Если считать, что цель фирмы — получение наибольшей прибыли, то можно ли сделать вывод, рационально ли она поступила после изменения цен?
а) Определите дневной объем продаж и прибыль фермерского хозяйства.
б) При производстве каждой пачки творога остается два литра сыворотки, которую в хозяйстве прежде утилизировали, а теперь решили также продавать. Спрос на сыворотку описывается функцией $Q_C=120-2P_C$ ($Q_C$ — количество сыворотки, литров, $P_C$ — цена за один литр, ден. ед.), сыворотку на местном рынке никто еще не продает, затратами на ее упаковку можно пренебречь. Определите, какое количество творога и сыворотки следует продавать, если хозяйство стремится получать максимальную прибыль. На сколько увеличится в этом случае прибыль по сравнению с пунктом а)?
То же самое решение можно получить, аккуратно записав функцию прибыли, произведя, как сделано выше, замену переменных в доходе от продажи сыворотки. Только дифференцируя затем функцию прибыли, нужно не забыть проверить предельные доходы на положительность. Иначе ответ будет не верный.
а) Сколько добычи будет каждый соплеменник приносить из леса в день, сколько времени будет тратить на охоту и какое удовольствие получать?
б) Выступая с новогодним обращением, вождь племени заявил, что отныне вся принесенная добыча будет складываться в одну кучу и затем делиться между всеми соплеменниками поровну. Изменится ли поведение членов племени в этих условиях? Ответьте на вопросы пункта а) и объясните получившиеся результаты.
$$u_{i} =y_{i} -y_{i}^{2} +R.$$
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение будет достигаться в вершине параболы:
$$\begin{array}{c} {y_{i}^{*} =0,5;} \\ {c_{i}^{*} =0,25;} \\ {u_{i} =0,25+R,} \end{array}$$
то есть каждый соплеменник будет тратить на охоту четверть своего времени, приносить половину условной единицы добычи и получать удовольствие, равное $0,25+R$ единиц.
б) Всякий раз при равномерном разделе добычи будет выполняться:
$$x_{i} =\frac{\sum\limits_{j=1}^{N} y_{j} }{N}.$$
Функция, которую максимизирует i-й член племени, имеет вид:
$$u_{i} =x_{i} -c_{i} +R=\frac{y_{i} +\sum\limits_{j\ne i} y_{j} }{N} -y_{i}^{2} +R,$$
где $\sum _{j\ne i} y_{j} $ — количество добычи, принесенное всеми участниками, кроме i-го. Если воспринимать все переменные, на которые $i$-й участник не влияет, как константы, то данная функция также является квадратичной с максимумом в вершине параболы. Найдем оптимальные значения количества принесенной добычи и времени, проведенного в лесу:
$$y_{i}^{*} =\frac{1}{2N} ;$$
$$ c_{i}^{*} =\frac{1}{4N^{2}} .$$
Оптимальное количество принесенной добычи и доля времени, потраченного на охоту, будут одинаковыми для всех участников.
Нетрудно заметить, что результаты не отличаются от ответов пункта а) только при $N=1$ (действительно, если в племени только один человек, то нет никакой разницы, будет ли он просто съедать добычу или делить ее «поровну»), а при любом $N>1$ количество принесенной добычи, время, проведенное в лесу, и удовольствие, полученное каждым участником, уменьшится при введении дележа добычи, и будет тем меньше, чем больше людей в племени (последнее утверждение для значения функции удовольствия можно доказать, показав отрицательность ее производной по $N$ или разности ее значений при $N=k+1$ и $N=k$). Это происходит потому, что при дележе добычи у каждого участника появляется стимул работать меньше: ведь он понимает, что ему достанется только $1/N$ от того, что он принесет, а долю $\frac{N-1}{N} $ придется отдать соплеменникам. С другой стороны, думает он, большая часть того, что он съест, будет зависеть не от его вклада в общую кучу, а от вклада других членов племени. Чем больше $N$ , тем большую долю придется отдать другим и тем меньше он сам «почувствует» свой вклад (так, если в племени хотя бы 100 человек, то каждый соплеменник съест всего лишь 1/100 от того, что принесет сам, а 99/100 его собственного ужина составит то, что принесли другие!), то есть тем меньше добычи он захочет принести. От нежелания каждого работать в полную силу, вкладываясь в общественное благо, страдают все члены племени, при том что для каждого из них в отдельности такое его решение является рациональным.
Неожиданный рост цен на сырье, необходимого для производства товара А, может привести к тому, что предложение товара изменится в 30 (!) раз при любом уровне цен. Определите, как и на сколько процентов изменится в этом случае выручка продавцов товара А.
В Звондурасе производятся только два продукта: выращиваются апельсины и добывается нефть. При этом экспортируется все, что производится. Цена апельсинов на мировом рынке в 2008 году была 10 долларов за кг, цена нефти — 30 долларов за баррель. В производстве используется один фактор — труд, который однороден и продается на совершенно конкурентном рынке. Всего в экономике страны занято 10 000 человек. Данные о производственных возможностях Звондураса приведены в таблице:
Занятые в отрасли, тыс чел |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Предельный продукт труда в производстве апельсинов, кг |
60 | 52 | 45 | 39 | 34 | 30 | 27 | 26 | 25 | 25 |
Общее производство апельсинов, тонн |
80 | 135 | 185 | 228 | 264 | 296 | 324 | 350 | 375 | 400 |
Предельный продукт труда в производстве нефти, барр |
60 | 47 | 38 | 30 | 23 | 18 | 15 | 12 | 10 | 9 |
Общее производство нефти, тыс. барр. |
80 | 130 | 170 | 205 | 230 | 250 | 267 | 280 | 290 | 299 |
а) Используя данные таблицы, определите заработную плату в Звондурасе.
б) Пусть в 2009 году цена на нефть выросла в 2 раза, на сколько процентов изменятся номинальный и реальный ВВП Звондураса при прочих равных условиях.
Занятые в производстве апельсинов, тыс. чел. |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Предельный денежный продукт труда в производстве апельсинов, долл. |
600 | 520 | 450 | 390 | 340 | 300 | 270 | 260 | 250 | 250 |
Занятые в нефтяной отрасли, тыс. человек |
9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Предельный денежный продукт труда в производстве нефти, долл. |
300 | 360 | 450 | 540 | 690 | 900 | 1140 | 1410 | 1800 | - |
Из таблицы видим, что предельный денежный продукт труда выравнивается при 3 тыся-чах занятых в производстве апельсинов и 7 тысячах занятых в производстве нефти. Зара-ботная плата равна при этом предельному денежному продукту труда - 450 долл. (5 бал-лов).
2. Отметим, что в 2008 году было произведено 185 тонн апельсинов и 267 тыс. баррелей нефти (1балл).
Значит ВВП в 2008 году равнялся (185*10 + 30*267)/1000 = 9,86 млн. долл (2 балла).
Построим аналогичную таблицу для 2009 года:
Занятые в производстве апельсинов, тыс. чел. |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Предельный денежный продукт труда в производстве апельсинов, долл. |
600 | 520 | 450 | 390 | 340 | 300 | 270 | 260 | 250 | 250 |
Занятые в нефтяной отрасли, тыс. человек |
9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Предельный денежный продукт труда в производстве нефти, долл. |
600 | 720 | 900 | 1080 | 1380 | 1800 | 2800 | 2820 | 3600 | - |
Видим, что в производстве нефти будет занято 9 тыс. человек, а в производстве апельси-нов – 1 тыс. человек (2 балла).
Следовательно, будет произведено 80 тонн апельсинов и 290 тыс. баррелей нефти (2 бал-ла).
ВВП 2009 года в текущих ценах равен (10*80+60*290)/1000 = 18,2 млн. долл (1 балл)
ВВП в ценах 2008 года равен (10*80+30*290)/1000 = 9,5 млн. долл. (2 балла)
Таки образом, номинальный ВВП вырос на (18,2 – 9,86)/9,86 = 84,58% (1 балл)
А реальный ВВП уменьшился на (9,5 – 9,86)/9,86 = 3,65% (1 балл)
Если считать, что цель фирмы — получение наибольшей прибыли, то можно ли сделать вывод, рационально ли она поступила после изменения цен?
а) Определите дневной объем продаж и прибыль фермерского хозяйства.
б) При производстве каждой пачки творога остается два литра сыворотки, которую в хозяйстве прежде утилизировали, а теперь решили также продавать. Спрос на сыворотку описывается функцией $Q_C=120-2P_C$ ($Q_C$ — количество сыворотки, литров, $P_C$ — цена за один литр, ден. ед.), сыворотку на местном рынке никто еще не продает, затратами на ее упаковку можно пренебречь. Определите, какое количество творога и сыворотки следует продавать, если хозяйство стремится получать максимальную прибыль. На сколько увеличится в этом случае прибыль по сравнению с пунктом а)?
То же самое решение можно получить, аккуратно записав функцию прибыли, произведя, как сделано выше, замену переменных в доходе от продажи сыворотки. Только дифференцируя затем функцию прибыли, нужно не забыть проверить предельные доходы на положительность. Иначе ответ будет не верный.
а) Сколько добычи будет каждый соплеменник приносить из леса в день, сколько времени будет тратить на охоту и какое удовольствие получать?
б) Выступая с новогодним обращением, вождь племени заявил, что отныне вся принесенная добыча будет складываться в одну кучу и затем делиться между всеми соплеменниками поровну. Изменится ли поведение членов племени в этих условиях? Ответьте на вопросы пункта а) и объясните получившиеся результаты.
$$u_{i} =y_{i} -y_{i}^{2} +R.$$
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение будет достигаться в вершине параболы:
$$\begin{array}{c} {y_{i}^{*} =0,5;} \\ {c_{i}^{*} =0,25;} \\ {u_{i} =0,25+R,} \end{array}$$
то есть каждый соплеменник будет тратить на охоту четверть своего времени, приносить половину условной единицы добычи и получать удовольствие, равное $0,25+R$ единиц.
б) Всякий раз при равномерном разделе добычи будет выполняться:
$$x_{i} =\frac{\sum\limits_{j=1}^{N} y_{j} }{N}.$$
Функция, которую максимизирует i-й член племени, имеет вид:
$$u_{i} =x_{i} -c_{i} +R=\frac{y_{i} +\sum\limits_{j\ne i} y_{j} }{N} -y_{i}^{2} +R,$$
где $\sum _{j\ne i} y_{j} $ — количество добычи, принесенное всеми участниками, кроме i-го. Если воспринимать все переменные, на которые $i$-й участник не влияет, как константы, то данная функция также является квадратичной с максимумом в вершине параболы. Найдем оптимальные значения количества принесенной добычи и времени, проведенного в лесу:
$$y_{i}^{*} =\frac{1}{2N} ;$$
$$ c_{i}^{*} =\frac{1}{4N^{2}} .$$
Оптимальное количество принесенной добычи и доля времени, потраченного на охоту, будут одинаковыми для всех участников.
Нетрудно заметить, что результаты не отличаются от ответов пункта а) только при $N=1$ (действительно, если в племени только один человек, то нет никакой разницы, будет ли он просто съедать добычу или делить ее «поровну»), а при любом $N>1$ количество принесенной добычи, время, проведенное в лесу, и удовольствие, полученное каждым участником, уменьшится при введении дележа добычи, и будет тем меньше, чем больше людей в племени (последнее утверждение для значения функции удовольствия можно доказать, показав отрицательность ее производной по $N$ или разности ее значений при $N=k+1$ и $N=k$). Это происходит потому, что при дележе добычи у каждого участника появляется стимул работать меньше: ведь он понимает, что ему достанется только $1/N$ от того, что он принесет, а долю $\frac{N-1}{N} $ придется отдать соплеменникам. С другой стороны, думает он, большая часть того, что он съест, будет зависеть не от его вклада в общую кучу, а от вклада других членов племени. Чем больше $N$ , тем большую долю придется отдать другим и тем меньше он сам «почувствует» свой вклад (так, если в племени хотя бы 100 человек, то каждый соплеменник съест всего лишь 1/100 от того, что принесет сам, а 99/100 его собственного ужина составит то, что принесли другие!), то есть тем меньше добычи он захочет принести. От нежелания каждого работать в полную силу, вкладываясь в общественное благо, страдают все члены племени, при том что для каждого из них в отдельности такое его решение является рациональным.
Неожиданный рост цен на сырье, необходимого для производства товара А, может привести к тому, что предложение товара изменится в 30 (!) раз при любом уровне цен. Определите, как и на сколько процентов изменится в этом случае выручка продавцов товара А.