После роста спроса фирма стала получать прибыль, равную $25\cdot 4+19\cdot 3-7\cdot 12=73$. Однако известно, что ее технология позволяет производить 23 единицы товара A и 15 единиц товара B, нанимая 5 рабочих. Если бы фирма поступила так после изменения цен, то получила бы прибыль, равную $23\cdot 4+15\cdot 3-5\cdot 12=77$. Таким образом, существует способ получить прибыль большую, чем фирма получила фактически, то есть она повела себя нерационально. Заметим, что это не означает, что 77 является максимально возможной прибылью, а не менять количество рабочих и объемы выпуска — рациональным решением, но эти факты и не требуются для ответа на вопрос задачи.

$MC=0,4Q+10$
$MR=100-0,5Q$
$MC=MR\quad \Rightarrow Q=100, P=75, TR=7500,TC=3300, \pi =4200.$
б) Теперь при производстве каждой пачки творога можно получать доход не только от его продажи, но и от продажи двух литров сыворотки. То есть при прежних издержках доход возрастает. Иными словами производство каждой дополнительной пачки творога приносит не только предельный доход от продажи этой пачки, но и от продажи двух лит-ров сыворотки. А значит предельные издержки следует сравнивать уже с совокупным предельным доходом, получаемым от продажи и творога и сыворотки $MR_{total} =MR_{T} +MR_{C} $, где $MR_{T} =100-0,5Q_{T} $ - предельный доход от продажи творога (см. п.а), $MR_{C} =TR'_{C} $ предельный доход от продажи сыворотки. Однако, чтобы предельные доходы можно было складывать (геометрически происходит вертикальное сложение), нужно чтобы они были функциями одной переменной. Запишем функцию дохода от продажи сыворотки $TR_{C} =P_{C} \cdot Q_{C} =(60-0,5Q_{C} )\cdot Q_{C} $. Учитывая, что при производстве одной пачки творога получается два литра сыворотки, то есть $Q_{C} =2Q_{T} $ , произведем замену:$TR_{C} =(60-0,5\cdot 2Q_{T} )\cdot 2Q_{T} =120Q_{T} -2Q_{T}^{2} $ . Следовательно, $MR_{C} =120-4Q_{T} $. Теперь, когда и предельный доход от продажи творога и предельный доход от продажи сыворотки являются функциями от одной переменной, их можно сложить. Однако, следует помнить, что, фирма выбирает оптимальный объем производства из тех, при которых предельный доход положителен ($MR_{T} \ge 0,\; MR_{C} \ge 0$). Поэтому функция совокупного предельного до-хода выглядит следующим образом:
$$MR_{total}=\begin{cases}
220-4.5Q_{T} , \ Q_{T} \leq 30\\
100-0.5Q_{T} , \ 30 < Q_{T} \leq 200
\end{cases}.$$
То есть при продаже 30 пачек творога и меньше предельный доход от продажи как творога, так и сыворотки положителен, следовательно, есть смысл продавать оба продукта в размере объемов производства. При продаже более 30 пачек творога и до 200, предельный продукт от продажи сыворотки становится отрицательным, то есть продажа каждого дополнительного литра уменьшает совокупный доход, и значит, в объеме производства следует продавать только творог, а сыворотку – только в том объеме, который максимизирует выручку ($MR_{C} =0$ при $Q_{C} =60$), а остальное утилизировать как и ранее. Остается только выяснить оптимальный объем производства из условия равенства предельных до-ходов и предельных издержек $MR_{total} =MC$.
Функция издержек ввиду того, что затратами на упаковку сыворотки можно пренебречь, остается прежней (пункт а), не меняются и предельные издержки (пункт а). Решая уравнение, получаем: $Q_{T} =100,\; P_{T} =75$, то есть оптимальный объем продаж творога больше 30 пачек, а значит, следует продавать сыворотку в количестве, максимизирующем выручку, то есть $ Q_{C} =60\; P_{C} =30\; TR=9300\; TC=3300\; \pi =6000\; \Delta \pi =1800$.

То же самое решение можно получить, аккуратно записав функцию прибыли, произведя, как сделано выше, замену переменных в доходе от продажи сыворотки. Только дифференцируя затем функцию прибыли, нужно не забыть проверить предельные доходы на положительность. Иначе ответ будет не верный.

а) Поскольку каждый соплеменник съедает всю принесенную им добычу, $x_{i} =y_{i} =\sqrt{c_{i} } $ для всех $i$. Поэтому каждый член племени, выбирая, сколько принести добычи, максимизирует функцию

$$u_{i} =y_{i} -y_{i}^{2} +R.$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение будет достигаться в вершине параболы:

$$\begin{array}{c} {y_{i}^{*} =0,5;} \\ {c_{i}^{*} =0,25;} \\ {u_{i} =0,25+R,} \end{array}$$

то есть каждый соплеменник будет тратить на охоту четверть своего времени, приносить половину условной единицы добычи и получать удовольствие, равное $0,25+R$ единиц.

б) Всякий раз при равномерном разделе добычи будет выполняться:

$$x_{i} =\frac{\sum\limits_{j=1}^{N} y_{j} }{N}.$$

Функция, которую максимизирует i-й член племени, имеет вид:

$$u_{i} =x_{i} -c_{i} +R=\frac{y_{i} +\sum\limits_{j\ne i} y_{j} }{N} -y_{i}^{2} +R,$$

где $\sum _{j\ne i} y_{j} $ — количество добычи, принесенное всеми участниками, кроме i-го. Если воспринимать все переменные, на которые $i$-й участник не влияет, как константы, то данная функция также является квадратичной с максимумом в вершине параболы. Найдем оптимальные значения количества принесенной добычи и времени, проведенного в лесу:
$$y_{i}^{*} =\frac{1}{2N} ;$$
$$ c_{i}^{*} =\frac{1}{4N^{2}} .$$

Оптимальное количество принесенной добычи и доля времени, потраченного на охоту, будут одинаковыми для всех участников.
$$ {u_{i} =\frac{\sum\limits_{j=1}^{N} y_{j}^{*} }{N} -c_{i} +R=\frac{y_{i}^{*} \cdot N}{N} -c_{i}^{*} +R=\frac{1}{2N} -\frac{1}{4N^{2} } +R.}$$

Нетрудно заметить, что результаты не отличаются от ответов пункта а) только при $N=1$ (действительно, если в племени только один человек, то нет никакой разницы, будет ли он просто съедать добычу или делить ее «поровну»), а при любом $N>1$ количество принесенной добычи, время, проведенное в лесу, и удовольствие, полученное каждым участником, уменьшится при введении дележа добычи, и будет тем меньше, чем больше людей в племени (последнее утверждение для значения функции удовольствия можно доказать, показав отрицательность ее производной по $N$ или разности ее значений при $N=k+1$ и $N=k$). Это происходит потому, что при дележе добычи у каждого участника появляется стимул работать меньше: ведь он понимает, что ему достанется только $1/N$ от того, что он принесет, а долю $\frac{N-1}{N} $ придется отдать соплеменникам. С другой стороны, думает он, большая часть того, что он съест, будет зависеть не от его вклада в общую кучу, а от вклада других членов племени. Чем больше $N$ , тем большую долю придется отдать другим и тем меньше он сам «почувствует» свой вклад (так, если в племени хотя бы 100 человек, то каждый соплеменник съест всего лишь 1/100 от того, что принесет сам, а 99/100 его собственного ужина составит то, что принесли другие!), то есть тем меньше добычи он захочет принести. От нежелания каждого работать в полную силу, вкладываясь в общественное благо, страдают все члены племени, при том что для каждого из них в отдельности такое его решение является рациональным.

В основе решения лежит следующее утверждение: так как функции спроса линейные, то их можно определить так: $Q=a-(a/b)P$, а значит выручка продавцов (расходы покупателей) будут максимальными, когда эластичность спроса по цене будет равна (-1), что достигается при $P=b/2$ и $Q=a/2$.
Соответственно ПЕРВАЯ группа покупателей бесплатно готова получить максимально $100\times 2=200$ тонн товара А, а ВТОРАЯ группа $--- 90\times 2=180$ тонн товара А. Вместе они готовы бесплатно получить $200+180=380$ тонн товара А.
Совокупный спрос описывается кусочно-линейной функцией, Нам известно, что максимальная выручка достигается при цене, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей, а значит если продолжить суммарную функцию спроса до пересечения с осью цен, то мы окажемся в точке $P=47,5\times 2=95$. (Ситуацию, соответствующую предположению, что максимум выручки может достигаться в случае когда на рынке остается только одна группа покупателей мы не рассматриваем, так как по условию при цене $P=47,5$ на рынке покупки совершают обе группы покупателей.) Итак, суммарная функция спроса имеет вид $Q_d=380-(380/95)P$, или $Q_d=380-4P$. Однако это функция описывает только тот участок суммарной функции спроса, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей.
Теперь легко найти выручку продавцов в исходном состоянии равновесия $P_e=20$, $Q_e=380-4\times 20=300$. И $TR=20\times 300=6000$ рублей.
Для того чтобы определиться с новым равновесием, нам надо выяснить какой будет функция предложения и на каком участке совокупного спроса будет оно достигаться равновесие (одна из групп покупателей при высокой цене товара А может покинуть рынок).
Так как нам известно, что предложение имеет единичную эластичность по цене и функция предложения линейна, значит функция предложения проходит через начало координат и через исходную точку равновесия. Легко отсюда определить вид функции предложения $Q_s=15P$.
Соответственно новое предложение будет описываться функцией $Q_s=(15P)/30=0,5P$, по-скольку из-за роста цен на сырье предложение УМЕНЬШИЛОСЬ в 30 раз.
Так как нам известно, что при исходной равновесной цене расходы покупателей одинаковы, то значит и одинаковы объемы покупки товара А у каждой группы. И они составляют 150 тонн для каждой группы. Теперь легко восстановить исходные функции спроса покупателей каждой группы (используем подобие треугольников, или построение функции по двум точкам). Получаем – функция спроса ПЕРВОЙ группы покупателей - $Q_d=200-2,5P$ и эта группа покупателей готова покупать товар до тех пор пока цена ниже 80 ден.ед. за тонну, а функция спроса ВТОРОЙ группы покупателей -- $Q_d=180-1,5P$, и они готовы покупать товар при ценах ниже 120 ден. ед. за тонну. Таким образом, суммарная функция спроса на товар А будет иметь вид:
При ценах от 0 до 80 ден.ед. : $Q_d=380-4P$
При ценах от 80 до 120 ден.ед. $Q_d=180-1,5P$
Чтобы определиться с равновесием достаточно выяснить будет ли новая равновесная цена выше или ниже 80 ден.ед. При цене 80 ден.ед. покупатели готовы купить 60 тонн товара, а продавцы готовы продать 40 тонн товара. Возникает дефицит, который ведет к повышению цены товара А. Новое равновесие находим из следующего равенства $180-1,5P=0,5P.$
Итак, новое равновесие установится при $P_e=90, \ Q_e=45$. Выручка продавцов при этом со-ставит 4050 ден.ед.
Таким образом, выручка продавцов должна снизиться на $-(4050/6000-1)*100\%=32,5\%.$

1. Поскольку рынок труда совершенно конкурентный, то зарплата в обеих отраслях должна выровняться и стать равной предельному денежному продукту труда MRPL= MPL*P (2 балла). Отметим также, что если в первой отрасли занято N тысяч человек, то во второй (10-N) тысяч человек (1 балл).

Занятые в производстве апельсинов, тыс. чел.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Предельный денежный продукт труда в производстве апельсинов, долл.	600	520	450	390	340	300	270	260	250	250
Занятые в нефтяной отрасли, тыс. человек	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Предельный денежный продукт труда в производстве нефти, долл.	300	360	450	540	690	900	1140	1410	1800	-

Из таблицы видим, что предельный денежный продукт труда выравнивается при 3 тыся-чах занятых в производстве апельсинов и 7 тысячах занятых в производстве нефти. Зара-ботная плата равна при этом предельному денежному продукту труда - 450 долл. (5 бал-лов).

2. Отметим, что в 2008 году было произведено 185 тонн апельсинов и 267 тыс. баррелей нефти (1балл).
Значит ВВП в 2008 году равнялся (185*10 + 30*267)/1000 = 9,86 млн. долл (2 балла).

Построим аналогичную таблицу для 2009 года:

Занятые в производстве апельсинов, тыс. чел.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Предельный денежный продукт труда в производстве апельсинов, долл.	600	520	450	390	340	300	270	260	250	250
Занятые в нефтяной отрасли, тыс. человек	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Предельный денежный продукт труда в производстве нефти, долл.	600	720	900	1080	1380	1800	2800	2820	3600	-

Видим, что в производстве нефти будет занято 9 тыс. человек, а в производстве апельси-нов – 1 тыс. человек (2 балла).
Следовательно, будет произведено 80 тонн апельсинов и 290 тыс. баррелей нефти (2 бал-ла).
ВВП 2009 года в текущих ценах равен (10*80+60*290)/1000 = 18,2 млн. долл (1 балл)
ВВП в ценах 2008 года равен (10*80+30*290)/1000 = 9,5 млн. долл. (2 балла)
Таки образом, номинальный ВВП вырос на (18,2 – 9,86)/9,86 = 84,58% (1 балл)
А реальный ВВП уменьшился на (9,5 – 9,86)/9,86 = 3,65% (1 балл)

После роста спроса фирма стала получать прибыль, равную $25\cdot 4+19\cdot 3-7\cdot 12=73$. Однако известно, что ее технология позволяет производить 23 единицы товара A и 15 единиц товара B, нанимая 5 рабочих. Если бы фирма поступила так после изменения цен, то получила бы прибыль, равную $23\cdot 4+15\cdot 3-5\cdot 12=77$. Таким образом, существует способ получить прибыль большую, чем фирма получила фактически, то есть она повела себя нерационально. Заметим, что это не означает, что 77 является максимально возможной прибылью, а не менять количество рабочих и объемы выпуска — рациональным решением, но эти факты и не требуются для ответа на вопрос задачи.

$MC=0,4Q+10$
$MR=100-0,5Q$
$MC=MR\quad \Rightarrow Q=100, P=75, TR=7500,TC=3300, \pi =4200.$
б) Теперь при производстве каждой пачки творога можно получать доход не только от его продажи, но и от продажи двух литров сыворотки. То есть при прежних издержках доход возрастает. Иными словами производство каждой дополнительной пачки творога приносит не только предельный доход от продажи этой пачки, но и от продажи двух лит-ров сыворотки. А значит предельные издержки следует сравнивать уже с совокупным предельным доходом, получаемым от продажи и творога и сыворотки $MR_{total} =MR_{T} +MR_{C} $, где $MR_{T} =100-0,5Q_{T} $ - предельный доход от продажи творога (см. п.а), $MR_{C} =TR'_{C} $ предельный доход от продажи сыворотки. Однако, чтобы предельные доходы можно было складывать (геометрически происходит вертикальное сложение), нужно чтобы они были функциями одной переменной. Запишем функцию дохода от продажи сыворотки $TR_{C} =P_{C} \cdot Q_{C} =(60-0,5Q_{C} )\cdot Q_{C} $. Учитывая, что при производстве одной пачки творога получается два литра сыворотки, то есть $Q_{C} =2Q_{T} $ , произведем замену:$TR_{C} =(60-0,5\cdot 2Q_{T} )\cdot 2Q_{T} =120Q_{T} -2Q_{T}^{2} $ . Следовательно, $MR_{C} =120-4Q_{T} $. Теперь, когда и предельный доход от продажи творога и предельный доход от продажи сыворотки являются функциями от одной переменной, их можно сложить. Однако, следует помнить, что, фирма выбирает оптимальный объем производства из тех, при которых предельный доход положителен ($MR_{T} \ge 0,\; MR_{C} \ge 0$). Поэтому функция совокупного предельного до-хода выглядит следующим образом:
$$MR_{total}=\begin{cases}
220-4.5Q_{T} , \ Q_{T} \leq 30\\
100-0.5Q_{T} , \ 30 < Q_{T} \leq 200
\end{cases}.$$
То есть при продаже 30 пачек творога и меньше предельный доход от продажи как творога, так и сыворотки положителен, следовательно, есть смысл продавать оба продукта в размере объемов производства. При продаже более 30 пачек творога и до 200, предельный продукт от продажи сыворотки становится отрицательным, то есть продажа каждого дополнительного литра уменьшает совокупный доход, и значит, в объеме производства следует продавать только творог, а сыворотку – только в том объеме, который максимизирует выручку ($MR_{C} =0$ при $Q_{C} =60$), а остальное утилизировать как и ранее. Остается только выяснить оптимальный объем производства из условия равенства предельных до-ходов и предельных издержек $MR_{total} =MC$.
Функция издержек ввиду того, что затратами на упаковку сыворотки можно пренебречь, остается прежней (пункт а), не меняются и предельные издержки (пункт а). Решая уравнение, получаем: $Q_{T} =100,\; P_{T} =75$, то есть оптимальный объем продаж творога больше 30 пачек, а значит, следует продавать сыворотку в количестве, максимизирующем выручку, то есть $ Q_{C} =60\; P_{C} =30\; TR=9300\; TC=3300\; \pi =6000\; \Delta \pi =1800$.

То же самое решение можно получить, аккуратно записав функцию прибыли, произведя, как сделано выше, замену переменных в доходе от продажи сыворотки. Только дифференцируя затем функцию прибыли, нужно не забыть проверить предельные доходы на положительность. Иначе ответ будет не верный.

а) Поскольку каждый соплеменник съедает всю принесенную им добычу, $x_{i} =y_{i} =\sqrt{c_{i} } $ для всех $i$. Поэтому каждый член племени, выбирая, сколько принести добычи, максимизирует функцию

$$u_{i} =y_{i} -y_{i}^{2} +R.$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение будет достигаться в вершине параболы:

$$\begin{array}{c} {y_{i}^{*} =0,5;} \\ {c_{i}^{*} =0,25;} \\ {u_{i} =0,25+R,} \end{array}$$

то есть каждый соплеменник будет тратить на охоту четверть своего времени, приносить половину условной единицы добычи и получать удовольствие, равное $0,25+R$ единиц.

б) Всякий раз при равномерном разделе добычи будет выполняться:

$$x_{i} =\frac{\sum\limits_{j=1}^{N} y_{j} }{N}.$$

Функция, которую максимизирует i-й член племени, имеет вид:

$$u_{i} =x_{i} -c_{i} +R=\frac{y_{i} +\sum\limits_{j\ne i} y_{j} }{N} -y_{i}^{2} +R,$$

где $\sum _{j\ne i} y_{j} $ — количество добычи, принесенное всеми участниками, кроме i-го. Если воспринимать все переменные, на которые $i$-й участник не влияет, как константы, то данная функция также является квадратичной с максимумом в вершине параболы. Найдем оптимальные значения количества принесенной добычи и времени, проведенного в лесу:
$$y_{i}^{*} =\frac{1}{2N} ;$$
$$ c_{i}^{*} =\frac{1}{4N^{2}} .$$

Оптимальное количество принесенной добычи и доля времени, потраченного на охоту, будут одинаковыми для всех участников.
$$ {u_{i} =\frac{\sum\limits_{j=1}^{N} y_{j}^{*} }{N} -c_{i} +R=\frac{y_{i}^{*} \cdot N}{N} -c_{i}^{*} +R=\frac{1}{2N} -\frac{1}{4N^{2} } +R.}$$

Нетрудно заметить, что результаты не отличаются от ответов пункта а) только при $N=1$ (действительно, если в племени только один человек, то нет никакой разницы, будет ли он просто съедать добычу или делить ее «поровну»), а при любом $N>1$ количество принесенной добычи, время, проведенное в лесу, и удовольствие, полученное каждым участником, уменьшится при введении дележа добычи, и будет тем меньше, чем больше людей в племени (последнее утверждение для значения функции удовольствия можно доказать, показав отрицательность ее производной по $N$ или разности ее значений при $N=k+1$ и $N=k$). Это происходит потому, что при дележе добычи у каждого участника появляется стимул работать меньше: ведь он понимает, что ему достанется только $1/N$ от того, что он принесет, а долю $\frac{N-1}{N} $ придется отдать соплеменникам. С другой стороны, думает он, большая часть того, что он съест, будет зависеть не от его вклада в общую кучу, а от вклада других членов племени. Чем больше $N$ , тем большую долю придется отдать другим и тем меньше он сам «почувствует» свой вклад (так, если в племени хотя бы 100 человек, то каждый соплеменник съест всего лишь 1/100 от того, что принесет сам, а 99/100 его собственного ужина составит то, что принесли другие!), то есть тем меньше добычи он захочет принести. От нежелания каждого работать в полную силу, вкладываясь в общественное благо, страдают все члены племени, при том что для каждого из них в отдельности такое его решение является рациональным.

В основе решения лежит следующее утверждение: так как функции спроса линейные, то их можно определить так: $Q=a-(a/b)P$, а значит выручка продавцов (расходы покупателей) будут максимальными, когда эластичность спроса по цене будет равна (-1), что достигается при $P=b/2$ и $Q=a/2$.
Соответственно ПЕРВАЯ группа покупателей бесплатно готова получить максимально $100\times 2=200$ тонн товара А, а ВТОРАЯ группа $--- 90\times 2=180$ тонн товара А. Вместе они готовы бесплатно получить $200+180=380$ тонн товара А.
Совокупный спрос описывается кусочно-линейной функцией, Нам известно, что максимальная выручка достигается при цене, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей, а значит если продолжить суммарную функцию спроса до пересечения с осью цен, то мы окажемся в точке $P=47,5\times 2=95$. (Ситуацию, соответствующую предположению, что максимум выручки может достигаться в случае когда на рынке остается только одна группа покупателей мы не рассматриваем, так как по условию при цене $P=47,5$ на рынке покупки совершают обе группы покупателей.) Итак, суммарная функция спроса имеет вид $Q_d=380-(380/95)P$, или $Q_d=380-4P$. Однако это функция описывает только тот участок суммарной функции спроса, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей.
Теперь легко найти выручку продавцов в исходном состоянии равновесия $P_e=20$, $Q_e=380-4\times 20=300$. И $TR=20\times 300=6000$ рублей.
Для того чтобы определиться с новым равновесием, нам надо выяснить какой будет функция предложения и на каком участке совокупного спроса будет оно достигаться равновесие (одна из групп покупателей при высокой цене товара А может покинуть рынок).
Так как нам известно, что предложение имеет единичную эластичность по цене и функция предложения линейна, значит функция предложения проходит через начало координат и через исходную точку равновесия. Легко отсюда определить вид функции предложения $Q_s=15P$.
Соответственно новое предложение будет описываться функцией $Q_s=(15P)/30=0,5P$, по-скольку из-за роста цен на сырье предложение УМЕНЬШИЛОСЬ в 30 раз.
Так как нам известно, что при исходной равновесной цене расходы покупателей одинаковы, то значит и одинаковы объемы покупки товара А у каждой группы. И они составляют 150 тонн для каждой группы. Теперь легко восстановить исходные функции спроса покупателей каждой группы (используем подобие треугольников, или построение функции по двум точкам). Получаем – функция спроса ПЕРВОЙ группы покупателей - $Q_d=200-2,5P$ и эта группа покупателей готова покупать товар до тех пор пока цена ниже 80 ден.ед. за тонну, а функция спроса ВТОРОЙ группы покупателей -- $Q_d=180-1,5P$, и они готовы покупать товар при ценах ниже 120 ден. ед. за тонну. Таким образом, суммарная функция спроса на товар А будет иметь вид:
При ценах от 0 до 80 ден.ед. : $Q_d=380-4P$
При ценах от 80 до 120 ден.ед. $Q_d=180-1,5P$
Чтобы определиться с равновесием достаточно выяснить будет ли новая равновесная цена выше или ниже 80 ден.ед. При цене 80 ден.ед. покупатели готовы купить 60 тонн товара, а продавцы готовы продать 40 тонн товара. Возникает дефицит, который ведет к повышению цены товара А. Новое равновесие находим из следующего равенства $180-1,5P=0,5P.$
Итак, новое равновесие установится при $P_e=90, \ Q_e=45$. Выручка продавцов при этом со-ставит 4050 ден.ед.
Таким образом, выручка продавцов должна снизиться на $-(4050/6000-1)*100\%=32,5\%.$