10-й класс

1. Коэффицент Джини и рокировка

В некоторой стране есть две равные по численности, но неравные по доходу группы населения, внутри каждой из которых доходы распределены равномерно. В ходе последнего глобального кризиса доходы одной из групп сократились на 19%, а доходы другой – на 64%, однако коэффициент Джини не изменился. Определите значение этого коэффициента.
Решение

Обозначим докризисный доход первоначально более бедной группы за $a_0$, а докризисный доход первоначально более богатой группы – за $b_0$. Предположим, что $a_0>0$. Если бы доход бедных снизился в относительном выражении сильнее, чем доход богатых, то неравенство в стране только усилилось бы, а по условию оно не изменилось. Значит, доход богатых снизился сильнее дохода бедных, то есть доход богатых снизился на 64%, а доход бедных – на 19%: $a_1=0,81a_0$ и $b_1=0,36b_0$.
Но осталась ли при этом более богатая группа более богатой? Если бы это было так, то, раз доход богатых снизился сильнее, чем доход бедных, неравенство в стране уменьшилось бы, а по условию оно опять-таки не изменилось. Остается единственная возможность: при непропорциональном снижении доходов группы «поменялись местами», первоначально более богатая группа стала более бедной, а первоначально более бедная – более богатой, и при этом степень неравенства в обществе не изменилась.

Нетрудно доказать, что в случае двух групп населения и равномерного распределения доходов внутри каждой группы коэффициент Джини можно рассчитать по формуле $G=x-y$, где $x$ – доля более бедной группы в населении страны, $y$ - ее доля в общем доходе. В нашем случае как до «рокировки», так и после $x=0,5$.

До кризиса коэффициент Джини равнялся ${G_0} = 0,5 - \frac{{{a_0}}}{{{a_0} + {b_0}}}$, а после кризиса - ${G_1} = 0,5 - \frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}}$.

${G_0} = {G_1}$

$\frac{{{a_0}}}{{{a_0} + {b_0}}} = \frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}} = \frac{{0,36{b_0}}}{{0,81{a_0} + 0,36{b_0}}}$

$0,36b_0^2 = 0,81a_0^2$

${\left( {\frac{{{a_0}}}{{{b_0}}}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow {b_0} = 1,5{a_0}$

${G_1} = {G_0} = 0,5 - \frac{{{a_0}}}{{{a_0} + 1,5{a_0}}} = 0,1$.

2. Темп прироста ВВП

По данным статистической службы одной страны расходы на потребление составляли в прошлом году 40 % ВВП, что в 4 раза превышало расходы на государственные закупки, и на 20 процентных пунктов превышало расходы на инвестиции. Также известно, что в прошлом году объемы импорта совпадали с объемами чистого экспорта. Из достоверных источников поступила информация о том, что по сравнению с показателями прошлого года, объем потребления домашними хозяйствами увеличился на 10 %, объем государственных закупок на 40 %. А вот инвестиции упали в 2 раза. В то же время объем импорта вырос на 20%, а экспорта снизился в 1,5 раза.
Решение

-28%

3. Продажи в понедельник

В понедельник фирма продала 10 единиц продукции по цене 100 руб. за единицу. Во вторник, снизив цену на свою продукцию, фирма продала 11 единиц, что привело к увеличению её прибыли на 25 руб.

Определите, на сколько руб. фирма снизила цену, если затраты фирмы на производство и продажу каждой единицы продукции постоянны и равны 20 руб.

Решение

На 5 рублей

4. Потребителя сдают товар монополиста обратно

Спрос на товар монополии задается уравнением $Q=8-0.1P$.По статистике, 10% товара, продаваемого этой монополией, потребители сдают обратно и получают назад свои деньги. Сданный товар повторной продаже не подлежит.
Зная это, определите, сколько товара выпустит на рынок для продажи данная фирма, если ее издержки на производство $Q$ единиц товара равны $Q^2$?
Решение

3.6

5. Матрешки

Фирма, изготавливающая матрешки, продает их на совершенно-
конкурентном рынке по цене 20 евро за штуку. Рынок труда, на котором фирма нанимает
работников, является также совершенно конкурентным. Заработная плата одного
работника составляет 480 евро. Существует только четыре способа организации
производства матрешек, при которых нанимается 5, L2, L3 и L4 работников.
Средняя и предельная производительность труда заданы в таблице:Обществознание (экономическая сфера)
111.jpg
1) Определите, сколько работников следует нанять фирме для получения наибольшей
прибыли;
2) рассчитайте эту прибыль без учета фиксированных затрат.
Решение

1) 16
2) 3520

6. Спрос на продукцию монополиста линеен

Спрос на продукцию монополиста линеен, а средние издержки ее производства постоянны. В настоящий момент эластичность спроса по цене равна (-2), и с целью увеличения оборота в краткосрочном периоде руководство компании собирается перейти от стратегии максимизации прибыли к стратегии максимизации выручки.
1) На сколько процентов монополисту удастся увеличить выручку?
2) Сколькими процентами от прибыли придется пожертвовать монополисту?
Решение

1) на 12.5%
2) на 25%

7. Шкала спроса и предложения

Помогите разобраться с задачей, подскажите хотя бы с чего начать?

На совершенно конкурентном рынке действуют 50 одинаковых фирм.
Каждая фирма для выпуска Q единиц продукции использует единственный фактор
производства труд (L). Переменные издержки производства зависят от количества
используемого труда и имеют вид 120L. Имеется следующая информация относительно
зависимости выпуска от количества используемого труда:

Выпуск (Q)
 16 36 84 148 244 372
Труд (L)
 2 4 8 16 32 64

А также вид шкалы рыночного спроса:

Цена (Р)
 50
 40 30 20 10 0
Выпуск (Q)
 2320 5000 7400 12200 18600 40000

1) Постройте шкалу предложения для совершенно конкурентной фирмы и отрасли в
краткосрочном периоде.
2) Найдите равновесную цену и равновесный выпуск продукции на данном рынке
3) Правительство решило ввести потоварный налог для производителей в размере 15
ден. ед. с каждой единицы выпуска. Постройте шкалу предложения для фирмы и
отрасли в краткосрочном периоде после введения налога.
4) Найдите новые значения равновесной рыночной цены и равновесного объема
продаж после введения налога.

8. X и Y

Фирма производит уникальный товар с постоянными средними
издержками, равными 10 ден. ед. и продает товар в регионах Х и Y, причем перепродажа
товара эффективно блокируется. Цена товара в регионе Х на 5 ед. больше, чем в регионе
Y. Средняя прибыль в регионе Х на 25% выше, чем в регионе Y, и на обоих рынках
фирма преследует цель максимизации прибыли.:
1) Определите цены, по которым товар продается на обоих рынках;
2) Предполагая, что функции спроса на товар являются линейными, определите цены,
при превышении которых потребители товара данной фирмы покинут рынок в обоих
регионах.
Решение

1)
Px=35
Py=30
2)
Px=60
Py=50

11-й класс

1. Обычные Издержки

Общие издержки фирмы на совершенно-конкурентном рынке в краткосрочном периоде описываются функцией $TC=0.5q^3-30q^2+700q+500$. Цена готовой продукции равна 75. При каком выпуске прибыль максимальна?
Решение

$q=0$

2. Постоянная Эластичность

Ценовая эластичность спроса является постоянной величиной, равной (-2). Государство ввело потоварный налог на потребителей в размере 6 ден. ед. Найдите абсолютную величину эластичности спроса по цене для новой функции спроса при $р=10$.
Решение

$\varepsilon=1.25$

3. Закон Оукена

В экономике, первоначально функционирующей на уровне
потенциального ВВП, произошло снижение денежной массы на 26.2%, что привело к
снижению цен на 10%. Фактический уровень безработицы в новых условиях равен 19%,
скорость обращения денег не изменилась, а коэффициент связи в законе Оукена
составляет 2. Определите, на сколько процентов уменьшилось число занятых, если
численность рабочей силы осталась неизменной.
Решение

10%

4. Коэффицент Джини и рокировка

В некоторой стране есть две равные по численности, но неравные по доходу группы населения, внутри каждой из которых доходы распределены равномерно. В ходе последнего глобального кризиса доходы одной из групп сократились на 19%, а доходы другой – на 64%, однако коэффициент Джини не изменился. Определите значение этого коэффициента.
Решение

Обозначим докризисный доход первоначально более бедной группы за $a_0$, а докризисный доход первоначально более богатой группы – за $b_0$. Предположим, что $a_0>0$. Если бы доход бедных снизился в относительном выражении сильнее, чем доход богатых, то неравенство в стране только усилилось бы, а по условию оно не изменилось. Значит, доход богатых снизился сильнее дохода бедных, то есть доход богатых снизился на 64%, а доход бедных – на 19%: $a_1=0,81a_0$ и $b_1=0,36b_0$.
Но осталась ли при этом более богатая группа более богатой? Если бы это было так, то, раз доход богатых снизился сильнее, чем доход бедных, неравенство в стране уменьшилось бы, а по условию оно опять-таки не изменилось. Остается единственная возможность: при непропорциональном снижении доходов группы «поменялись местами», первоначально более богатая группа стала более бедной, а первоначально более бедная – более богатой, и при этом степень неравенства в обществе не изменилась.

Нетрудно доказать, что в случае двух групп населения и равномерного распределения доходов внутри каждой группы коэффициент Джини можно рассчитать по формуле $G=x-y$, где $x$ – доля более бедной группы в населении страны, $y$ - ее доля в общем доходе. В нашем случае как до «рокировки», так и после $x=0,5$.

До кризиса коэффициент Джини равнялся ${G_0} = 0,5 - \frac{{{a_0}}}{{{a_0} + {b_0}}}$, а после кризиса - ${G_1} = 0,5 - \frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}}$.

${G_0} = {G_1}$

$\frac{{{a_0}}}{{{a_0} + {b_0}}} = \frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}} = \frac{{0,36{b_0}}}{{0,81{a_0} + 0,36{b_0}}}$

$0,36b_0^2 = 0,81a_0^2$

${\left( {\frac{{{a_0}}}{{{b_0}}}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow {b_0} = 1,5{a_0}$

${G_1} = {G_0} = 0,5 - \frac{{{a_0}}}{{{a_0} + 1,5{a_0}}} = 0,1$.

10%

5. Стабилизационная политика

Уравнение совокупного спроса имеет вид $Y=V*M/P$, скорость денежного
обращения составляет $3$ оборота в год, объем денежной массы равен $1500$. Денежная
масса полностью состоит из безналичных денег. Краткосрочное совокупное предложение
представлено линейной функцией, краткосрочная кривая совокупного предложения имеет
положительный наклон.
Экономика находится в состоянии краткосрочного равновесия, характеризующегося
сверхзанятостью.
Проводя стабилизационную политику, Центральный банк повысил норму
обязательных резервов с $10$% до $15$%. Стабилизационная политика ЦБ сопровождалась
увеличением скорости денежного обращения на $20$% , и темп прироста уровня цен
составил $(–4)$%. В результате данной политики ЦБ новый уровень цен составил $1,2$ и
экономика вернулась к состоянию полной занятости.
1) Запишите уравнение кривой долгосрочного совокупного предложения $(LRAS)$ и
2) Определите уравнение кривой краткосрочного совокупного предложения $(SRAS)$
при условии, что коммерческие банки не держат избыточных резервов и полностью
используют свои кредитные возможности.
3) Дайте графическую иллюстрацию событий, произошедших в экономике.

6. Оптимум монополии при наличии запасов

Спрос на продукцию фирмы-монополиста описывается уравнением $Q_d=20-P$. На данный момент на складах фирмы уже имеется $q_0$ единиц продукции, а производство дополнительного ее количества будет сопровождаться для фирмы
издержками $TC(Q)=Q^2$, где $Q$ – объем дополнительного выпуска.

1) Определите оптимальный для фирмы объем продаж при $q_0=6$; $q_0=14$.
2) Пусть теперь $q_0=14$, но продукция эта быстро портится, и если она не будет продана до конца периода, то фирма понесет издержки в размере 4 на ликвидацию каждой из оставшихся на складе единиц. Найдите оптимальный объем продаж в этом случае.

Решение

1) Пусть $Q$ – объем продаж. Первые $q_0$ единиц достаются фирме бесплатно, а оставшиеся $Q-q_0$ допроизводятся за плату, равную $(Q-q_0)^2$, и поэтому функция предельных издержек имеет вид
$$\MC =\begin{cases}0,\text{ если $Qq_0$.}\end{cases}$$

Предельный доход имеет, независимо от $q_0$, вид $\MR(Q)=20-2Q$.
При $q_0=6$ равенство предельного дохода и предельных издержек, как несложно проверить, достигается при $Q^{\star}=8$: фирма продаст все имеющиеся шесть единиц, и еще допроизведет две.
При $q_0=14$ предельный доход равен предельным издержкам при $Q^{\star}=10$: это точка максимума выручки, и поэтому фирме не имеет смысла продавать все 14 единиц, и, тем более, допроизводить что-то еще.

2) Теперь фирма может продать первые 14 единиц не просто с нулевыми издержками – эти издержки отрицательны, так как продавая лежащую на складе продукцию, фирма экономит на издержках ее последующей ликвидации. А именно, с каждой проданной единицей продукции, входящей в эти 14, фирма получает дополнительную выгоду в виде четырех сэкономленных денежных единиц. Значит, функция предельных издержек имеет вид

$$\MC =\begin{cases}-4,\text{ если $Q<14$;} \\ 2(Q-14),\text{ если $Q>14$.}\end{cases}$$

Вновь приравнивая $\MR$ и $\MC$, получаем что $Q^{\star}=12$. Таким образом, по сравнению с пунктом 1) оптимальный объем продаж увеличился, что интуитивно ясно: наличие издержек ликвидации побуждает фирму продавать больше.

7. Две отрасли в стране N.

В стране N существует две отрасли. В сельском хозяйстве предельный
продукт труда всегда равен $1$. В угледобывающей отрасли предельный продукт труда
равен $12/sqrt{Lm}-2$где $Lm$ – это общее число занятых в угледобывающем секторе. Общее
предложение труда в стране N фиксировано на уровне La+Lm=25, цена выпуска составляет
$1$ в каждой из отраслей.
1) Предположим, что рынок труда является совершенно конкурентным. Работники могут
переходить по желанию из одной отрасли в другую. Сколько работников будут заняты в
угледобывающей отрасли, а сколько в сельском хозяйстве? Какую ставку заработной
платы будут получать работники в каждой из отраслей?
2) Предположим, что работники угледобывающей отрасли организуют профсоюз,
который действует как монополист в отношении предложения труда угледобывающей отрасли. Профсоюз выбирает тот уровень оплаты труда, который соответствует максимизации общей зарплаты его членов (т.е. максимизации $wmLm$). Профсоюз подписывает договор с фирмами, в соответствии с которым они нанимают рабочих, исходя из той ставки заработной платы, которую определяет профсоюз. При найме работников фирмы ориентируются на функцию спроса на труд, возникающую при максимизации прибыли. Какое количество работников будет занято в угледобывающей отрасли в результате деятельности профсоюза? Какое количество работников будет занято в сельском хозяйстве? Какая ставка заработной платы установится в каждой из отраслей? (Подразумевается, что цены в обеих отраслях остаются равными $1$. Рынок труда в сельском хозяйстве все еще совершенно конкурентный. В угледобывающей отрасли могут работать только члены профсоюза).
3) Предположим ситуация изменилась, и теперь работники сельского хозяйства вступают в профсоюз для того, чтобы повысить свою ставку заработной платы, что произойдет с занятостью и заработными платами в каждом секторе? Объясните, почему.
Решение

Ответ: 1) Lm =16, La=9, wm = wa=1
2) Lm =9, La=16, wm = 2, wa=1
3) Ничего не произойдет.

8. Контрамарки

Заядлый театрал обратил внимание на то, что, если много билетов на спектакль распространяется бесплатно (выдаются контрамарки), то после антракта освобождается намного больше мест, чем в случае, когда контрамарок не предоставляется. Он привел следующее объяснение своему наблюдению: «Очевидно, меньшее число освободившихся после антракта мест в зале в случае отсутствия контрамарок указывает на то, что зрители не готовы отказаться от просмотра следующего акта, если заплатили за это значительную сумму, и готовы, если право посмотреть спектакль досталось им бесплатно».

Согласны ли вы с мнением театрала? Можете ли вы предоставить ему возражения?

Решение

Теория альтернативных издержек предполагает, что люди не учитывают безвозвратные издержки, а принимают во внимание лишь те, которые связаны с отказом от одних действий в будущем в пользу других действий. Поскольку ушедшим после антракта денег за билеты не вернут, в антракт цена билета уже не представляет собой альтернативных издержек. Имеет же значение оценка следующего акта или актов по сравнению с возможностью провести оставшееся время наилучшим альтернативным образом. Очевидно, что среди купивших билет на спектакль нет тех, кто невысоко ценил спектакль по сравнению с альтернативой до начала спектакля. Однако, среди получивших контрамарки такие люди могут быть. Поэтому после первого акта среди последних может оказаться больше людей, для которых остаток спектакля не стоит потраченного времени, чем среди купивших билеты.

Ответ: 1) Lm =16, La=9, wm = wa=1
2) Lm =9, La=16, wm = 2, wa=1
3) Ничего не произойдет.