10 класс

1. Онлайн-вклады

Многие банки, работающие с физическими лицами, предлагают, наряду с обычными вкладами, так называемые онлайн-вклады. Клиенты, подключенные к онлайн-сервису банка (интернет-банкинг), имеют возможность открыть вклад в банке через Интернет без своего физического присутствия в одном из отделений банка. Зачастую процент по вкладу, открытому через онлайн-сервис банка, выше (хоть и незначительно, на десятые доли процентного пункта), чем по аналогичному вкладу, открытому лично в одном из отделений банка. Используя экономическую аргументацию, объясните, почему банкам может быть выгодно предлагать своим онлайн-клиентам более выгодные условия по депозитам.
Решение

Приведем возможные причины разницы в процентах по "очным " и онлайн-вкладам.

  1. «Снижение издержек». Отсутствие необходимости физического проведения операций, связанных с открытием онлайн-вклада, снижает издержки, связанные с функциональной деятельностью банка по открытию и обеспечению таких вкладов. Фактически, банки предлагают две разные услуги (обычный вклад и онлайн-вклад), осуществление которых связано с различными предельными издержками. Цены на такие услуги различаются.
  2. «Ценовая дискриминация». Поскольку условия вкладов, открытых лично или через онлайн-сервис, одинаковы за исключением цены предоставляемой услуги, можно считать, что банк, начисляя разный процент на депозит, осуществляет ценовую дискриминацию. Тем самым он привлекает новых клиентов, которые не готовы нести издержки, связанные с открытием вклада при личном присутствии в отделении банка, и не готовы оформить даже онлайн-вклад по "очному " проценту.
  3. Последний аргумент является существенным. Открытие онлайн-вкладов значительно снижает издержки для той группы людей, у которых высоки альтернативные издержки, связанные с использованием свободного времени. Для тех людей, которые ценят удобство открытия онлайн-вкладов, нет смысла повышать процент по вкладу, они согласились бы и на меньший, по сравнению с "очным ", процент по депозиту, что, безусловно, было бы выгодно банку. Однако банк повышает процент, а не снижает его, что преследует своей целью привлечь именно новых клиентов, тех, кто не готов класть деньги на депозит дистанционно даже по "очному " проценту. Поскольку повышение процента привлекает всех клиентов банка, которые готовы пользоваться интернет-сервисом, а не только тех, у кого высоки альтернативные издержки использования свободного времени, и поскольку у банка нет возможности идентифицировать клиентов и предлагать им разные проценты по вкладам, разница в процентах по "очному " вкладу и онлайн-вкладу не может быть значительной.
  4. «Плата за риск». Возможность осуществлять онлайн-вклады появилась в России относительно недавно. Большое количество людей относится с недоверием к подобному вложению средств. Чтобы стимулировать их принять решение в пользу онлайн-вкладов (что, в свою очередь, может снижать операционные издержки банка) банки предлагают им более выгодные условия по депозитам. При отсутствии повышенной ставки такие клиенты отказались бы осуществлять онлайн-вклады. Таким образом, повышая процент по вкладу, банк оплачивает риск недоверчивых клиентов. По указанной в предыдущем пункте причине разница в процентах по "очному " вкладу и онлайн-вкладу не может быть значительной.

2. Экономика "Звездных войн"

Фирма «Люк 7.0» производит лазерные мечи нового класса. Мечи могут производиться на трех разных заводах. Поступил заказ на 100 лазерных мечей, и необходимо распределить их производство по трем заводам оптимальным образом (так, чтобы суммарные издержки производства всей партии были минимальны).

Первый завод «Татуин» может производить неограниченное количество мечей, расходы на производство каждого составят 10 датариев, никаких других издержек фирма не понесет. Второй завод «Набу» также может производить неограниченное количество мечей, но общие издержки производства $q$ мечей на нем равны (в датариях)
$$TC(q)=\begin{cases}
25+5q, &\text{если } q > 0,\\
0, &\text{если } q = 0.
\end{cases}$$
Третий завод «Алдераан» может производить мечи только комплектами по двадцать, производство каждого из первых 20 мечей обойдется в 4 датария, в каждой последующей двадцатке один меч стоит на 10 % больше, чем в предыдущей.

Сколько мечей будет произведено на каждом заводе?

Решение

Можно заметить, что если нужно произвести не более 100 мечей, то на заводе "Татуин " мечи производить будет невыгодно. Действительно, на заводе "Алдераан " даже при производстве пятого комплекта издержки на один меч будут ниже чем на заводе "Татуин ": первые 20 мечей можно произвести за 80 датариев, вторые — за 88, третьи — меньше, чем за 97, четвертые — меньше, чем за 107, пятые — меньше, чем за 118. Таким образом, самый дорогой меч на "Алдераане " обойдется менее чем в 6 датариев. Значит, на заводе "Татуин " мечи производить не нужно, а все 100 мечей будут произведены на заводах "Алдераан " и "Набу ".

Так как фиксированные издержки у "Алдераан " отсутствуют, то пока производство одного меча стоит меньше на "Алдераан ", там и следует производить. Таким образом, первые 60 мечей точно будут произведены на этом заводе. Если далее начать производить мечи на "Набу ", то издержки производства дополнительного меча будут равны 5, что ниже, чем на "Алдераан ". Следовательно, если использовать "Набу ", то там надо производить все оставшиеся мечи. Однако за использование "Набу " нужно заплатить 25, и эти расходы нужно сравнить с экономией от производства последних 40 мечей на "Набу " вместо "Алдераан ". Производство последних 40 мечей на "Набу " обойдется в $25+5\cdot 40=225$, а на "Алдераан " — меньше, чем в $107+118=225$ (см. выше). Значит, на заводе "Алдераан " будут произведены все 100 мечей.

3. Опрос

Вася, начинающий экономист и большой любитель сладостей, получил от одной кондитерской фабрики заказ: исследовать, сколько средств жители его родного города N-ска тратят на пирожные. В N-ске есть три района: Центр, застроенный малоэтажными домами ещё в царское время, Спальный район, застроенный типовыми многоэтажками, и Частный сектор, застроенный частными домами. В Центре проживает 10 тысяч человек, в Спальном районе — 100 тысяч, в Частном секторе — 2 тысячи. Вася должен опросить 500 жителей N-ска. Определиться с тем, кого конкретно нужно опрашивать, Вася не может. Он рассматривает несколько альтернатив:

  1. воспользоваться имеющейся у него базой данных со списком адресов и домашних телефонов всех жителей города: случайным образом выбирать людей и звонить им, пока не наберется 500 ответивших человек;
  2. опросить по телефону отдельно 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора, выбрав их случайным образом из имеющейся у Васи базы данных со списком адресов и домашних телефонов всех жителей города;
  3. нанять 10 студентов, отправить их в 10 самых населенных домов N-ска и дать задание каждому студенту опросить по 50 жителей своего дома.

Вася должен провести высококачественное исследование — это первый приоритет Васи (халтуру заказчики не примут). С другой стороны, Вася хотел бы сэкономить на проведении опроса (при условии, что он будет высококачественным), потому что его гонорар не зависит от того, сколько денег он потратил в процессе работы.

а) Предположим, Васе нужно узнать средние расходы на пирожные в N-ске в целом. Какой метод вы бы посоветовали ему выбрать?

б) Предположим, Васе нужно узнать средние расходы на пирожные жителей каждого района N-ска по отдельности. Какой метод вы бы посоветовали ему выбрать?

Решение

a) Если выбирать только из предложенных методов, то первый (опросить по телефону 500 случайно выбранных жителей города) представляется наиболее удачным для определения средних расходов по городу. Благодаря закону больших чисел, средний результат по случайной выборке с большой вероятностью будет близок к искомому среднему результату по всему городу.

Во втором варианте (опросить 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора) используется смещённая выборка: доля опрошенных по каждому из районов (от числа всех опрошенных) не соответствует доле жителей, проживающих в этом районе (от числа всех жителей в городе). Например, в Частном секторе проживает $2/(100+10+2)\approx 1{,}7$ % от всех жителей города, но среди опрошенных их будет $50/(300+150+50) = 10$ % (от всех опрошенных). Если в разных районах расходы на пирожные существенно различаются (а этого разумно ожидать, поскольку в указанных районах скорее всего живут люди с разным социально-экономическим статусом), это приведёт к тому, что среднее по такой выборке не будет равняться среднему по всему городу. Например, если предположить, что в Центре расходы на пирожные на одного человека в среднем составляют 5 тыс. рублей в месяц, в Спальном районе 2 тыс. рублей в месяц и в Частном секторе 10 тыс. рублей в месяц, то средние расходы по городу составят

\[
5\cdot\frac{10000}{112000}+2\cdot\frac{100000}{112000}+10\cdot\frac{2000}{112000}\approx
2{,}41\text{ тыс. руб./мес.},
\]
а средние расходы по нашей выборке:
\[
5\cdot\frac{300}{500}+2\cdot\frac{150}{500}+10\cdot\frac{50}{500}=4{,}6\text{ тыс. руб./мес.}
\]
Такое расхождение в результатах свидетельствует о некачественности опроса при использовании второго метода. В силу того, что качество является первым приоритетом, мы не можем использовать этот метод.

Наконец, в третьем варианте (отправить студентов в 10 самых населённых домов) выборка также будет смещена: 10 самых населённых домов скорее всего находятся в Спальном районе (именно там находятся многоэтажки) и результат вообще не будет учитывать потребление пирожных в других районах (которое может существенно отличаться от потребления в Спальном районе). Таким образом, этот метод также нельзя рекомендовать.

Если выйти за рамких предложенных методов, то можно предложить модификацию второго: либо скорректировать квоту по каждому району так, чтобы она соответствовала доле жителей этого района во всём городе (то есть опросить 446 человек из Спального района, 45 человек из Центра и 9 человек из Частного сектора), либо использовать исходную выборку, но скорректировать результат, посчитав отдельно средние по каждому из районов, а затем сложив их с весами, равными доле населения соответствующего района во всём городе: то есть результат по Спальному району умножить на $100/112\approx 0{,}89$, результат по Частному сектору умножить на $2/112\approx 0{,}02$ и результат по Центру умножить на $10/112\approx0{,}09$, и всё сложить. Такой подход может дать даже лучший результат (имеющий меньшую дисперсию, то есть менее зависящий от случайности),
чем первый из предложенных методов, при условии, что в разных районах расходы на пирожные различаются сильно.

Ответ: первый метод (или модифицированный второй).

б) Если нас интересует среднее по каждому из районов, то оптимальным является второй подход. Как обсуждалось выше, третий подход скорее всего даст информацию только по одному району и поэтому заведомо не подходит. Первый подход в этом случае не оптимален: он больше подвержен случайности — например, может так случиться, что в результате случайного выбора наберётся совсем мало респондентов из Частно сектора и в этом случае данные по этому району будут очень ненадежны (вдруг нам случайно попадётся один человек и он окажется большим сладкоежкой?).

Ответ: второй метод.

4. Шахматный импорт

В королевстве Эколандия шахматы — очень популярный товар, продающийся на рынке совершенной конкуренции. Известно, что функция спроса на шахматы имеет вид $Q^d (p)=800-30p$. В Эколандии производством шахмат занимаются 10 фирм. Технология, используемая всеми фирмами, одинакова, а функции предельных издержек линейны. Каждая фирма производит 20 комплектов шахмат. Остальной товар ввозится на рынок из-за границы по фиксированной мировой цене. Если эколандцы полностью откажутся от импорта, то и рыночная цена, и объем выпуска каждой фирмы увеличатся на 60 %.

а) Какое количество товара потребляется в Эколандии и по какой цене? (Обозначим эту цену и количество за $p_0$ и $q_0$.) Какое количество шахмат производится внутри страны? Каков объем импорта?

Эколандцы намерены полностью отказаться от импорта, но при этом заинтересованы в том, чтобы рыночная цена и объем потребления оставалась на первоначальном уровне ($p_0$, $q_0$). Правительство согласно компенсировать отечественным продавцам разницу цен, выплачивая субсидию в размере $0,6p_0$ за каждый произведенный комплект шахмат.

б) Позволит ли эта мера сохранить прежнюю цену и объем потребления ($p_0$ и $q_0$) в отсутствие импорта?

в) Каковы необходимые затраты правительства на субсидирование шахматного производства с помощью потоварной субсидии, обеспечивающей прежнюю цену и объем потребления $p_0$, $q_0$? %Приведите экономическую интерпретацию этого факта.

Решение

а) При отказе от импорта объем выпуска каждой фирмы: $q_1 = q_0\cdot 1{,}6 =20\cdot 1{,}6 = 32$. Общий объем продаж в отсутствии импорта равен $Q^s_1 = 10q_1 = 320$ . Используя функцию рыночного спроса, найдем равновесную цену в отсутствии импорта: $P_1 = (800 - Q^s_1)/30 = (800 - 320)/30 = 16$. Значит, при наличии импорта рыночная цена составляет $P_0 = P_1/1{,}6 = 10$, а равновесный объем спроса равен $Q_0 = Q^d_0 = 800 - 30P_0 = 500$. При этом $Q^s_0 = 20\cdot 10 = 200$ ед. производится отечественными фирмами, а еще 300 ед. импортируется.

б) Предложенное субсидирование не позволит сохранить первоначальное равновесие в отсутствии импортеров. Приведем расчеты. Определим сначала функцию предложения отечественных производителей. Известно, что предельные издержки каждой отечественной фирмы линейны, следовательно, предложение фирмы также линейно: $P = MC(q)$. Пусть $P_0 = a + bq$. Так как по условию $q_0(10) = 20$ и $q_1(16) = 32$, то функция предложения имеет вид $P_0 = q/2$ или $q_0 = 2P$. Тогда рыночное предложение имеет вид $Q^s_0 = 10\cdot 2P = 20P$ за вывод функции предложения).

Введение потоварной субсидии $s = \Delta P = 6$ увеличит предложение: $Q^s_2 = 20(P+6)$. Равновесие будет отличаться от первоначального: $P_2 = 13{,}6$, $Q_2 = 392$. Значит, предложенная субсидия не поможет.

в) Ставка субсидии, необходимая для сохранения первоначального равновесия, может быть найдена из условия: $Q^s_2(P_0) = Q_0$, или
$20(10 + s) = 500$, откуда $s = 15$. Значит, понадобятся значительно большие средства, чем предполагало правительство. Сумма затрат бюджета на субсидирование будет равна $S = 15\cdot 500 = 7500$.

5. Антимонопольная политика

Монополист, издержки производства которого представлены функцией $TC(q) ={q^2}/{4}$, работает на рынке с функцией спроса $Q^d (p)=30-p$. Проводимая государством антимонопольная политика подразумевает, что за каждую денежную единицу, на которую установленная монополистом цена превышает цену $p_c$, которая сложилась бы в равновесии, если бы фирма воспринимала цену как заданную, монополист платит штраф в размере $t$ денежных единиц. Общая сумма $T$, которую монополист обязан выплатить государству, определяется так:
$$T=\begin{cases}
t(p-p_c), &\text{если } p>p_c, \\
0, &\text{иначе}.
\end{cases}$$
В зависимости от целей антимонопольная служба может выбирать разные значения $t$.

а) Какой размер штрафа будет выбран, если необходимо добиться, чтобы монополист установил цену $p_c$?

б) Какой размер штрафа будет выбран, если необходимо максимизировать сумму штрафных отчислений $T$?

Решение

а) Рассмотрим монополиста, который думает, что он является совершенным конкурентом. Найдём его функцию предложения. Такой монополист будет решать задачу:
$$
\pi(q)=pq-\dfrac{q^2}{4}\to \underset{q\ge 0}{\max}
$$
Графиком функции $\pi(q)$ является парабола с ветвями вниз, вершина находится в точке $q=2p$. Таким образом, $q_s(p)=2p$ — это предложение фирмы (воспринимающей цену как заданную), которое будет являться одновременно и рыночным предложением, так как на рынке присутствует одна фирма. Функция предложения в условиях конкуренции имеет вид $q_s(p)=2p$, спрос равен $q_d(p)=30-p$. Приравняв спрос и предложение, получим $p_c=10$, $q_c=20$. Отметим, что из всех цен, при которых монополист не попадает под штраф, оптимальной может быть лишь конкурентная цена $p_c=10$. При этой цене монополист производит $q_c=20$ и получает прибыль $\pi=10\cdot 20-0,25\cdot 20^2=200-100=100$. Когда назначается цена выше конкурентной, прибыль монополиста и его задачу можно записать так:
$$\pi(p)=pq_d (p)-TC(q_d(p))-t(p-p_c )\to \underset{p\ge p_c}{\max}$$
\begin{multline*}
\pi(p)=p(30-p)-\dfrac{(30-p)^2}{4}-t(p-10)=30p-p^2-\dfrac{(900-60p+p^2)}{4}-tp+10t=\\=
30p-p^2-225+15p-\dfrac{p^2}{4}-tp+10t=(45-t)p-\dfrac{5}{4} p^2-225+10t\to \underset{p\ge 10}{\max}
\end{multline*}
Графиком функции $\pi(p)$ является парабола с ветвями вниз, ее вершина расположена в точке $$p=18-\dfrac25t.$$
При некоторых $t$ монополист будет работать на неэластичном участке спроса, ничего удивительного нет. Область определения $p\ge p_c$, поэтому найденная оптимальная цена должна быть не ниже конкурентной:
$$p=18-\dfrac25t\ge p_c=10 \Longleftrightarrow 18-\dfrac25t\ge10 \Longleftrightarrow \dfrac25t\le18-10=8 \Longleftrightarrow t\le 8\cdot\dfrac52=20$$
Таким образом, найденная оптимальная цена будет назначаться только когда $t\le20$, а когда $t\ge20$, будет назначаться конкурентная цена $p_c$. Чтобы монополист выбрал такие же цену/количество, какие сложились бы в условиях конкуренции, нужно установить любое $t\ge20$.

б) Превышение монопольной цены над конкурентной будет равно
$$p-p_c=18-\dfrac25 t-10=8-\dfrac25 t$$
Собранная сумма штрафа составит
$$T(t)=t(p-p_c)=t\left(8-\dfrac25 t\right)=8t-\dfrac25t^2\to \underset{t\ge 0}{\max}$$
Графиком функции $T(t)$ является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный штраф находится в вершине параболы и равен $t=10$.

11 класс

1. Ягодный король

«Ягодный король» — единственное в районном центре и его окрестностях предприятие, нанимающее работников для сбора ягод в лесу. Для сбора 1 корзины ягод требуется 1 человеко-час. Предприятие может использовать труд местных работников, суммарное предложение труда которых имеет вид $w = L_1 + 10$ ($w$ — заработная плата в час в условных денежных единицах, $L_1$ — количество человеко-часов), и труд 12 мигрантов, каждый из которых готов работать 1 час за любую заработную плату не ниже 5 ден. ед. Производительность местных работников и мигрантов одинакова. Предприятие обладает полной информацией как о производительности работников, так и о том, за какую заработную плату они готовы работать. Оно не несет других затрат, кроме оплаты труда, и стремится получить максимальную прибыль. Предприятие может продать любое количество корзин ягод по фиксированной цене 20 ден. ед.

а) Какую прибыль получит предприятие, если в соответствии с действующим законодательством оно обязано платить всем работникам одинаковую заработную плату? Каков будет уровень заработной платы? Cколько человеко-часов будут трудиться местные работники и сколько мигранты?

б) Если предприятие имеет возможность устанавливать различную заработную плату для местных работников и для мигрантов, какую заработную плату оно установит для каждой категории работников и сколько человеко-часов работников каждой категории оно наймет?

в) Рассмотрим три типа экономических агентов: 1) местный работник; 2) мигрант; 3) предприятие "Ягодный король". Есть ли среди этих трех типов агентов такой, чье положение хуже в б) по сравнению с а)?

Решение

а) (10 баллов) Найдем рыночную функцию предложения труда. При зарплате ниже 5 не готов работать никто, при зарплате от 5 до 10 — только мигранты. При зарплате больше 10 объем предложения труда равен $12+(w-10)=w+2$. Обратная функция рыночного предложения труда имеет вид
$$w_s(L)=
\begin{cases}
5, & 0 L-2, & L>12.
\end{cases}$$
Таким образом, функция прибыли имеет вид
$$\pi(L)=(20-w_s(L))L=
\begin{cases}
15L, & 0 22L-L^2, & L>12.
\end{cases}$$
Очевидно, что при $L\leq 12$ функция прибыли возрастает. Вершиной параболы $22L-L^2$ (ветви направлены вниз) является $L=11$. Получаем, что эта функция убывает при $L>11$, а значит, и при всех $L>12$. Таким образом, функция прибыли возрастает при $L\leqslant 12$ и убывает при $L>12$.

Следует обратить внимание, что функция прибыли терпит разрыв при $L=12$, поэтому из того, что функция прибыли возрастает при $L\leqslant 12$ и убывает при $L>12$, еще не следует, что оптимальным является $L=12$. Однако легко увидеть (и это очевидно из экономических соображений), что значение функции прибыли при переходе через $L=12$ "прыгает" вниз, а не вверх, и потому точка максимума существует и равна 12.

Следовательно, оптимальным является $L=12$, фирма наймет только мигрантов и будет платить им зарплату $w=5$.

(б) (6 баллов) Обозначим количество нанятых местных работников за $L_1$, а мигрантов за $L_2$. Фирма максимизирует прибыль $(20-5)L_2+(20-L_1-10)L_1$ при условии $L_2\leq 12$. Эта функция равна сумме двух слагаемых, каждое из которых зависит от разных независимых переменных, и поэтому слагаемые можно максимизировать по отдельности. Первая часть представляет собой возрастающую линейную функцию, вторая — квадратичная функция, график которой представлен параболой, ветви которой направлены вниз. Отсюда получаем, что $L_1=5$, $L_2=12$. Зарплата местных работников будет равна $L_1+10=15$, а мигрантов — 5.

(в) (4 балла) Положение мигрантов не изменится, поскольку их заработная плата и количество нанятых не меняется. Местным работникам станет строго лучше, так как, в отличие от предыдущего пункта, местные работники оказываются нанятыми и четверо из них получают б\textit{о}льшую заработную плату, чем та минимальная зарплата, за которую они готовы были работать. Прибыль фирмы тоже строго выросла в пункте б) по сравнению с пунктом а): она была равна $(20-5)\cdot 12$, а стала равна $(20-5)\cdot 12+ (20-5-10)\cdot 5$. Таким образом, в данном случае возможность дискриминировать разных работников по зарплате приводит к тому, что никому не становится хуже, а кому-то (местным работникам и фирме) становится строго лучше.

2. Без паники

Весной 2015 года в правительстве России обсуждалась идея изменения условий страхования банковских депозитов с целью предотвращения паники вкладчиков российских банков. По действовавшим на тот момент правилам, каждое физическое лицо, открывшее депозит в банке-участнике системы обязательного страхования банковских вкладов населения, имело право в случае наступления страхового случая (отзыв лицензии банка или введение моратория на удовлетворение требований кредиторов) претендовать на стопроцентное возмещение суммы вклада и начисленных процентов в сумме, не превышающей 1,4 миллиона рублей. Заместитель министра финансов Андрей Моисеев в интервью "Газете.ру" рассказал:

«Есть несколько направлений, которые можно рассматривать: введение франшизы (неполная компенсация вклада), компенсация только тела вклада, исключая из нее проценты, и установление для банков с завышенными ставками по вкладам более высоких ставок взносов в АСВ (АСВ — Агентство по страхованию вкладов)».

Объясните, каким образом каждая из описанных мер, казалось бы, ухудшающая положение вкладчиков, могла бы повысить устойчивость банковской системы.

Для справки: на текущий момент (начало 2016 года) вступил в силу закон о дифференцированных взносах банков в фонд обязательного страхования вкладов. Остальные перечисленные меры не были реализованы.

Решение

Выбор вкладчиком банка, как правило, основывается на нескольких критериях, главными из которых являются установленные банком ставки по депозитам и степень надежности банка. Поскольку Агентство по страхованию вкладов (АСВ) гарантирует возврат вкладов в размере до 1,4 миллиона рублей в случае, если банк не сможет отвечать по своим обязательствам, многие некрупные вкладчики игнорируют критерий надежности и выбирают банки с самым высоким уровнем ставок по депозитам. Более высокий уровень ставок может свидетельствовать либо о том, что у банка уже есть проблемы и ему нужно срочно привлечь ликвидность, либо о том, что банк ведет рискованную инвестиционную политику. Банки с рискованными инвестиционными стратегиями могут позволить себе больший уровень выплат процентов в случае, если стратегия оказывается успешной. Однако для рискованных стратегий выше вероятность реализации неудачных событий, которые чреваты нарушением финансовой стабильности банка.

Устойчивость банковской системы определяется способностью банков исполнять свои обязательства под воздействием различных негативных шоков. Колебания курсов валют, важные политические события, отзывы лицензий у банков могут формировать пессимистичные ожидания вкладчиков относительно сохранности депозитов. В случае, если достаточно большое число вкладчиков одновременно решит досрочно забрать свои средства из банка, банку не хватит ликвидности для исполнения этих требований. Это может повлечь отзыв лицензии банка. Банки, использующие рискованные стратегии инвестирования, сталкиваются с большей вероятностью негативных шоков.

Возможный отказ со стороны АСВ от полной компенсации вкладов или отказ от страхования процентов приведет к тому, что вкладчики при выборе банка начнут принимать во внимание его надежность. Тогда большее число вкладов будет сделано в устойчивые банки, консервативно распоряжающиеся средствами вкладчиков, что положительным образом скажется на устойчивости банковской системы в целом.

Дифференциация банковских взносов в АСВ в зависимости от уровня процентных ставок по депозитам делает рискованные стратегии менее прибыльными. Меньшее число банков будут выбирать такие стратегии, что повысит устойчивость банковской системы.

3. Опрос

Вася, начинающий экономист и большой любитель сладостей, получил от одной кондитерской фабрики заказ: исследовать, сколько средств жители его родного города N-ска тратят на пирожные. В N-ске есть три района: Центр, застроенный малоэтажными домами ещё в царское время, Спальный район, застроенный типовыми многоэтажками, и Частный сектор, застроенный частными домами. В Центре проживает 10 тысяч человек, в Спальном районе — 100 тысяч, в Частном секторе — 2 тысячи. Вася должен опросить 500 жителей N-ска. Определиться с тем, кого конкретно нужно опрашивать, Вася не может. Он рассматривает несколько альтернатив:

  1. воспользоваться имеющейся у него базой данных со списком адресов и домашних телефонов всех жителей города: случайным образом выбирать людей и звонить им, пока не наберется 500 ответивших человек;
  2. опросить по телефону отдельно 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора, выбрав их случайным образом из имеющейся у Васи базы данных со списком адресов и домашних телефонов всех жителей города;
  3. нанять 10 студентов, отправить их в 10 самых населенных домов N-ска и дать задание каждому студенту опросить по 50 жителей своего дома.

Вася должен провести высококачественное исследование — это первый приоритет Васи (халтуру заказчики не примут). С другой стороны, Вася хотел бы сэкономить на проведении опроса (при условии, что он будет высококачественным), потому что его гонорар не зависит от того, сколько денег он потратил в процессе работы.

а) Предположим, Васе нужно узнать средние расходы на пирожные в N-ске в целом. Какой метод вы бы посоветовали ему выбрать?

б) Предположим, Васе нужно узнать средние расходы на пирожные жителей каждого района N-ска по отдельности. Какой метод вы бы посоветовали ему выбрать?

Решение

a) Если выбирать только из предложенных методов, то первый (опросить по телефону 500 случайно выбранных жителей города) представляется наиболее удачным для определения средних расходов по городу. Благодаря закону больших чисел, средний результат по случайной выборке с большой вероятностью будет близок к искомому среднему результату по всему городу.

Во втором варианте (опросить 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора) используется смещённая выборка: доля опрошенных по каждому из районов (от числа всех опрошенных) не соответствует доле жителей, проживающих в этом районе (от числа всех жителей в городе). Например, в Частном секторе проживает $2/(100+10+2)\approx 1{,}7$ % от всех жителей города, но среди опрошенных их будет $50/(300+150+50) = 10$ % (от всех опрошенных). Если в разных районах расходы на пирожные существенно различаются (а этого разумно ожидать, поскольку в указанных районах скорее всего живут люди с разным социально-экономическим статусом), это приведёт к тому, что среднее по такой выборке не будет равняться среднему по всему городу. Например, если предположить, что в Центре расходы на пирожные на одного человека в среднем составляют 5 тыс. рублей в месяц, в Спальном районе 2 тыс. рублей в месяц и в Частном секторе 10 тыс. рублей в месяц, то средние расходы по городу составят

\[
5\cdot\frac{10000}{112000}+2\cdot\frac{100000}{112000}+10\cdot\frac{2000}{112000}\approx
2{,}41\text{ тыс. руб./мес.},
\]
а средние расходы по нашей выборке:
\[
5\cdot\frac{300}{500}+2\cdot\frac{150}{500}+10\cdot\frac{50}{500}=4{,}6\text{ тыс. руб./мес.}
\]
Такое расхождение в результатах свидетельствует о некачественности опроса при использовании второго метода. В силу того, что качество является первым приоритетом, мы не можем использовать этот метод.

Наконец, в третьем варианте (отправить студентов в 10 самых населённых домов) выборка также будет смещена: 10 самых населённых домов скорее всего находятся в Спальном районе (именно там находятся многоэтажки) и результат вообще не будет учитывать потребление пирожных в других районах (которое может существенно отличаться от потребления в Спальном районе). Таким образом, этот метод также нельзя рекомендовать.

Если выйти за рамких предложенных методов, то можно предложить модификацию второго: либо скорректировать квоту по каждому району так, чтобы она соответствовала доле жителей этого района во всём городе (то есть опросить 446 человек из Спального района, 45 человек из Центра и 9 человек из Частного сектора), либо использовать исходную выборку, но скорректировать результат, посчитав отдельно средние по каждому из районов, а затем сложив их с весами, равными доле населения соответствующего района во всём городе: то есть результат по Спальному району умножить на $100/112\approx 0{,}89$, результат по Частному сектору умножить на $2/112\approx 0{,}02$ и результат по Центру умножить на $10/112\approx0{,}09$, и всё сложить. Такой подход может дать даже лучший результат (имеющий меньшую дисперсию, то есть менее зависящий от случайности),
чем первый из предложенных методов, при условии, что в разных районах расходы на пирожные различаются сильно.

Ответ: первый метод (или модифицированный второй).

б) Если нас интересует среднее по каждому из районов, то оптимальным является второй подход. Как обсуждалось выше, третий подход скорее всего даст информацию только по одному району и поэтому заведомо не подходит. Первый подход в этом случае не оптимален: он больше подвержен случайности — например, может так случиться, что в результате случайного выбора наберётся совсем мало респондентов из Частно сектора и в этом случае данные по этому району будут очень ненадежны (вдруг нам случайно попадётся один человек и он окажется большим сладкоежкой?).

Ответ: второй метод.

4. Борьба за скидку

Даня продает Аристарху Ксенофонтовичу некоторый специфический товар. Полезность товара для Дани равна нулю, а для Аристарха Ксенофонтовича равна $v>0$. Между продавцом и покупателем начинается торг. Сначала Даня решает, какую первоначальную цену на товар $p$ ему предложить. Затем Аристарх решает, покупать ли товар по этой цене или начинать торговаться, выпрашивая скидку. Если Аристарх начинает торговаться, он гарантированно может добиться от Дани скидки в размере $x$, если потратит время и усилия, денежный эквивалент которых составляет $x^2/p$ (чем больше первоначальная цена $p$, тем проще торговаться — издержки на усилия меньше). Выпросив скидку $x$, Аристарх затем покупает товар по цене $p-x$.

Таким образом, если Аристарх покупает товар, его полезность равна $v-(p-x)-x^2/p$, а полезность Дани равна $p-x$; если он не покупает товар, то полезность обоих равна нулю. Если Аристарху безразлично, покупать товар или нет, он покупает товар. Эта информация известна обоим; каждый принимает решения так, чтобы его полезность была максимальна (с учетом ответного поведения другого участника).

а) Какую цену $p$ назначит Даня? Будет ли Аристарх торговаться, и если да, то какого размера скидки $x$ он добьется?

б) Допустим, Даня тоже несет альтернативные издержки времени, потраченного на торг; они составляют $\alpha\cdot x$. При каких значениях $\alpha\geq 0$ Даня будет пытаться продать товар Аристарху?

Решение

а) Допустим, Даня назначил цену $p$. Найдем оптимальное действие Аристарха. Если он будет торговаться, его полезность будет равна $v-(p-x)-x^2/p$. Относительно $x$ эта функция квадратичная, и ее графиком является парабола с ветвями вниз. Оптимальное значение $x$ находится в вершине параболы: $x^\star=p/2$. При этом максимальная полезность Аристарха равна $v-(p-p/2)-p/4=v-3p/4$. Она неотрицательна при $p\leqslant 4v/3$.

Таким образом, при $p\leqslant 4v/3$ Аристарх будет торговаться и добиваться скидки $p/2$, а при $p>4v/3$ откажется от покупки товара. В первом случае полезность Дани будет равна $p-p/2=p/2$ (возрастающая функция), а во втором — нулю. Таким образом, оптимальной для Дани является наибольшая цена $p$, при которой Аристарх не откажется сразу же, то есть $p=4v/3$. При этом Аристарх добьется скидки $x=2v/3$.

б) В этом случае оптимальное поведение Аристарха не меняется, и поэтому полезность Дани при назначении цены $p\leqslant 4v/3$ будет равна $$p-x-\alpha x=p-p/2-\alpha p/2=p(1-\alpha)/2.$$ Таким образом, Даня будет пытаться продать товар при $\alpha\leqslant 1$.

5. Денежная эмиссия и реакция профсоюза

ВВП страны Z производится по технологии $Y(L)=16\sqrt{L}$, где $L$ (количество работающих жителей) а номинальная заработная плата $w$, устанавливаемая профсоюзом, равна 2 д.е. Кривая совокупного предложения $Y_s(P)$ выводится из максимизации прибыли: при каждом уровне цен $P$ предложение $Y_s(P)$ определяется так, как если бы вся экономика была бы конкурентной фирмой, закупающей труд по цене $w$ и продающей товар по цене $P$.
Кривая совокупного спроса в стране $Z$ выводится из уравнения количественной теории денег $MV=PY$; при этом скорость обращения денег $V$ равна единице. Изначально денежная масса равна 100 д.е.

Государство хотело бы напечатать для собственных нужд побольше денег; оно проводит эмиссию, увеличивая денежную массу на $\Delta M=100m$. Если напечатать мало, то можно недополучить часть возможных выгод, но если напечатать много, то можно спровоцировать высокую инфляцию, и напечатанные деньги будут обладать низкой покупательной способностью. В результате государство максимизирует величину $\Delta M/P_1$ — размер эмиссии в реальном выражении ($P_1$ — новый уровень цен).

Профсоюз в стране Z имеет огромное влияние, и при любом повышении денежной массы на $100m$ номинальная зарплата будет проиндексирована не в $(1+m)$ раз, а больше: вместо прежнего уровня 2 д.е. она составит $2\cdot (1+m)^{\alpha}$, где $\alpha>1$ — «сила» профсоюза.

На сколько процентов государству следует увеличить номинальное предложение денег? Как ваш ответ зависит от $\alpha$? Приведите экономическую интерпретацию знака этой зависимости.

Решение

Найдем совокупное предложение. «Фирма», которой является экономика, максимизирует прибыль — функцию $\pi(L)=P\cdot 16\sqrt{L}-wL$. Взяв производную, получаем \[\pi'= \frac{8P}{\sqrt{L}} -w.\] Если приравнять производную к нулю, получим \[\qquad L^\star= \frac{64P^2}{w^2},\] уравнение спроса на труд. Можно убедиться, что при $L=L^\star$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, то есть мы имеем максимум.

$\textbf{Примечание.}$ Возможны и другие способы нахождения критической точки и проверки на максимум. Так, можно заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз относительно $\sqrt{L}$, воспользоваться условием $MRP_L=w$, а также найти знак второй производной и убедиться, что он отрицательный.

Подставляя спрос на труд в производственную функцию, получаем уравнение AS: \[Y=128\frac{P}{w}.\]

Воспользовавшись уравнением количественной теории денег с учетом $V=1$, получим кривую совокупного спроса: \[Y=\frac{M}{P}.\]

Найдем равновесие на товарном рынке, приравняв AD и AS: \[128\frac{P}{w} = \frac{M}{P},\] откуда равновесный уровень цен \[P=\frac{\sqrt{w\cdot M}}{8\sqrt{2}}.\]

Из условия следует, что после вмешательства $w=2\cdot(1+m)^\alpha$, а $M=100+100m$. С учетом этого можно уточнить целевую функцию государства:
\[
\frac{\Delta M}{P_1}=\frac{100m}{\sqrt{w\cdot M}/(8\sqrt{2})}= \frac{100m\cdot 8\sqrt{2}}{\sqrt{2\cdot(1+m)^\alpha\cdot (100+100m)}}=\frac{80m}{(1+m)^{(\alpha+1)/2}}.
\]
Производная этого выражения по $m$ равна
\[
\left(\frac{\Delta M}{P_1}\right)'=\frac{80\cdot (1+m)^{(\alpha+1)/2} - \frac{\alpha+1}{2}(1+m)^{(\alpha-1)/2} \cdot 80m }{(1+m)^{\alpha+1}}.
\]
Знаменатель этой дроби положительный, так что он не будет влиять на знак производной, то же можно сказать и про множитель 80 в числителе. После упрощения получаем, что производная равна нулю при
\[
(1+m)^{(\alpha-1)/2} \left(1+\frac{1-\alpha}{2}m \right)=0.
\]
Первый множитель всюду положителен, так что он не будут влиять на знак производной. Поэтому производная равна нулю в точке \[m^\star = \frac{2}{\alpha-1},\] в которой она меняет знак с положительного на отрицательный (в силу $\alpha>1$). Таким образом, мы имеем максимум.

Видно, что оптимальное для государства увеличение денежной массы убывает по $\alpha$. Почему это происходит? Чем больше сила профсоюза, тем сильнее растет номинальная зарплата, а значит, сильнее растут издержки фирм и сокращается совокупное предложение при том же уровне $m$. А значит, чем больше $\alpha$, тем сильнее при увеличении денежной массы будут расти цены. Учитывая этот эффект, государству не следует сильно повышать денежную массу, если $\alpha$ велико, поскольку оно максимизирует эмиссию в реальном выражении $\Delta M/P_1$.

8 класс

1. Бронь столиков

В большинстве ресторанов существует опция заказа столов заранее. Она, казалось бы, бессмысленна: если столов в самом деле не хватает, ресторану должно быть всё равно, кого за них сажать — того, кто позвонил заранее, или того, кто только что пришел с~улицы. Однако практика с заказом столиков активно применяется. Используя экономические аргументы, объясните, как такая практика позволяет ресторанам увеличивать свою прибыль.

2. В отпуск на стройку

Николай хочет построить на своем дачном участке деревянный забор. Он обращался в строительную фирму, где выяснил, что забор обойдется ему в 120 тыс. руб., из которых 2/3 составит стоимость материалов, а остальное — стоимость работ. Также Николай может построить забор самостоятельно, но для этого ему придется взять неоплачиваемый отпуск (работодатель готов его отпустить на любое количество дней). Материалы в~этом случае он сможет приобрести на строительном рынке на 25% дешевле, чем~в~строительной фирме. Какое максимальное целое количество дней Николай может потратить на поиск материалов и строительство забора, чтобы получить положительную материальную выгоду от его самостоятельного строительства, если ежедневно он зарабатывает 4 тыс. руб.?

3. Опрос

Вася, начинающий экономист и большой любитель сладостей, получил от одной кондитерской фабрики заказ: исследовать, сколько средств жители его родного города N-ска тратят на пирожные. В N-ске есть три района: Центр, застроенный малоэтажными домами ещё в царское время, Спальный район, застроенный типовыми многоэтажками, и Частный сектор, застроенный частными домами. В Центре проживает 10 тысяч человек, в Спальном районе — 100 тысяч, в Частном секторе — 2 тысячи. Вася должен опросить 500 жителей N-ска. Определиться с тем, кого конкретно нужно опрашивать, Вася не может. Он рассматривает несколько альтернатив:

  1. воспользоваться имеющейся у него базой данных со списком адресов и домашних телефонов всех жителей города: случайным образом выбирать людей и звонить им, пока не наберется 500 ответивших человек;
  2. опросить по телефону отдельно 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора, выбрав их случайным образом из имеющейся у Васи базы данных со списком адресов и домашних телефонов всех жителей города;
  3. нанять 10 студентов, отправить их в 10 самых населенных домов N-ска и дать задание каждому студенту опросить по 50 жителей своего дома.

Вася должен провести высококачественное исследование — это первый приоритет Васи (халтуру заказчики не примут). С другой стороны, Вася хотел бы сэкономить на проведении опроса (при условии, что он будет высококачественным), потому что его гонорар не зависит от того, сколько денег он потратил в процессе работы.

а) Предположим, Васе нужно узнать средние расходы на пирожные в N-ске в целом. Какой метод вы бы посоветовали ему выбрать?

б) Предположим, Васе нужно узнать средние расходы на пирожные жителей каждого района N-ска по отдельности. Какой метод вы бы посоветовали ему выбрать?

Решение

a) Если выбирать только из предложенных методов, то первый (опросить по телефону 500 случайно выбранных жителей города) представляется наиболее удачным для определения средних расходов по городу. Благодаря закону больших чисел, средний результат по случайной выборке с большой вероятностью будет близок к искомому среднему результату по всему городу.

Во втором варианте (опросить 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора) используется смещённая выборка: доля опрошенных по каждому из районов (от числа всех опрошенных) не соответствует доле жителей, проживающих в этом районе (от числа всех жителей в городе). Например, в Частном секторе проживает $2/(100+10+2)\approx 1{,}7$ % от всех жителей города, но среди опрошенных их будет $50/(300+150+50) = 10$ % (от всех опрошенных). Если в разных районах расходы на пирожные существенно различаются (а этого разумно ожидать, поскольку в указанных районах скорее всего живут люди с разным социально-экономическим статусом), это приведёт к тому, что среднее по такой выборке не будет равняться среднему по всему городу. Например, если предположить, что в Центре расходы на пирожные на одного человека в среднем составляют 5 тыс. рублей в месяц, в Спальном районе 2 тыс. рублей в месяц и в Частном секторе 10 тыс. рублей в месяц, то средние расходы по городу составят

\[
5\cdot\frac{10000}{112000}+2\cdot\frac{100000}{112000}+10\cdot\frac{2000}{112000}\approx
2{,}41\text{ тыс. руб./мес.},
\]
а средние расходы по нашей выборке:
\[
5\cdot\frac{300}{500}+2\cdot\frac{150}{500}+10\cdot\frac{50}{500}=4{,}6\text{ тыс. руб./мес.}
\]
Такое расхождение в результатах свидетельствует о некачественности опроса при использовании второго метода. В силу того, что качество является первым приоритетом, мы не можем использовать этот метод.

Наконец, в третьем варианте (отправить студентов в 10 самых населённых домов) выборка также будет смещена: 10 самых населённых домов скорее всего находятся в Спальном районе (именно там находятся многоэтажки) и результат вообще не будет учитывать потребление пирожных в других районах (которое может существенно отличаться от потребления в Спальном районе). Таким образом, этот метод также нельзя рекомендовать.

Если выйти за рамких предложенных методов, то можно предложить модификацию второго: либо скорректировать квоту по каждому району так, чтобы она соответствовала доле жителей этого района во всём городе (то есть опросить 446 человек из Спального района, 45 человек из Центра и 9 человек из Частного сектора), либо использовать исходную выборку, но скорректировать результат, посчитав отдельно средние по каждому из районов, а затем сложив их с весами, равными доле населения соответствующего района во всём городе: то есть результат по Спальному району умножить на $100/112\approx 0{,}89$, результат по Частному сектору умножить на $2/112\approx 0{,}02$ и результат по Центру умножить на $10/112\approx0{,}09$, и всё сложить. Такой подход может дать даже лучший результат (имеющий меньшую дисперсию, то есть менее зависящий от случайности),
чем первый из предложенных методов, при условии, что в разных районах расходы на пирожные различаются сильно.

Ответ: первый метод (или модифицированный второй).

б) Если нас интересует среднее по каждому из районов, то оптимальным является второй подход. Как обсуждалось выше, третий подход скорее всего даст информацию только по одному району и поэтому заведомо не подходит. Первый подход в этом случае не оптимален: он больше подвержен случайности — например, может так случиться, что в результате случайного выбора наберётся совсем мало респондентов из Частно сектора и в этом случае данные по этому району будут очень ненадежны (вдруг нам случайно попадётся один человек и он окажется большим сладкоежкой?).

Ответ: второй метод.

4. Гильдия гончаров

Из архивных документов стало известно, что в одном городе гильдия гончаров, объединявшая всех гончарных мастеров, постановила всем гончарам продавать горшки по одной и той же цене. И, конечно, цена эта была для гильдии наиболее выгодной. Издержки производства у всех мастеров были одинаковыми. Чтобы сделать каждый горшок, мастер тратил материала на 12 грошей, 5 грошей платил подмастерью и отдавал в казну налог 3 гроша. Если бы гильдия установила цену 79 грошей, то на рынке удалось бы продать только 1 горшок. Однако при уменьшении цены на произвольное целое число грошей $a$, не превосходящее 79, гильдия смогла бы продать на $a$ горшков больше. Какую цену установила гильдия?

9 класс

1. Онлайн-вклады

Многие банки, работающие с физическими лицами, предлагают, наряду с обычными вкладами, так называемые онлайн-вклады. Клиенты, подключенные к онлайн-сервису банка (интернет-банкинг), имеют возможность открыть вклад в банке через Интернет без своего физического присутствия в одном из отделений банка. Зачастую процент по вкладу, открытому через онлайн-сервис банка, выше (хоть и незначительно, на десятые доли процентного пункта), чем по аналогичному вкладу, открытому лично в одном из отделений банка. Используя экономическую аргументацию, объясните, почему банкам может быть выгодно предлагать своим онлайн-клиентам более выгодные условия по депозитам.
Решение

Приведем возможные причины разницы в процентах по "очным " и онлайн-вкладам.

  1. «Снижение издержек». Отсутствие необходимости физического проведения операций, связанных с открытием онлайн-вклада, снижает издержки, связанные с функциональной деятельностью банка по открытию и обеспечению таких вкладов. Фактически, банки предлагают две разные услуги (обычный вклад и онлайн-вклад), осуществление которых связано с различными предельными издержками. Цены на такие услуги различаются.
  2. «Ценовая дискриминация». Поскольку условия вкладов, открытых лично или через онлайн-сервис, одинаковы за исключением цены предоставляемой услуги, можно считать, что банк, начисляя разный процент на депозит, осуществляет ценовую дискриминацию. Тем самым он привлекает новых клиентов, которые не готовы нести издержки, связанные с открытием вклада при личном присутствии в отделении банка, и не готовы оформить даже онлайн-вклад по "очному " проценту.
  3. Последний аргумент является существенным. Открытие онлайн-вкладов значительно снижает издержки для той группы людей, у которых высоки альтернативные издержки, связанные с использованием свободного времени. Для тех людей, которые ценят удобство открытия онлайн-вкладов, нет смысла повышать процент по вкладу, они согласились бы и на меньший, по сравнению с "очным ", процент по депозиту, что, безусловно, было бы выгодно банку. Однако банк повышает процент, а не снижает его, что преследует своей целью привлечь именно новых клиентов, тех, кто не готов класть деньги на депозит дистанционно даже по "очному " проценту. Поскольку повышение процента привлекает всех клиентов банка, которые готовы пользоваться интернет-сервисом, а не только тех, у кого высоки альтернативные издержки использования свободного времени, и поскольку у банка нет возможности идентифицировать клиентов и предлагать им разные проценты по вкладам, разница в процентах по "очному " вкладу и онлайн-вкладу не может быть значительной.
  4. «Плата за риск». Возможность осуществлять онлайн-вклады появилась в России относительно недавно. Большое количество людей относится с недоверием к подобному вложению средств. Чтобы стимулировать их принять решение в пользу онлайн-вкладов (что, в свою очередь, может снижать операционные издержки банка) банки предлагают им более выгодные условия по депозитам. При отсутствии повышенной ставки такие клиенты отказались бы осуществлять онлайн-вклады. Таким образом, повышая процент по вкладу, банк оплачивает риск недоверчивых клиентов. По указанной в предыдущем пункте причине разница в процентах по "очному " вкладу и онлайн-вкладу не может быть значительной.

2. Три тарифа

Компания Еле2 является единственным сотовым оператором в городе Z-ске. В преддверии новогодних праздников компания обновила линейку тарифов, к которым жители Z-ска могут подключиться. Новая линейка состоит из трех тарифов, отличающихся ценой звонков и текстовых сообщений (SMS). Цена разных видов услуг для этих тарифов приведена в таблице:

Тариф
"Обычный"
"Новогодний" "Рождественский"
Цена звонков (руб/мин)
5 2 8
Цена СМС (сообщ/мин)
3 7 1

У разных жителей города разные потребности в услугах Еле2: кому-то нужно больше звонить, другие общаются в основном посредством SMS, кто-то активно пользуется обоими видами связи, а некоторые предпочитают личное общение. Пусть $x$ — количество минут звонков, которое в течение месяца совершает житель города, а $y$ — количество текстовых сообщений, которое он отправляет (эти параметры для каждого жителя не зависят от цен на услуги связи). Каждый житель может выбрать только один тариф. Определите для всевозможных пар $(x, y)$, таких что $0\le x\le 1000$ и $0\le y\le 1000$, какой тариф выберет житель города для минимизации своих расходов на связь. Для наглядности отметьте в координатах $(x, y)$ множества точек, соответствующие выбранным тарифам (если бывают такие пары $(x, y)$, для которых оптимальными являются несколько тарифов, отметьте и подпишите эти множества тоже).

Решение

Представим издержки при использовании каждого из тарифов как функцию от $x$ и $y$:
$$ f_1(x,y) = 5x+3y ; \quad f_2(x,y) = 2x+7y; \quad f_3(x,y) = 8x+y .$$
Попарно сравним эти издержки:
$$ 1) \quad f_1(x,y) \leq f_2(x,y) \Leftrightarrow 5x+3y \leq 2x+7y \Leftrightarrow 3x-4y \leq 0. $$
$$ 2) \quad f_1(x,y) \leq f_3(x,y) \Leftrightarrow 5x+3y \leq 8x+y \Leftrightarrow 3x-2y \geq 0. $$
$$ 3) \quad f_2(x,y) \leq f_3(x,y) \Leftrightarrow 2x+7y \leq 8x+y \Leftrightarrow x-y \geq 0.$$
Таким образом, тариф "Обычный" не хуже двух других на множестве $$\left\{(x,y) \mid \frac{3x}{4} \leq y \leq \frac{3x}{2}, ~ 0\leq x,y\leq 1000\right\},$$
тариф "Новогодний" не хуже двух других на множестве $$\left\{(x,y) \mid y \leq \frac{3x}{4}, ~ 0\leq x,y\leq 1000\right\},$$ тариф "Рождественский" не хуже двух других на множестве $$\left\{(x,y) \mid y \geq \frac{3x}{2}, ~ 0\leq x,y\leq 1000\right\}.$$

На плоскости $(x,y)$ области оптимальности тарифов выглядят так, как показано на рисунке. В области I оптимальным является тариф "Рождественский", в области II оптимальным является тариф "Обычный", в области III оптимальным является тариф "Новогодний". На границе областей I и II самыми выгодными тарифами являются "Рождественский" и "Обычный", а на границе областей II и III самыми выгодными тарифами являются "Обычный" и "Новогодний".

3. Опрос

Вася, начинающий экономист и большой любитель сладостей, получил от одной кондитерской фабрики заказ: исследовать, сколько средств жители его родного города N-ска тратят на пирожные. В N-ске есть три района: Центр, застроенный малоэтажными домами ещё в царское время, Спальный район, застроенный типовыми многоэтажками, и Частный сектор, застроенный частными домами. В Центре проживает 10 тысяч человек, в Спальном районе — 100 тысяч, в Частном секторе — 2 тысячи. Вася должен опросить 500 жителей N-ска. Определиться с тем, кого конкретно нужно опрашивать, Вася не может. Он рассматривает несколько альтернатив:

  1. воспользоваться имеющейся у него базой данных со списком адресов и домашних телефонов всех жителей города: случайным образом выбирать людей и звонить им, пока не наберется 500 ответивших человек;
  2. опросить по телефону отдельно 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора, выбрав их случайным образом из имеющейся у Васи базы данных со списком адресов и домашних телефонов всех жителей города;
  3. нанять 10 студентов, отправить их в 10 самых населенных домов N-ска и дать задание каждому студенту опросить по 50 жителей своего дома.

Вася должен провести высококачественное исследование — это первый приоритет Васи (халтуру заказчики не примут). С другой стороны, Вася хотел бы сэкономить на проведении опроса (при условии, что он будет высококачественным), потому что его гонорар не зависит от того, сколько денег он потратил в процессе работы.

а) Предположим, Васе нужно узнать средние расходы на пирожные в N-ске в целом. Какой метод вы бы посоветовали ему выбрать?

б) Предположим, Васе нужно узнать средние расходы на пирожные жителей каждого района N-ска по отдельности. Какой метод вы бы посоветовали ему выбрать?

Решение

a) Если выбирать только из предложенных методов, то первый (опросить по телефону 500 случайно выбранных жителей города) представляется наиболее удачным для определения средних расходов по городу. Благодаря закону больших чисел, средний результат по случайной выборке с большой вероятностью будет близок к искомому среднему результату по всему городу.

Во втором варианте (опросить 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора) используется смещённая выборка: доля опрошенных по каждому из районов (от числа всех опрошенных) не соответствует доле жителей, проживающих в этом районе (от числа всех жителей в городе). Например, в Частном секторе проживает $2/(100+10+2)\approx 1{,}7$ % от всех жителей города, но среди опрошенных их будет $50/(300+150+50) = 10$ % (от всех опрошенных). Если в разных районах расходы на пирожные существенно различаются (а этого разумно ожидать, поскольку в указанных районах скорее всего живут люди с разным социально-экономическим статусом), это приведёт к тому, что среднее по такой выборке не будет равняться среднему по всему городу. Например, если предположить, что в Центре расходы на пирожные на одного человека в среднем составляют 5 тыс. рублей в месяц, в Спальном районе 2 тыс. рублей в месяц и в Частном секторе 10 тыс. рублей в месяц, то средние расходы по городу составят

\[
5\cdot\frac{10000}{112000}+2\cdot\frac{100000}{112000}+10\cdot\frac{2000}{112000}\approx
2{,}41\text{ тыс. руб./мес.},
\]
а средние расходы по нашей выборке:
\[
5\cdot\frac{300}{500}+2\cdot\frac{150}{500}+10\cdot\frac{50}{500}=4{,}6\text{ тыс. руб./мес.}
\]
Такое расхождение в результатах свидетельствует о некачественности опроса при использовании второго метода. В силу того, что качество является первым приоритетом, мы не можем использовать этот метод.

Наконец, в третьем варианте (отправить студентов в 10 самых населённых домов) выборка также будет смещена: 10 самых населённых домов скорее всего находятся в Спальном районе (именно там находятся многоэтажки) и результат вообще не будет учитывать потребление пирожных в других районах (которое может существенно отличаться от потребления в Спальном районе). Таким образом, этот метод также нельзя рекомендовать.

Если выйти за рамких предложенных методов, то можно предложить модификацию второго: либо скорректировать квоту по каждому району так, чтобы она соответствовала доле жителей этого района во всём городе (то есть опросить 446 человек из Спального района, 45 человек из Центра и 9 человек из Частного сектора), либо использовать исходную выборку, но скорректировать результат, посчитав отдельно средние по каждому из районов, а затем сложив их с весами, равными доле населения соответствующего района во всём городе: то есть результат по Спальному району умножить на $100/112\approx 0{,}89$, результат по Частному сектору умножить на $2/112\approx 0{,}02$ и результат по Центру умножить на $10/112\approx0{,}09$, и всё сложить. Такой подход может дать даже лучший результат (имеющий меньшую дисперсию, то есть менее зависящий от случайности),
чем первый из предложенных методов, при условии, что в разных районах расходы на пирожные различаются сильно.

Ответ: первый метод (или модифицированный второй).

б) Если нас интересует среднее по каждому из районов, то оптимальным является второй подход. Как обсуждалось выше, третий подход скорее всего даст информацию только по одному району и поэтому заведомо не подходит. Первый подход в этом случае не оптимален: он больше подвержен случайности — например, может так случиться, что в результате случайного выбора наберётся совсем мало респондентов из Частно сектора и в этом случае данные по этому району будут очень ненадежны (вдруг нам случайно попадётся один человек и он окажется большим сладкоежкой?).

Ответ: второй метод.

4. «Маскилон»

Завод фирмы-монополиста «Маскилон» может производить два типа крупногабаритных товаров: космические корабли и ракеты-носители. Издержки производства космических кораблей и ракет-носителей равны $TC(q_\text{к})=q_\text{к}^2+2q_\text{к}$ и $TC(q_\text{р})=4q_\text{р}$ соответственно. «Маскилон» сбывает товар на удаленных рынках и вынужден осуществлять доставку товара. Кроме «Маскилона», доставлять его товар никто не умеет. Издержки на доставку пренебрежимо малы по сравнению с издержками на производство, но общие транспортные мощности ограничены 10 единицами. Один космический корабль требует 0,5 единицы транспортных мощностей, а одна ракета-носитель — 1 единицу. Монопольные рынки космических кораблей и ракет-носителей независимы друг от друга, а функции спроса на них описываются функциями $Q_\text{к}(p_\text{к})=100-p_\text{к}$ и $Q_\text{р}(p_\text{р})=40-p_\text{р}$ соответственно.

Какое количество каждого товара следует произвести «Маскилону», чтобы получить максимальную прибыль?

Решение

Сначала решим задачу монополиста на каждом из двух рынков без учета транспортных ограничений. На рынке космических кораблей "Маскилон" максимизирует функцию прибыли
$$
\pi_\text{к}=(100-q_\text{к})q_\text{к}-q_\text{к}^2-2q_\text{к}=-2q_\text{к}^2+98q_\text{к}
$$
Максимальное значение квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом достигается в точке $q_\text{к}^*=24{,}5$.

На рынке ракет-носителей "Маскилон" максимизирует функцию прибыли
$$
\pi_\text{р}=(40-q_\text{р})q_\text{р}-4q_\text{р}=-q_\text{р}^2+36q_\text{р}
$$
Максимальное значение этой квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом достигается в точке $q_\text{р}^*=18$.

С учетом ограничения транспортных мощностей "Маскилону" нет смысла производить более 20 космических кораблей или более 10 ракет-носителей. Значит, оптимальный с учетом транспортных ограничений уровень выпуска на каждом из двух рынков будет лежать на участке возрастания прибыли на соответствующем рынке. Отсюда следует, что в оптимуме "Маскилон" полностью задействует свои транспортные мощности.

Пусть "Маскилон" производит $n$ ракет-носителей. Тогда, так как задействуются все транспортные мощности, он произведет $2(10-n)$ космических кораблей. При таком уровне выпуска товаров общая прибыль фирмы будет равна
$$
\pi=-n^2+36n-2(2(10-n))^2+98\cdot 2(10-n)=-9n^2+1160
$$
При неотрицательных $n$ функция прибыли убывает по $n$. Значит, "Маскилон" произведет 0 ракет-носителей и 20 космических кораблей.