прода-
вали по более высокой цене, в этом месяце пошли в продажу по сниженной цене, и на этом мы потеряли часть выручки, –– возразил Пессимист.
— Но зато в этом месяце мы продали много новых единиц продукции, и выручка, которую мы получили с их продажи, в полтора раза превосходит потери, которые ты только что упомя- нул! –– начал спорить Оптимист. –– Да и снижение цены очень незначительно, всего несколько процентов.
Что можно сказать об эластичности спроса на товар, судя по этому диалогу?
Решение

Пусть $P_0$ и $Q_0$ –– прежняя цена и объем продаж, а $P_1$ и $Q_1$ –– новые значения этих величин. Тогда сумма потерь, о которой говорит Пессимист, равна $L=(P_0−P_1)⋅Q_0$, а сумма выигрыша, о котором говорит Оптимист, равна $B=(Q_1−Q_0) ⋅ P_1$. По условию, отношение между этими величинами равно 1,5:
$$\frac{B}{L}=\frac{(Q_1−Q_0)⋅P_1}{(P_0-P_1)⋅Q_0}= 1,5 \Longrightarrow \frac{(Q_1 −Q_0)⋅P_1}{(P_1-P_0)⋅Q_0}=−1,5$$
Поскольку, по словам Оптимиста, новая цена отличается от старой незначительно, можно сказать, что второе выражение примерно равно эластичности:
$$\frac{(Q_1−Q_0)⋅P_1}{(P_1-P_0)⋅Q_0}\approx\frac{(Q_1−Q_0)⋅P_0}{(P_1-P_0)⋅Q_0}=E^d_p$$

2. Бюджетный федерализм

Монополист, обратная функция спроса на продукцию которого имеет вид $p=140-2q$, работает по такой технологии, что для производства единицы продукции необходимы две единицы труда. Труд нанимается на конкурентном рынке по ставке заработной платы 10 д. е. С каждой проданной единицы фирма должна отчислять f д. е. в государственный бюджет –– это федеральный налог. Кроме того, с каждой нанятой единицы труда фирма должна отчислять r д. е. –– это региональный налог, взимаемый местными властями. Выбирая ставки налогов, власти обоих уровней стараются получить побольше поступлений в бюджет своего уровня.

  1. Пусть сначала свою ставку называют федеральные власти, а затем –– регио- нальные, после этого фирма выбирает объем производства. Какие будут ставки налогов?
  2. Ответьте на вопрос предыдущего пункта, если, наоборот, сначала свою ставку называют региональные власти, а затем –– федеральные.
  3. Что можно сказать о ставках налогов в случае, если бы власти обоих уровней принимали решения об их уровне согласованно, максимизируя суммарные налоговые поступления в оба бюджета?
Решение

Третий этап «игры» между властями двух уровней и фирмой во всех пунктах устроен одинаково: узнав ставки $f$ и $r$, фирма выбирает оптимальный объем выпуска, максимизируя прибыль.
Поскольку требуемое количество труда для производства $Q$ единиц составляет $L = 2Q$, общая сумма налогов, уплачиваемых фирмой, составит $T = T_f + T_r = fQ + r⋅2Q$. Запишем функцию прибыли:
$$\pi(Q) = (140 - 2Q)Q - 20Q - fQ - r\cdot2Q = (120 - 2Q - f - 2r)Q$$
Это парабола с ветвями вниз, максимум которой находится в вершине
$$Q^* = 30 - \frac{f}{4} - \frac{r}{2}$$
Выпишем налоговые поступления в бюджет каждого уровня:
$$\begin{array}T_f = fQ^* =f(30 − \frac{f}{4} − \frac{r}{2}) &\text{ }(8.1)\\
T_r = r\cdot2Q^* = r(60 − \frac{f}{2} − r) &\text{ }(8.2)\end{array}$$

  1. В этом пункте региональные власти будут принимать решение о $r$, зная, какая выбрана $f$, а также зная, как на обе ставки отреагирует фирма. Поскольку $f$ воспринимается ими как заданная величина, можно найти оптимальный ответ –– ставку $r$. Максимизируя параболу с ветвями вниз из (8.2), получаем $r = 30 − \frac{f}{4}$.
    Предвидя это решение, федеральные власти будут максимизировать.
    $$T_f = f\left(30 − \frac{f}{4} − \frac{30−f/4}{2}\right) = f\left(\frac{30 − f/4}{2}\right)$$
    Это также квадратичная парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $f^* =60$ (легко посчитать её, например, как среднее арифметическое между нулями функции и сославшись на симметричность параболы относительно вершины), откуда легко посчитать $r^* = 15$.
  2. В этом пункте федеральные власти будут принимать решение о $f$, зная, какая выбрана $r$, а также зная, как на обе ставки отреагирует фирма. Поскольку $r$ воспринимается ими как заданная величина, можно найти оптимальный ответ –– ставку $f$. Максимизируя параболу с ветвями вниз из (8.1), получаем $f = 60 − r$.
    Предвидя это решение, региональные власти будут максимизировать.
    $$T_r = r\left(60 − \frac{60−r}{2} −r\right) = r\left(\frac{60−r}{2}\right)$$
    Это также квадратичная парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $r^* = 30$, откуда легко посчитать $f^* = 30$.
  3. Суммарные налоговые сборы равны
    $$T = T_f + T_r = f \left(30 − \frac{f}{4} − \frac{r }{2}\right) + r \left(60 − \frac{f}{2} − r\right) = (f + 2r) \left(30 − \frac{f + 2r}{4} \right)$$
    По виду функции можно понять, что суммарные налоговые поступления зависят от величины $t = f + 2r$, и если выбрана эта сумма, то с точки зрения общих доходов бюджетов не важно, какие именно $f$ и $r$ выбраны. Поэтому $T = t (30 − \frac{t}{4} )$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $t = 60$. Таким образом, для максимизации общих налоговых сборов нужно выбрать любые $f^*$ и $r^*$, такие что $f^* + 2r^* = 60$.

3. Экономика "Платона"

В Древней Греции ежегодный спрос купцов на грузоперевозки дальнобойными колесницами описывается уравнением $Q=100−P$, а предложение грузоперевозок со стороны колесничих–– уравнением $Q=P$, где $Q$ –– объем грузоперевозок (в тоннах, умноженных на километр пути), а $P$ –– цена за единицу перевозок (в драхмах на тонну-километр). Тяжелые колесницы наносят ущерб дорогам, который зависит от объема перевозок и равен $Q^2/4$ драхм –– ровно эту сумму нужно ежегодно тратить на ремонт дорог, чтобы они не портились со временем.
Государство оплачивает ремонт дорог в полном объеме из бюджета. Мудрый Платон предложил ввести дополнительный налог на колесничих в размере $t$ драхм с каждой единицы грузоперевозок. «Даже если ни драхмы из поступлений от нового налога не будет потрачено на ремонт дорог, введение этого налога может увеличить общественное благосостояние» –– изрек великий философ.

  1. Объясните экономическую логику, которой руководствовался Платон.
  2. Проконсультировавшись с Платоном, государство определило общественное благосостояние как сумму прибыли потребителей услуг грузоперевозок (купцов), прибыли колесничих после уплаты налога, и доходов государственного бюджета от «налога Платона» за вычетом его расходов на ремонт дорог. Прибыль купцов равна $Q^2/2$; прибыль колесничих после уплаты налога также равна $Q^2/2$. Найдите ставку налога $t$, при которой общественное благосостояние максимально.*
  3. Государство решило ввести налог по ставке $t$,найденной вами в пункте 2, однако вскоре выяснилось, что взимание этого налога само по себе будет сопряжено с дополнительными издержками (потребуется установка специальных бортовых устройств на колесницах, найм персонала и т. д.). Расходы по взиманию налога оплачиваются из бюджета; независимо от объема перевозок, они равны $C$ драхм. При каком максимальном значении параметра $C$ государству, которое максимизирует благосостояние, следует вводить «налог Платона»? Обозначьте это значение за $C_{max}$.
  4. Другой философ, Аристотель, выступил с критикой налога: «Платон мне друг, но истина дороже. Введение налога повлечет за собой издержки для общества, не учтенные Платоном в его формуле общественного благосостояния, и поэтому даже при $C < C_{max}$ введение налога может не быть оправданным». Какие издержки мог иметь в виду Аристотель?

*Участники олимпиады, знакомые с концепцией излишков, без труда увидят, что указанные в этом пункте выражения просто равны излишкам потребителей и производителей для данных функций спроса и предложения.

Решение

  1. Введение этого налога приведет к снижению объема грузоперевозок, поэтому ущерб, наносимый дорогам, уменьшится. В результате на ремонт можно будет направлять меньше ресурсов.
    Общественное благосостояние в результате налогообложения может повыситься, если изначальное рыночное равновесие было неэффективным. В нашем случае эта неэффективность связана с отрицательными внешними эффектами. Участники движения не учитывают в своих решениях ущерб, который они наносят дорожному покрытию, следовательно, число грузоперевозок оказывается выше общественно оптимального. Тогда налог правильно выбранного размера будет корректировать изначально чрезмерное число поездок.
  2. Найдем как объем грузоперевозок зависит отvставки налога. Новая кривая предложения описывается уравнением $Q = P_d − t$; новая равновесная цена потребителя определяется уравнением $100−P_d = P_d −t$, откуда $P^* = (100+t)/2$, а значит, $Q^* = (100−t)/2$.
    Тогда мы можем выразить функцию общественного благосостояния через одну переменную
    $$W = \frac{Q^2}{2} + \frac{Q^2}{2} +tQ − \frac{Q^2}{4} = \frac{3Q^2}{4} + 100Q − 2Q^2$$
    Графиком этой функции является парабола с ветвями вниз. Точка максимума $Q^* = 40$. Значит, оптимальная ставка налога равна $t^* = 20$. (5 баллов)
    Этот пункт можно решить, максимизируя благосостояние не числу перевозок, а сразу по ставке налога.
  3. Для определения $C_max$ необходимо найти разницу между общественным благосостоянием при введении налога и при его отсутствии. Объем перевозок в отсутствие налога равен 50, а общественное благосостояние равно
    $$\frac{2500}{2} + \frac{2500}{2} − \frac{2500}{4} = 1875$$
    При введении оптимального налога общественное благосостояние равно
    $$\frac{1600}{2} + \frac{1600}{2} + 20\cdot40 − \frac{1600}{4} = 2000$$
    $$2000 − C\geq 1875$$
    значит, налог стоит вводить при $C\leq 125$. $C_{max} = 125$.
  4. Формула Платона учитывает только благосостояние непосредственных участников рынка грузоперевозок, однако введение налога повлияет (отрицательно) и на других экономических агентов — например, на потребителей перевозимых товаров, так как вслед за ростом цены перевозок вырастут и цены на перевозимые товары. Это может иметь макроэкономические последствия — рост цен. Кроме того, может снизиться благосостояние производителей перевозимых товаров, ведь теперь купцы будут готовы платить им меньшую оптовую цену. Сокращение транспортных перевозок между регионами со сравнительными преимуществами также может приводить к потерям. С учетом этих дополнительных издержек для общества введение налога может не быть оправданным.

4. Осторожный Кузьма – 2

Кузьма, знакомый вам по задаче регионального этапа, влюбился и решил подарить девушке красивый букет.
В магазине продаются три вида цветов –– $A$, $B$ и $C$. Кузьма знает, что девушка ценит эти цветы по-разному: каждый цветок наиболее предпочтительного с ее точки зрения вида принесет ей 3 единицы радости, каждый цветок наименее предпочтительного вида принесет 1 единицу, а каждый цветок среднего по предпочтительности вида принесет 2 единицы. Проблема в том, что Кузьма забыл, какой именно вид цветов является самым предпочтительным, какой –– средним, акакой––наименее предпочтительным, и спрашивать ее об этом ему неловко.
Радость девушки от букета равна сумме ее радости от каждого из цветков в букетик (даже если в букете есть цветы разных видов). Девушка поцелует Кузьму, если ее радость от букета будет не меньше 30 единиц. Для простоты считайте, что количество цветов не обязательно нечетное и даже не обязательно целое (но обязательно неотрицательное).

  1. Допустим, цветок каждого из трех видов стоит 1 ден. ед. Какую минимальную сумму Кузьма должен потратить на цветы, чтобы девушка гарантированно его поцеловала?
  2. Как изменится ваш ответ на пункт 1, если цветок вида $A$ стоит 1 ден. ед., цветок вида $B$ –– 2 ден. ед., цветок вида $C$ –– 3 ден. ед.?
  3. Допустим, радость девушки зависит не только от количества цветов разных видов, но и от их сочетания. А именно, если в букете есть цветы больше чем одного вида, их сочетание может не понравиться девушке: если сочетание цветов неудачное, радость девушки равна сумме ее радости от каждого цветка, как выше, минус $Z$ единиц. Параметр $Z$ известен Кузьме. Ответьте на вопрос пункта 1 (при ценах цветов, данных в пункте 1) для $Z=24$; $Z=36$.
Решение

  1. Обозначим количества цветов трех видов в букете за $a$, $b$ и $c$. Девушка гарантированно
    поцелует Кузьму, если будут выполнены 6 неравенств:
    $$\begin{equation*}
    \begin{cases}
    a + 2b + 3c\ge30 \\
    a + 3b + 2c\ge30 \\
    2a + b + 3c\ge30 \\
    2a + 3b + c\ge30 \\
    3a + b + 2c\ge30 \\
    3a + 2b + c\ge30
    \end{cases}
    \end{equation*}$$
    Нам нужно найти минимальное значение выражения $a + b + c$, при условии, что $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют неравенствам выше.
    Сложив данные 6 неравенств, получаем, что $12(a+b+c)\ge6⋅30$, откуда $a+b+c\ge15$. При этом нижняя граница в последнем неравенстве достигается: если $a = b = c = 5$, то все 6 неравенств выполнены, и при этом $a + b + c = 15$. Значит, минимальная сумма равна 15 (и для ее достижения Кузьме следует купить букет, состоящий из 5 цветков каждого вида.)
    Примечание: как видим, покупка «cбалансированного» букета позволяет в данном случае добиться существенной экономии по сравнению с «наивной» стратегией покупки 30 цветков какого-либо одного вида. Как и в задаче регионального этапа, в условиях неопределенности Кузьме выгодно осуществлять диверсификацию «портфеля».
  2. В данном случае нам надо минимизировать значение выражения $a+2b+3c$, при условии, что $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют неравенствам выше.
    Из первого неравенства мы знаем, что $a + 2b + 3c\ge 30$. Нижняя граница в этом неравенстве достигается, если взять, например, $a = 30$, $b = c = 0$. (в этом случае все 6 неравенств выполнены, и $a + 2b + 3c = 30$). Таким образом, минимальная сумма в этом случае равна 30 ден. ед.
    (Для ее достижения Кузьма может, например, купить букет, состоящий только из 30 цветов типа A, однако подойдет не только он , а любой букет, в котором $a\ge b\ge c$ и $a + 2b + 3c = 30$.)
    Примечание: как видим, при новых ценах цветов диверсификация перестает быть выгодной, так как она начинает требовать покупки дорогих цветов, что влечет за собой рост расходов.
  3. Ясно, что в этом случае Кузьме нужно отдельно рассмотреть две стратегии: покупка букета, состоящего из только одного вида цветов (в этом случае ситуация неудачного сочетания цветов исключена) и покупка букета, состоящего из более чем одного вида цветов.
    Если Кузьма покупает однородный букет, ему нужно купить минимум 30 цветков, и минимальные расходы равны 30; неоднородный же букет гарантирует поцелуй, если выполнены новые 6 неравенств:
    $$\begin{equation*}
    \begin{cases}
    a + 2b + 3c −Z\ge30 \\
    a + 3b + 2c −Z\ge30 \\
    2a + b + 3c −Z\ge30 \\
    2a + 3b + c −Z\ge30 \\
    3a + b + 2c −Z\ge30 \\
    3a + 2b + c −Z\ge30
    \end{cases}
    \end{equation*}$$
    Кузьме нужно вновь минизировать значение $a + b + c$ при этих условиях.
    Действуя аналогично пункту 1, получаем, что $a + b + c\ge(30 + Z)/2$. При этом нижняя граница достигается (можно взять $a = b = c = (30 + Z)/6$). Поэтому минимальные расходы равны $(30 + Z)/2$.
    Если $Z = 24$, эти расходы равны $(30 + 24)/2 = 27 < 30$, и значит Кузьме нужно покупать неоднородный букет, состоящий из 9 цветков каждого вида.
    Если $Z = 36$, расходы равны $(30 + 36)/2 = 33 > 30$, и значит, лучше не рисковать, а купить однородный букет (из 30 цветков какого-либо вида.
    Примечание: в данном пункте диверсификация по условию сопряжена с определенными издержками сама по себе. Если эти издержки относительно небольшие ($Z = 27$), то диверсификацию выгодно осуществлять, несмотря на них; если же они достаточно большие ($Z = 36$), то диверсификация становится невыгодной.

5. Рациональные пингвины – 2

У императорских пингвинов яйца высиживают самцы. С началом антарктической зимы они получают яйца от самок и держат их между лап около двух месяцев, пока самки находятся в море. Эти два месяца самцы проводят в очень тяжелых условиях: температура может достигать −50 °C, а скорость ветра –– 200 км/ч.
Чтобы согреться, пингвины собираются в большие толпы (иногда их там больше тысячи). Находясь на расстоянии всего 2 см друг от друга, они минимизируют напрасный расход тепла. В результате воздух в середине этой кучи пингвинов может прогреваться до 37 °C, что слишком жарко по сравнению с комфортной температурой. Пингвины, которые находятся с краю толпы, наоборот, мерзнут, стоя под сильным ветром. В результате движения, однако, положение пингвинов в толпе постоянно меняется, скопления разбиваются на более мелкие или наоборот сливаются. Это позволяет каждому пингвину поочередно находиться в середине толпы, где слишком жарко, в более комфортной ее части или с самого краю, где слишком холодно.

  1. Приведите экономический аргумент, который может объяснить, почему пингвины встают так близко друг к другу, несмотря на то, что в центре кучи от этого слишком жарко.
  2. Каждый отдельный пингвин приходит в толпу затем, чтобы согреться, но в итоге (ненамеренно) тратит часть своего тепла, чтобы согреть окружающих –– это похоже на положительный внешний эффект. Стандартная экономическая теория содержит результат, что производство положительных внешних эффектов обычно ниже общественно оптимального уровня, однако в случае императорских пингвинов это, вероятно, не так: сложно представить себе более эффективную структуру, которая бы включала больше обмена теплом. Объясните, почему стандартный аргумент о недопроизводстве положительного внешнего эффекта может не работать в такой ситуации.
  3. Приведите аналогичные (в смысле идеи пункта 2), но не связанные с обменом теплом) примеры, характерные для благ, производством и потреблением которых занимаются люди.
Решение

  1. Пингвины в куче делятся на три группы: 1) те, кому слишком холодно; 2) те, кому слишком жарко; 3) те, кому в самый раз. Экономический аргумент, объясняющий описанную ситуацию, состоит из трех частей: стимулы пингвинов в каждой из групп, которым некомфортно, и возникающей в результате реакции на этим стимулы равновесной ситуации.
    У групп 1) и 2) есть стимулы к тому, чтобы менять сложившуюся ситуацию: пингвины снаружи кучи хотят двигаться внутрь, а пингвины в центре – выбраться наружу. Если бы пингвины в центре кучи находились на более комфортном расстоянии, то у них не было бы стимулов двигаться и менять свое положение. Но тогда те пингвины, которые стоят с краю, всегда там бы и оставались и замерзали бы насмерть. В конце концов, те пингвины, которые сейчас в центре, рано или поздно оказались бы с краю и замерзли тоже. Движение всей кучи – в интересах даже тех пингвинов, кто сейчас не мерзнет, они готовы рано или поздно выполнить свой долг и постоять с краю.
  2. Стандартная теория подразумевает, что производство блага, связанного с внешним эффектом, затратно. Например, если кто-то делает прививку от гриппа, то он снижает не только свою вероятность заразиться, но и вероятность заразиться для окружающих, создавая тем самым положительный внешний эффект. Для кого-то стоимость вакцины может превысить его собственную выгоду, но быть меньше суммарной выгоды его и окружающих (которые он не учитывает при принятии решения) –– поэтому прививок в равновесии делается меньше, чем оптимальное число. В случае пингвинов, однако, создание положительного эффекта для окружающих бесплатно (каждый тратит на обогрев других только то тепло, которым иначе обогревал бы воздух), поэтому частные выгоды превышают частные издержки для каждой особи. Кроме того, что важно, существует максимальное значение производства данного «блага»: каждый пингвин принимает решение, вступить в кучу или нет. Можно представить себе равновесную ситуацию, в которой все пингвины приняли решение участвовать в процессе, но недопроизводства по сравнению с оптимумом нет, потому что достигнут верхний предел. Таким образом, ключевыми свойствами ситуациями, обеспечивающими вероятную эффективность, является конечность (дискретность) блага и низкие издержки его «производства».
  3. Нужно найти примеры положительного внешнего эффекта с бесплатным или очень дешевым производством отдельной единицы, а также с просто ограниченным сверху возможным объемом производства. В частности, это могут быть сетевые блага: телефоны и социальные сети. Частные издержки подключения к такой сети низки, поэтому внешний эффект, создаваемый подключением, не влияет или не сильно влияет на эффективность.

6. Задача 12

В N-ске есть 150 человек, которым утром нужно улететь в Москву (возвращаться они не пла- нируют). Готовность платить за билет каждого из них зависит от времени вылета рейса; для каж- дого пассажира существует некое идеальное для него время вылета, и чем больше отклонение фактического времени от идеального, тем меньше его готовность платить. Готовность платить пассажира i можно рассчитать по формуле
$V_{i}(t)=8−2∣t−t^*_{i} ∣$,
где $V_{i}(t)$ –– максимальная цена, которую пассажир $i$ готов заплатить за билет (в тыс. руб.), $t$ – фактическое времяв ылета , а $t^*_{i}$ -идеальное время вылета с точк изрения пассажира $i$.
Разные пассажиры предпочитают разное время вылета. Количество пассажиров с соответствующими значениями $t^*_{i}$ представлено в таблице.
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t^*_{i} & n \\
6 ч. утра & 30 \\
7 ч. утра & 40 \\
8 ч. утра & 60 \\
9 ч. утра & 20 \\
\hline
\end{array}
В связи с небольшим размером рынка рейсы из N-ска в Москву организует только одна авиакомпания –– «N-авиа». В распоряжении авиакомпании есть один самолет вместимостью как раз 150 человек. Издержки на осуществление рейса равны 500 тыс. руб. независимо от количества проданных билетов и времени вылета. Компания стремится к тому, чтобы ее прибыль от рейса была максимальной.

  1. Предположим, компания назначает единую цену на все билеты. Какую цену она назначит и какое время вылета она выберет (время вылета необязательно целое)?
  2. Предположим,что,несмотрянато,чтовсеместавсамолетеодинаковые,ком- пания может назначать на них разные цены (вплоть до того, что каждое из 150 мест может быть продано по своей цене). В этом случае процесс взаимодействия компании с потенциальными пассажирами устроен так:
    • Компания определяет время вылета и цены на разные места и публикует эту информацию на сайте;
    • Когда человек заходит на сайт компании, он, видя время вылета и цены, решает, будет ли он покупать билет. Если он покупает билет, то он покупает самое дешевое место из оставшихся.

    Предположим, что чем раньше для человека идеальное время вылета, тем раньше он приходит на сайт для покупки билетов (те, кто привык рано вставать, привыкли все дела делать раньше).* Найдите время вылета, которое выберет авиакомпания, и определите, сколько ценовых категорий мест она выделит, каковы будут количество мест и цена билета в каждой категории. Укажите в ответе все оптимальные для авиакомпании варианты.

*Более реалистично было бы предполагать случайный порядок захода посетителей на сайт, однако такая предпосылка значительно усложняет решение.

Решение

  1. Меняя время вылета $t$, фирма меняет готовность потребителей платить и тем самым кривую спроса на билеты. Поэтому один из способов решения задачи — найти кривую спроса, оптимальную цену и максимальную прибыль при каждом $t$, а затем промаксимизировать эту прибыль по $t$.

    Этот способ, однако, трудоемок. В данном случае легче найти, какое $t$ максимизирует спрос при данном $p$, затем уже максимизировать прибыль по $p$.
    При цене $p$ захотят купить билет потребители, для которых $t_{i}\in \left[\frac{t−(8−p)}{2};\frac{t+(8−p)}{2} \right]$.Это отрезок длины $(8 − p)$ c центром в точке $t$.
    Заметим, что при $p\le5$ тыс. руб., всегда можно найти отрезок длины $(8 − p)$, накрывающий множество $t^*_i\in\{6, 7, 8, 9\}$. Например, можно выбрать отрезок с центром $t = 7,5$. Иными словам, в этом случае фирма всегда может выбрать $t$ так, чтобы билеты захотели купить все 150 человек –– достаточно выбрать $t = 7∶30$ утра. Максимальная выручка в данном случае достигается при цене 5 и равна $5⋅150 = 750$.

    При $p\in(5; 6]$, отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 3 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем $t^*_i\in\{6, 7, 8\}$, спрос предъявят 130 человек, а если накрыть группы с идеальным времени 7, 8 и 9 часов, спрос предъявят 120 человек. Максимальная выручка равна $130 ⋅ 6 = 780$, для ее достижения нужно назначить $t = 7$ утра.

    При $p\in(6; 7]$, отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 2 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем 6 и 7 часов, спрос предъявят 70 человек; 7 и 8 часов –– 100 человек; 8 и 9 часов –– 80 человек. Максимальная выручка равна $100 ⋅ 7 = 700$, для ее достижения нужно назначить $t = 7:30$ утра.

    При $p\in(7; 8]$, отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 1 группу потребителей. Это должна быть самая многочисленная группа. Таким образом, максимальная выручка в данном случае равна $8 ⋅ 60 = 480$, для ее достижения нужно назначить $t = 8$ утра.

    При $p > 8$ ни один потребитель не приобретет билет ни при каком времени вылета.
    Сравнивая выручку во всех случаях выше, получаем, что оптимальным является назначение цены 6 тыс. руб. за билет и времени вылета 7 часов утра. (Прибыль фирмы составит 280 тыс. руб.)

  2. Для лучшего понимания происходящего рассмотрим пару примеров. Фирме имеет смысл выделять несколько ценовых категорий билетов, если она сможет продать билеты дороже тем, кто готов за них платить больше. Для этого необходимо, чтобы больше была готовность платить именно тех потребителей, кто позже приходит на сайт. Например, если установить время вылета $t = 9$ часов утра, то готовности платить для четырех групп будут равны $(2; 4; 6; 8)$ тыс. руб, и если фирма выделит 4 категории билетов: 30 билетов по 2 тыс., 40 билетов по 4 тыс., 60 билетов по 6 тыс., и 20 билетов по 8 тыс., она сможет продать билет каждому потребителю по его готовности платить, и в итоге получит выручку 740 тыс. руб, что гораздо больше, чем максимальная выручка
    при $t = 9$, если назначать единую цену (480 тыс. руб.).

    С другой стороны, если установить время вылета $t = 7$ часов утра, то готовности платить будут равны $(8; 6; 4; 2)$ тыс. руб, и трюк с выделением нескольких категорий не пройдет, так как самая ранняя группа купит билеты по 2, а не по 8, и.т.д. В этом случае фирма не сможет заработать выручку больше, чем в случае установления единой цены.
    Несмотря на то, что при $t = 9$ фирма может изъять у каждого потребителя его готовность платить, не факт что $t = 9$ является оптимальным, ведь фирма, меняя $t$, может менять сами готовности платить. Тем не менее, из примеров выше становится ясно, что ценовая дискриминация будет приносить выгоду скорее при больших $t$, чем при маленьких.

    Теперь перейдем непосредственно к решению задачи. Будем называть группы потребителей по идеальному для них времени вылета; за $V_t$ обозначим готовность платить члена группы с идеальным временем $t$.
    Заметим, что при оптимальной для фирме ценовой политике выполнено следующее: если некая группа потребителей покупает билеты, то все группы, для которых идеальное время вы- лета меньше, тоже покупают билеты. Действительно, если это не так, то фирма может опустить цену на часть билетов так, чтобы более «ранние» группы купили их, не меняя поведение более «поздних» групп, и прибыль ее увеличится.
    Таким образом, в оптимуме возможны 4 варианта: (1) Все потребители покупают билеты; (2) Только группы 6, 7, 8 покупают билеты; (3) Только группы 6 и 7 покупают билеты; (4) Только группа 6 покупает билеты.

    Будем рассматривать эти 4 случая по отдельности.

    Случай 1. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только $t\in[6; 9]$. Встанем в $t = 9 $и будем уменьшать $t$. При $t\in[8,5; 9]$ готовности платить $V_6$, $V_7$, $V_8$ и $V_9$ будут удовлетворять соотношению $V_6\le V_7\le V_8\le V_9$. Выделяя 4 категории билетов — 30 билетов по $V_6$ тыс., 40 билетов по $V_7$ тыс., 60 билетов по $V_8$ тыс., и 20 билетов по $V_9$ тыс, фирма сможет изъять у каждого потребителя его готовность платить. При этом при уменьшении $t$ суммарная готовность платить групп 6, 7 и 8 растет сильнее, чем падает суммарная готовность платить группы 9 (так как $2⋅(30+40+60) > 2⋅20$), и поэтому максимальная выручка на этом участке достигается при $t = 8,5$; несложно посчитать, что она равна 850 тыс. руб. При $t\in[8; 8,5)$ будет выполнено соотношение $V_6\le V_7\le V_9⩽ V_8$, и потому, чтобы продать билеты всем группам, фирме придется установить единую цену для групп 8 и 9, равную $V_9$ (для групп 6 и 7 цены по-прежнему равны $V_6$ и $V_7$). При этом на этом участке выручка уменьшается при уменьшении $t$, так как $2 ⋅ (30 + 40) < 2 ⋅ (20 + 60)$.

    При $t\in[7,5; 8)$ фирме придется устанавливать единую цену для групп 7, 8 и 9, равную $V_9$; выручка по-прежнему будет уменьшаться при уменьшении $t$, так как $2 ⋅ 30 < 2 ⋅ (40 + 20 + 60)$. При $t < 7,5$ фирме придется устанавливать единую цену на все билеты, чтобы все группы купили билет. Эта цена равна $V_9$, и поэтому выручка, очевидно, будет убывать при уменьшении $t$.
    Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является $t = 8,5$. При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 3000, 40 билетов по 5000 и 80 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб.

    Случай 2. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только $t\in[6; 8]$. (Про группу 9 забудем, будем считать, что фирма предлагает только 130 билетов.) Встанем в $t = 8$ и будем уменьшать $t$. Аналогично Случаю 1, при $t\in[7,5; 8]$ готовности платить $V_6$, $V_7$ и $V_8$ будут удовлетворять соотношению $V_6\le V_7\le V_8$, и потому фирма сможет изъять у каждой из трех групп ее излишек, выделяя три ценовые категории. При этом выручка будет возрастать при уменьшении $t$, так как $2 ⋅ (30 + 40) > 2 ⋅ 60$. На этом участке оптимальным является $t = 7,5$, несложно посчитать, что максимальная выручка опять равна 850 тыс. руб.

    При $t < 7,5$ фирме придется назначать единую цену для групп 7 и 8, равную $V_8$; так как $2 ⋅ 30 < 2 ⋅ (40 + 60)$, выручка будет убывать при уменьшении $t$. При $t < 7$ цена должна быть общей для всех трех групп, и выручка вновь будет убывать при уменьшении $t$.
    Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является $t = 7,5$. При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 5000 и 100 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб.

    Случай 3. Очевидно, что выручка фирмы не больше $8 ⋅ (30 + 40) < 850$, и потому этот вариант не может быть оптимальным.

    Случай 4. Очевидно, что выручка фирмы не больше $8 ⋅ 30 < 850$, и потому этот вариант не может быть оптимальным.

Первый этап

1. Ностальгия

В маленьком поселке где-то в центральной России на берегу живописной реки одиноко стоит магазин, продающий только клюквенную настойку (других магазинов в поселке нет). Несмотря на то, что настойка особенно популярна в конце лета, годовой спрос на нее всегда равен $q_t=\max\{100-P_t; 0\}$, где $P_t$ – цена бутылки в году $t$, а $q_t$ – количество купленных бутылок в тысячах. Продавец настойки закупает ее у поставщика по цене $c=50$ рублей за бутылку и больше не несет никаких издержек.

Владелец магазина спокойно максимизировал прибыль, пока однажды накануне Нового года руководить поселком не был назначен новый чиновник, срок полномочий которого составляет ровно 6 лет. Этот чиновник нашел нарушения в работе магазина, но вместо того чтобы заставить владельца их устранить, потребовал денег:

— В течение года ($t=0$) я буду смотреть, как ты будешь работать и какую прибыль $\pi_0$ получишь, а потом (от $t=1$ до $t=5$) я тебя контролировать перестану, а ты мне за это будешь отдавать каждый год всего $0,8$ % от величины $\pi_0$ за каждую проданную тысячу бутылок.

Владелец магазина загрустил, с ностальгией вспомнив о тех временах, когда он мог спокойно продавать настойку. Но потом ему пришла в голову блестящая идея: если получить в $t=0$ отрицательную прибыль, то тогда чиновнику в соответствии с уговором еще пять лет придется платить самому! (Известно, что этот чиновник – человек слова.) С другой стороны, нести большие убытки тоже не хочется, тем более что в кредит на текущий год ему точно никто больше 250 тысяч рублей не даст (а значит, убытки не могут быть больше 250 тысяч рублей).

Считайте, что владелец магазина может менять цену только в начале каждого года. Какие цены ему нужно установить в каждом из шести лет от $t=0$ до $t=5$, чтобы максимизировать суммарную прибыль за все годы (без дисконтирования)?

Решение

Если средние издержки фирмы постоянны и равны $c$, то ее прибыль можно записать как \linebreak $\pi_t=q_t(P_t-c)$, такой записи мы будем придерживаться в течение всего решения.

Разберемся с единицами измерения. Чиновник требует платить $0,8$ % от прибыли за каждую проданную тысячу бутылок. То есть, например, если прибыль в текущем году составит 500 тысяч рублей, то в последующие годы придется по $500\cdot 0,008$ тысяч рублей за каждую тысячу бутылок, или, что то же самое, по по $500\cdot 0,008= 500/125$ рублей за каждую бутылку. Таким образом, средние издержки магазина, начиная с первого года, увеличатся на $\pi_0/125$ рублей.

Пусть $\pi_0$ – прибыль текущего года. Тогда функция суммарной прибыли (здесь и далее – в тысячах рублей) за 6 лет имеет вид
\[
\pi_0+ \underbrace{(100-P_1)\left(P_1-50-\frac{\pi_0}{125}\right)}_{\textstyle\pi_1}
+ \underbrace{(100-P_2)\left(P_2-50-\frac{\pi_0}{125}\right)}_{\textstyle\pi_2} + \ldots + \underbrace{(100-P_5)\left(P_5-50-\frac{\pi_0}{125}\right)}_{\textstyle\pi_5}.
\]
Если цена текущего года $P_0$ выбрана и $\pi_0$ определено, то все остальные прибыли – квадратичные параболы с ветвями вниз, причем одинаковые, не зависящие друг от друга и имеющие вершины в точках
\[
P_t= \frac{100+50+\pi_0/125}{2}=75+\frac{\pi_0}{250}, \quad \text{где } t\in\{1, 2, 3, 4, 5\}.
\]
Тогда максимальное значение прибыли за пять последующих лет равно
\[
\sum_{t=1}^5 \pi_t=\pi_1+\pi_2+\pi_3+\pi_4+\pi_5=5\left(100-75-\frac{\pi_0}{250}\right)\left(75+\frac{\pi_0}{250}-50-\frac{\pi_0}{125}\right)=5\left(25-\frac{\pi_0}{250}\right)^2.
\]
А суммарная прибыль за все годы составит
\[
\Pi = \pi_0 + \sum_{t=1}^5 \pi_t= \pi_0+5\left(25-\frac{\pi_0}{250}\right)^2.
\]

Посмотрим, чему может быть равна $\pi_0$. Функция $\pi_0=(100-P_0)(P_0-50)$ – парабола с ветвями вниз, область значений которой простирается от $-\infty$ до 625 (при $P_0=75$). Ограничение на величину убытков сокращает область допустимых значений $\pi_0$ до отрезка $[-250; 625]$.

Функция $\Pi$, как нетрудно проверить, – парабола с ветвями вверх и вершиной в $\pi_0=0$. Чем дальше от вершины параболы (в любую сторону, так как она симметрична), тем больше ее значение, следовательно, $\pi_0=625$ приносит бОльшую суммарную прибыль, чем $\pi_0=-250$.

Отсюда нетрудно посчитать, что $P_0=75$, $P_t=77,5$, где $t\in {1, \dots, 5}$.

2. Таргетировать или нет?

В стране Альфа производится и потребляется единственный товар, спрос на который имеет вид $Y=M/P$, где $Y$ – количество товара, $P$ – его цена, $M$ – денежная масса. Товар производят 100 одинаковых фирм. Для каждой фирмы ее выпуск ($y$) следующим образом зависит от количества нанятых ею работников ($L$, в человеко-часах): $y=2\sqrt{L}$. Рынок товара является совершенно конкурентным. Фирмы максимизируют номинальную прибыль.

Номинальную заработную плату одного работника в стране Альфа ($w$) устанавливает профсоюз. Лидеры профсоюза считают, что справедливый уровень реальной зарплаты равен 1, и стараются выбрать номинальную зарплату так, чтобы реальная была как можно ближе к единице.

Денежную массу в стране Альфа определяет центральный банк, точнее, его глава Джон Смит. Это господин устанавливает денежную массу так, чтобы максимизировать свое счастье. Его счастье положительно зависит от уровня реального ВВП, потому что за высокий реальный ВВП Смита может похвалить президент. Кроме того, главу центрального банка раздражает нестабильность цен (как инфляция, так и дефляция). Поэтому'тому уровень счастья Джона Смита описывается следующим уравнением: $U=Y-50(\pi/100)^2,$ где $\pi$ – уровень инфляции (в процентах) в стране Альфа по~отношению к предыдущему году (в прошлом году уровень цен был равен 1).

Накануне наступления нового года события в стране Альфа развиваются так: профсоюз устанавливает номинальную заработную плату на следующий год; затем центральный банк, зная решение профсоюза, выбирает денежную массу; после этого фирмы, зная все предыдущие решения, выбирают оптимальный объем производства.

  1. Определите равновесные уровни выпуска и цен в стране Альфа.
  2. В стране Альфа обсуждается законопроект о том, что центральный банк должен придерживаться политики таргетирования денежной массы. Если закон будет принят, Джон Смит должен будет заранее объявить, какая денежная масса будет установлена в стране, и после этого не~сможет менять свое решение. Затем, зная его решение, профсоюз будет выбирать номинальную заработную плату, и, наконец, фирмы выберут объем производства. Определите равновесные уровни выпуска и цен в стране Альфа в случае, если закон будет принят.
  3. Если вы правильно решили два предыдущих пункта, у вас должно было получиться, что счастье Джона Смита увеличивается в случае принятия закона. Проверьте это. Приведите содержательное экономическое объяснение этого факта.
Решение

  1. Решать этот пункт мы будем в три этапа: сначала рассмотрим действия фирм, потом действия центрального банка, а потом––профсоюза.
    Начнем с того, что выведем функцию предложения. Прибыль одной фирмы имеет вид:
    $\pi=P\cdot2\sqrt{L}-wL=Py-w(y/2)^2$.
    Относительно y это парабола с ветвями вниз, вершина которой $y^*=2P/w$. Следовательно выпуск всех фирм, то есть совокупное предложение, имеет вид: $Y=200P/w$.
    Решим теперь задачу центрального банка. Конечно, по условию задачи центральный банк напрямую воздействует на денежную массу, однако выбирая денежную массу, он может определять уровень цен, который сложится в экономике. В условии задачи нас спрашивают про цены, поэтому для удобства выразим счастье Джона Смита через $P$, а не через $M$:
    $U=Y-50\pi^2=\frac{200P}{w}-50(P-1)^2=-50P^2+100(1+\frac{2}{w})P-50$.
    Относительно $P$ это парабола с ветвями вниз, вершина которой $P=\frac{1+2}{w}$. Следовательно, выпуск будет равен $Y=\frac{200(w + 2)}{w^2}$.
    Понимая, как устроено решение центрального банка, профсоюз подберет номинальную заработную плату так, чтобы реальная в точности равнялась единице:
    $\frac{w}{P}=1$, $\frac{w}{1+2/w}=1$, $w=2$.
    Отсюда нетрудно посчитать, что $P^*=2$, $Y^*=200$.

  2. Важное отличие от предыдущего случая состоит в том, что теперь глава центрального
    банка понимает, что какой бы уровень цен он ни выбрал, реальная заработная плата $w/P$ в результате действий профсоюза обязательно будет равна 1, откуда $Y=200$. Получается, что центробанк не влияет на реальный ВВП и должен заботиться только об инфляции, которую он может минимизировать, выбрав $P^*=1$. Формально,
    $U=Y-50\pi^2=\frac{200P}{w}-50(P-1)^2=200-50(P-1)^2$.
    Эта функция достигает максимума при $P^*=1$, при этом $Y^*=200$.
    Примечание. В обоих пунктах можно выражать счастье Джона Смита не через уровень цен, а через величину денежной массы. Тогда решение будет более громоздким, но результат получится такой же. Попутно вы найдете, что в пункте 1 $M^*=400$, а в пункте 2 $M^*=200$.

  3. Уровень выпуска в обоих случаях одинаковый, а инфляция во втором случае равна нулю (в то время, как в первом случае она больше нуля). Поэтому уровень счастья Джона Смита во втором случае выше.
    Эта задача иллюстрирует преимущества ситуации, когда центральный банк проводит политику по заранее определенным правилам (будь то таргетирование денежной массы или таргетирование инфляции, или еще какое-то правило монетарной политики).
    При отсутствии ограничений у центрального банка, он всегда имеет стимул напечатать побольше денег, чтобы попробовать увеличить выпуск. Остальные экономические агенты понимают это, и ожидают высокой инфляции. Которая в результате и возникает.
    Если же свобода действий ЦБ ограничена правилами, то, как мы видим из решения задачи, при том же самом уровне выпуска удается обеспечить более низкую инфляцию.
    Примечание. Почему бы в пункте 1 профсоюзу не вести себя так же, как в пункте 2, и не установить $w=1$? Ведь профсоюзу вроде бы все равно, а центральному банку будет лучше?
    Если профсоюз выберет такую зарплату в пункте 1, то функция счастья центрального банка примет вид:
    $U=Y-50\pi^2=200P-50(P-1)^2=-50P^2+300P-50$.
    В этом случае ЦБ, конечно, выберет $P=3$, а значит, реальная зарплата окажется равна $1/3$ и цель профсоюза не будет достигнута. Заметим, что в этом случае в экономике будет наблюдаться высокая инфляция, однако и выпуск будет больше, чем $200$.

3. Утилизация

В стране  N, разделенной на регионы W и E, введены суровые таможенные правила относительно ввоза на ее территорию продуктов питания. Если кто-то пытается ввезти продукты незаконно, то весь контрафакт изымается и уничтожается по одной из двух технологий. Будем считать, что вся еда, импортируемая в эту страну, делится на два типа — сыр пармезан и персики.

В регионе W незаконно ввезенную еду раскатывают бульдозерами. Бульдозеры имеются в неограниченном количестве, а трудовых ресурсов есть только 35 единиц. Если нанять единицу труда, то можно раздавить тонну незаконного пармезана или тонну незаконных персиков. Однако с ростом количества нанятого труда приобретаются знания и накапливается опыт (ранее уничтожением еды никто не занимался), и все единицы труда сверх 10-й, занятые в раздавливании пармезана, могут раскатать уже не 1, а целых 2 тонны сыра. То же самое и с персиками: первые 10 единиц труда будут раскатывать по 1 тонне персиков, а все следующие — по 2 тонны.

В регионе E незаконно ввезенную еду сжигают на кострах. Так же, как и в регионе W, костров хватит на любое количество продуктов, а труд в этом регионе ограничен 15 единицами. Если нанять единицу труда, то можно сжечь 2 тонны пармезана или 2 тонны персиков. Повышения квалификации во регионе E не происходит, поскольку роль труда в процессе сжигания невелика.

Продукты можно перевозить между регионами без затрат ресурсов, а ни миграции рабочей силы, ни перемещения технологий не происходит.

Назовем кривой утилизационных возможностей (КУВ) множество точек в координатах (сыр; персики), ограничивающих доступные наборы из уничтоженных продуктов. Постройте суммарную КУВ страны.

Решение

Запишем производственные (или утилизационные) функции в регионе W.
\[x=\begin{cases}
L_x, & \text{если } 0\le L_x\le 10, \\
2L_x-10, & \text{если } 10 < L_x\le 35. \end{cases}
\qquad\qquad y=\begin{cases}
L_y, & \text{если } 0\le L_y\le 10, \\
2L_y-10, & \text{если } 10< L_y\le 35. \end{cases}\]
Одновременно $L_x\le 10$ и $L_y\le 10$ не может быть, так как в этом регионе $L=35$. Поэтому рассматриваем три случая:

  1. $L_x\le 10$, $L_y > 10$. Тогда $x=L_x$ и $y=2L_y-10$. Поскольку $L_x+L_y=35$, получаем ограничение: $x+0,5y+5=35$, или $y=60-2x$. КУВ региона будет иметь такой вид при $x\le 10$.
  2. $L_y\le 10$, $L_x> 10$. Тогда $x=2L_x-10$ и $y=L_y$. Получаем ограничение: $y+0,5x+5=35$, или $y=30-0,5x$. КУВ региона будет иметь такой вид при $y\le 10$.
  3. $L_x\ge 10$, $L_y\ge 10$. Тогда $x=2L_x-10$ и $y=2L_y-10$. Получаем ограничение $0,5x+5+0,5y+5=35$, $y=50-x$. КУВ региона будет иметь такой вид при $x>10$ и $y>10$.

Получаем уравнение КУВ первого региона:
\[y_1=\begin{cases}
60-2x_1, & \text{если }0\le x_1\le 10, \\
50-x_1, & \text{если }10< x_1 < 40, \\
30-0,5x_1, & \text{если }40\le x_1\le 60. \end{cases}
\]

В регионе E стандартный случай: $x_2=2L_x$, $y_2=2L_y$, при ограничении $L_x+L_y=15$ получаем $y_2=30-x_2$.

Допустим, всего страна хотела бы утилизировать $X$ единиц сыра. Для построения общей КУВ нам надо определить, как распределить утилизацию $X$ единиц между регионами так, чтобы общее количество утилизированного $Y$ было максимально.

Эту задачу можно решить аналитически <<в лоб>>, однако такой способ решения достаточно трудоемок. Следующее соображение позволяет значительно упростить решение.

Возьмем некое распределение $X=x_1+x_2$, в котором $x_1>0$, $x_2>0$ и посчитаем объемы утилизации персиков, исходя из полученных выше КУВ регионов; получим четыре числа $(x_1,y_1,x_2,y_2)$.
Рассчитаем также альтернативные издержки утилизации персиков в двух регионах в точках $x_1$ и $x_2$. Назовем их $OC_1$ и $OC_2$.

Если $OC_1\leqslant OC_2$, начнем перекидывать утилизацию сыра из второго региона в первый, пока это возможно. Поскольку альтернативные издержки в первом регионе не возрастают (КУВ выпукла вниз), а во втором регионе они постоянны, общий объем утилизации персиков будет возрастать (возможно, не строго); это будет происходить, пока мы не упремся в границу $x_2=0$ или $y_1=0$.

Аналогично, если $OC_1> OC_2$, начнем перекидывать утилизацию сыра из первого региона во второй, пока это возможно. И вновь, в силу того, какую форму имеют КУВ регионов, общий объем утилизации персиков будет возрастать; это будет происходить, пока мы не упремся в границу $x_1=0$ или $y_2=0$.

Таким образом, в оптимуме\footnote{Строго говоря, \emph{в хотя бы одном} из оптимумов, так как оптимальное распределение сыра между регионами может быть не единственным. Поскольку нас интересует лишь максимальное \emph{значение} $y_1+y_2$, нам достаточно найти хотя бы один оптимум.} хотя бы одно из четырех чисел $(x_1,y_1,x_2,y_2)$ равно нулю. Иными словами, мы доказали, что в оптимуме какой-то регион всегда утилизирует лишь один вид еды. (Для этого было существенно, что альтернативные издержки производства в обоих регионах нестрого убывают!)

Это значит, что для построения суммарной КУВ достаточно построить множество точек $(X,Y)$, которые получаются, если один из регионов находится в крайней точке своей КУВ. Для этого:

  1. возьмем КУВ первого региона и перенесем параллельно вверх на 30 (второй регион утилизирует только персики);
  2. возьмем КУВ первого региона и перенесем параллельно вправо на 30 (второй регион утилизирует только сыр);
  3. возьмем КУВ второго региона и перенесем параллельно вверх на 60 (первый регион утилизирует только персики);
  4. возьмем КУВ второго региона и параллельно перенести вправо на 60 (первый регион утилизирует только сыр);
  5. возьмем объединение всех получившихся множеств (включим также все точки с меньшими объемами утилизации).

Получившееся множество и есть множество доступных наборов. Ломаная, являюшаяся его границей (не включая оси), как раз и будет являться искомой кривой утилизационных возможностей. Она изображена на рисунке внизу. Факультативно можно вывести уравнение этой кривой:
\[y=\begin{cases}
90-x, & \text{если } 0\le x\le 30, \\
120-2x, & \text{если } 30\le x\le 40, \\
60-0,5x, & \text{если } 40\le x\le 60, \\
90-x, & \text{если } 60\le x\le 90. \end{cases}
\]

4. Рейтинг RePEc

Рейтинг Research Papers in Economics (RePEc) ранжирует ученых, работающих в экономике и смежных областях, и целые экономические институты (далее будем считать, что ранжируются институты) по количеству и качеству научных публикаций. Общий принцип составления рейтинга выглядит так. Сначала фиксируется набор из $N=31$ критериев. После автоматического сбора и обработки информации о публикациях с помощью специальных алгоритмов по каждому критерию строится свой рейтинг: институт получает то или иное место внутри рассматриваемого региона R (регионом может быть страна, группа стран или весь мир). Затем для каждого института вычисляется среднее гармоническое всех его мест в регионе R по каждому из $N$ критериев, по этой величине институты ранжируются в итоговом рейтинге (чем среднее гармоническое меньше, тем институт выше).

  1. Институт X занимает более высокие места в мире, чем институт Y, по каждому критерию. Верно ли, что в итоговом рейтинге X занимает более высокое место в мире, чем Y?
  2. В своей стране в итоговом рейтинге институт X занимает более высокое место, чем институт Y. Верно ли, что X занимает более высокое место в мире, чем Y?
  3. Посетитель сайта RePEc имеет возможность построить собственный рейтинг, выбрав вместо среднего гармонического другие меры агрегирования мест, в частности, среднее арифметическое. Какие преимущества может иметь использование среднего гармонического перед использованием среднего арифметического?
  4. Предположим, что все критерии независимы (то есть продвижение по одному из критериев ранжирования никак не связано с продвижениями по другим критериям). Университет Z находится в той области рейтинга, где его продвижение по каждому из критериев прямо пропорционально количеству вложенных в это направление ресурсов. А именно, если $r_i$ — первоначальная позиция университета Z по критерию $i$, а $m_i$ — вложенные в соответствующее направление деньги, то новое место университета Z будет равно $\hat r_i=\max\{r_i-m_i; 1\}$. Университет планирует потратить некоторую сумму денег $M>0$ на свое продвижение в рейтинге.
    Для простоты считайте, что любые суммы денег (в том числе потраченные на продвижение по отдельным критериям) могут измеряться только целыми числами.
    Как нужно потратить сумму $M$, чтобы добиться наилучшего прогресса?
Решение

Средним гармоническим ($HM$) и средним арифметическим ($AM$) \\ положительных чисел $a_1, \ldots, a_n$ называются величины
\[
HM=\frac{n}{\displaystyle\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}} \qquad \text{и} \qquad AM=\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}.
\]

a. Верно. Пусть $(x_1, \ldots, x_{31})$ и $(y_1, \ldots, y_{31})$ --- места институтов \(\textbf{X}\) и \(\textbf{Y}\) соответственно по каждому из критериев. По условию $x_i\leqslant y_i$ для всех $i=1, \ldots, 31$. Тогда $\frac{1}{x_i}\geqslant \frac{1}{y_i}$ для всех $i=1, \ldots, n$. Следовательно,
\[\frac{1}{x_1}+ \ldots \frac{1}{x_{31}} \geqslant \frac{1}{y_1}+ \ldots \frac{1}{y_{31}} \qquad \text{и} \qquad \frac{31}{\displaystyle\frac{1}{x_1}+ \ldots \frac{1}{x_{31}}}\leqslant \frac{31}{\displaystyle\frac{1}{y_1}+ \ldots \frac{1}{y_{31}}}.\]

б. Неверно. Приведем контрпример. Пусть в стране X и Y занимают следующие места: $x_1=\ldots=x_{16}=1$, $x_{17}=\ldots=x_{31}=2$ и $y_1=\ldots=y_{16}=2$, $y_{17}=\ldots=y_{31}=1$ соответственно. Тогда в стране X занимает первое место, а Y — второе. Пусть в мире места X и Y по этим же критериям таковы: $\hat x_1=\ldots=\hat x_{16}=1$, $\hat x_{17}=\ldots=\hat x_{31}=15$ и $\hat y_1=\ldots=\hat y_{16}=2$, $\hat y_{17}=\ldots=\hat y_{31}=1$. Так как $\frac{31}{23}<\frac{31}{17}$, то в мировом рейтинге Y расположен выше X.

в. При использовании среднего гармонического получают преимущество институты, которые добились серьезных успехов хотя бы по одному или нескольким критериям. Наоборот, если институт провалился по одному или нескольким критериям, то это не слишком сильно скажется на его общей позиции в рейтинге. При использовании среднего арифметического эффект от провалов был бы сильнее, а эффект от достижений —меньше. Таким образом, использование среднего гармонического стимулирует существенное продвижение институтов по отдельным критериям и нивелирует случайные провалы по отдельным критериям.

г. Сначала нужно потратить все деньги на продвижение по тому критерию, по которому университет достиг наилучших показателей на текущий момент (если таких критериев несколько, то можно выбрать любой один из них). Если после того, как университет стал первым по этому критерию, деньги остались, то нужно потратить все остатки на следующий наиболее успешный критерий и т.д. Геометрически оптимальность такой стратегии можно понять, если заметить следующее. Университет должен добиться минимального значения выражения \[\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\hat r_1}+ \ldots + \frac{1}{\hat r_{31}}},\] или, что то же самое, максимального значения выражения \[\frac{1}{\hat r_1}+ \ldots + \frac{1}{\hat r_{31}}\] (здесь $\hat r_i$ — новое место университета по $i$-му критерию). Но функция $f(x)=1/x$ выпукла вниз при $x>0$, поэтому максимальный прирост значения функции при уменьшении аргумента на 1 происходит при наименьшем значении аргумента. Аналогичный результат можно получить алгебраически, если зафиксировать все критерии кроме двух, перекинуть 1 единицу денег с одного критерия на другой и оценить разность рангов университета до переброски денег и после (окажется, что перекидывать деньги выгодно на более сильные направления).

5. Поликлиники-фондодержатели

В ряде стран (например, в Великобритании с 1993 г., и в нескольких регионах современной России) используется система оплаты услуг здравоохранения, при которой деньги, предназначенные для оплаты стационарной помощи населению, передаются в распоряжение поликлиник, направляющих пациентов в стационар на операции.
Иными словами, поликлиника выступает самостоятельным покупателем услуг стационара; если фонд оплаты услуг стационара не будет израсходован полностью, сэкономленные средства поликлиника может потратить по собственному усмотрению, например на повышение оплаты труда врачей поликлиники. Эта система получила название "поликлиника-фондодержатель".

  1. Приведите экономическое объяснение того, как такая система может способствовать улучшению здоровья населения.
  2. На практике независимую экспертизу того, необходимо ли пациенту направление в стационар, провести очень сложно. Какая проблема может возникнуть в работе механизма, описанного вами в пункте 1?
  3. Предложите три меры, которые помогут частично решить проблему, описанную вами в пункте 2.
Решение

1. У поликлиники возникают финансовые стимулы улучшать качество амбулаторной помощи (расширение профилактики, более качественное ведение хронических больных), так, чтобы не запускать болезни и не доводить до операции. Таким образом, важно наличие двух составляющих:

  1. Наличие финансового стимула: если мы меньше отправляем в стационар, то мы экономим деньги.
  2. Наличие стимула улучшения качества амбулаторной помощи: профилактика, качественное ведение хронических заболеваний снижают расходы

Основные ошибки:

  1. Не ясно, почему возникает экономия
  2. Денежные средства не выдаются населению на руки: в старой системе они шли от государства к стационарам, в новой от государства к поликлинике, затем от поликлиник к стационарам
  3. Путаница между поликлиникой (диагностируют заболевание, предлагают лечение на дому) и стационаром (лечат на месте, проводят операции)

2. В ряде случаев операции в любом случае не избежать; в этих случаях у поликлиники возникают \emph{плохие стимулы} — стимулы не направлять пациентов в стационар, даже когда им это необходимо.

Основная ошибка: отправляем больше, чем нужно (экспертиза проверяет, поставили ли мы верный диагноз, а не решает, отправлять или нет, т.е. нет стимулов тратить больше денег).

3.

  1. Упрощение проведения независимой медицинской экспертизы (смягчение проблемы асимметрии информации), например, за счет упрощения административных процедур или создания специального органа. В этом случае пациенту или его страховщику будет проще оспорить решение поликлиники о не-направлении в стационар. Сюда относится любой внешний контроль и наказания, связанные с оценкой неоправданности не направления в стационар
  2. Введение оплаты услуг поликлиники на основе показателей качества лечения: например, остаток средств фонда поликлиника может потратить только если достигнут определенный интегральный уровень качества (например, низкая доля запущенных заболеваний , низкий уровень смертности пациентов на дому, и т.д.). Важно учитывать те показатели, которыми поликлиника не сможет легко манипулировать, не вкладывая в реальное улучшение качества (как было в случае с госпитализациями).
    Комментарий: C точки зрения современной микроэкономики, фондодержание — лишь один из возможных стимулирующих "контрактов" между поликлиникой и государством, в котором платеж, получаемый поликлиникой, де-факто привязан к числу пациентов, которым не понадобился стационар. Однако не очевидно, что этот контракт оптимален. В оптимальном контракте платеж поликлиники вполне может быть привязан и к множеству других показателей, которые полнее и с меньшим "шумом" (связанным со случайностями и манипуляциями) отражают качество работы поликлиники.
  3. Стимулирование конкуренции между поликлиниками, например за счет отмены обязательного прикрепления к поликлинике по месту жительства.

6. Полезные конфеты

Кондитерская фабрика небольшого города N-ска собирается запустить в продажу новый вид конфет, которые будут нацелены, прежде всего, на детей младшего школьного возраста. Уникальный состав конфет, по мнению кондитеров, должен способствовать повышению усидчивости детей (а следовательно, и их успехам в учебе). Для проведения исследований перед началом продаж руководство фабрики уже не в первый раз наняло молодого экономиста Васю.
Руководство фабрики решило профинансировать три исследования: фокус-группа*, эксперимент и пробные продажи, этот набор Вася изменить не может. Руководство также предлагает Васе ряд конкретных рекомендаций по проведению исследований, но им следовать необязательно, то есть, например, Вася может по-другому сформировать группы в пунктах 1 и 2, выбрать другой магазин в пункте 3 и т. п.
В каждом пункте от вас требуется указать и кратко объяснить достоинства и недостатки предложенных рекомендаций (а не самих типов исследования), а также дать Васе советы по улучшению предложенной методики.

  1. Фокус-группа нужна для выбора дизайна этикетки продукта и его позиционирования на рынке. Предлагается собрать семьи руководства фабрики (у кого есть –– с детьми), представить им несколько вариантов дизайна и узнать мнения как по поводу этикетки, так и по поводу того, насколько их может заинтересовать сам продукт. Если будет слишком много желающих поучаствовать, нужно разделить их на несколько групп и потом сравнить результаты.
  2. Эксперимент нужен,чтобы проверить заявление кондитеров о благотворном воздействии конфет на успехи детей в учебе. Для этого предлагается взять два класса детей из разных школ (чтобы не могли друг с другом делиться конфетами) и оценить их изначальные успехи с помощью несложного теста по математике. После этого нужно выдать детям из одной школы запас «особых» конфет, повышающих усидчивость, а детям из другой школы –– обычные конфеты. Каждый ребенок в течение недели должен будет съедать по 2–3 конфеты в день. «Особые» конфеты предлагается завернуть в обертку, разработанную на фокус-группе (чтобы заодно узнать впечатления детей), и рассказать детям про то, какие необычные конфеты им предсто- ит есть. Второй группе обычные конфеты выдаются в стандартной обертке и без комментариев. Через неделю нужно повторить тестирование в таком же формате (но, конечно, с другими задачами). Если во втором тестировании дети из класса с «особыми» конфетами покажут себя лучше, чем дети из класса с обычными конфетами, эксперимент признать успешным, посчитать в процентах разницу в средней успеваемости между группами детей и использовать эту цифру в рекламе.
  3. Пробные продажи предлагается провести в магазине при фабрике, где закупаются в основном сотрудники (фабрика расположена на окраине города и жилых домов рядом нет) и мелкие оптовики (цены в магазине при фабрике ниже). На этом этапе надо понять, какую цену можно установить и какие примерно объемы поставок планировать.

*Фокус-группой называется исследование, в ходе которого несколько человек (в пределах 6–12, иногда даже меньше) обсуждают что-либо с ведущим и между собой. Возможность общения участников друг с другом и не слишком формализованная процедура позволяют глубоко исследовать вопрос, получить обратную связь от потенциальных потребителей и даже сгенерировать новые идеи в процессе обсуждения.

Решение

Для всех трех пунктов требуется указать основные достоинства и критические недостатки, вынести рекомендацию по улучшению.
Вопросы касались именно организации исследования, соображения, касающиеся, к примеру, маркетинга, в расчёт не принимаются.
1. Достоинства (примеры):

  • большая мотивированность сотрудников фабрики
  • меньшие расходы на организацию

Критический недостаток 1 –– семьи руководства не являются репрезентативной выборкой, они выбираются неслучайным образом.
Критический недостаток 2 –– скорее всего, в этой выборке окажется много людей, не имею- щих детей вообще или не имеющие детей младшего школьного возраста и, следовательно, не являющихся целевой аудиторией
Рекомендации. Взять случайные семьи с детьми. Семьи должны быть из разных социаль- ных групп, чтобы обеспечить репрезентативность, и с детьми младшего школьного возраста, потому что именно они являются целевой группой.
2. Достоинства (примеры):

  • возможность учесть разнородность засчёт разных школ
  • контроль динамики за счёт двух тестов

Критический недостаток 1 –– эффект плацебо. Отличить эффект плацебо от эффекта конфет при предложенном сценарии исследования невозможно.
Критический недостаток 2 –– неправильная мера успешности. Разница в средней успевае- мости между двумя классами может быть вызвана не конфетами, а общей силой класса, уровнем учителей, особенностями программы и т.д.
Рекомендация: устранение эффекта плацебо.
Рекомендация: другой способ измерения. Надо сравнивать не результаты двух классов (по одному из тестов или в среднем), а приросты успеваемости.
3. Достоинства (примеры):

  • экономия на логистике
  • более широкий охват за счёт мелких оптовиков

Критический недостаток 1 –– нерепрезентативность выборки. Работники фабрики и мелкие оптовики не отражают средних жителей города, следовательно, корректно оценить спрос не получится.
Критический недостаток 2 –– отличия ценообразования в магазине при фабрике и других магазинах (об этом сказано в условии). Это не позволит правильно спрогнозировать цену.
Рекомендация: взять случайный магазин где-нибудь в городе, покупатели в котором будет более репрезентативны.