10 класс

1. Город Му-му-2

В городе Му-му очень любят пить молоко. Известно, что спрос и предложение на молоко линейны, причём они имеют одинаковый (по модулю) наклон. Опытный экономист Вася сумел также выяснить, что цена, равная по величине удвоенной равновесной, является наименьшей ценой, при которой никто из жителей не захочет покупать молоко, а на рынке будет наблюдаться избыток продукции в 10 тыс. литров молока. Определите, сколько молока покупают жители Му-му в равновесии.
Решение

Введём функцию спроса: $Q_d=a-b\cdot p$ и функция предложения:$Q_s=c+d\cdot p$ Из условия задачи следует, что $b=d$(2 балла). Тогда равновесная цена равна
$(a ‒ c)/2b$. При вдвое большей цене молоко никто не покупает, отсюда (3 балла), откуда $с = 0$, то есть кривая предложения проходит через начало координат. С другой стороны, при цене $(a ‒ c)/b = a/b$ величина предложения равна 10, откуда $0+b\cdot (a/b)=10$ (3 балла), то есть
$a = 10$. Равновесное количество равно $а ‒ b\cdot (a ‒ c)/2b = a/2 = 5 $(2 балла).

2. Две группы потребителей

На товар Х, производимый фирмой-монополистом, спрос предъявляют 2 группы потребителей, для которых фирма назначает единую цену: $Q_d^1=16-2p$, $Q_d^2=32-2p$.

Фирма тратит 6 денежных единиц на каждую произведённую единицу продукции, постоянные издержки равны 0. Найдите оптимальный объём производства для фирмы, цену, по которой она будет реализовывать свою продукцию, а также укажите, сколько групп потребителей будут покупать продукцию фирмы.

Решение

Спрос будет задаваться кусочно-линейной функцией:
$$Q=\begin{cases}
48-4p,p \in [0,8] \\
32-2p,p \in [8,16]
\end{cases}$$ (2 балла).
Тогда обратное уравнение спроса: $P=\begin{cases}
16-Q/2, Q \in [0,16] \\
12-Q/4, Q \in [16,48]
\end{cases}$ (2 балла).
Общие издержки фирмы, согласно условию, задаются уравнением $TC=6Q$
(1 балл).
Тогда прибыль фирмы устроена следующим образом:
$$\pi=\begin{cases}
Q(16-Q/2)-6Q, Q \in [0,16] \\
Q(12-Q/4)-^Q, Q \in [16,48]
\end{cases}$$ (1 балл).
Максимум функции на отрезке [0,16] достигается в вершине: Q=10 и равняется 50 (2 балла).
Максимум функции на отрезке [16,48] достигается на границе отрезка: Q=12, значение не принадлежит выбранному отрезку (2 балла).
Таким образом, фирма будет производить 10 единиц по цене 11, а спрос на продукцию фирмы будет предъявлять только вторая группа потребителей.

Можно решать задачу, используя обратную функцию спроса.
Тогда функция прибыли от цены имеет вид:
$$\pi (p)=\begin{cases}
(48-4p)(p-6),p \in [0,8] \\
(32-2p)(p-6),p \in [8,16]
\end{cases}$$ (5 баллов).
Каждый участок функции прибыли ‒ парабола с ветвями вниз, вершина первой параболы в точке p = 8, вершина второй параболы в точке p = 11 (обе координаты принадлежат соответствующим участкам). Поскольку прибыль
в точке (8, 32) лежит и на второй части тоже, можно заключить, что p = 11 максимизирует прибыль. Поскольку это участок с высокими ценами, продукцию будут покупать только потребители из второй группы (5 баллов).

3. Интернет на весь год

Вы оплачиваете услуги интернет-провайдера, в начале каждого месяца внося на счёт одну и ту же сумму. Компания предложила оплатить свои услуги в начале года на год вперёд со скидкой $s\cdot 100 \%$. Месячная процентная ставка по депозитам составляет $r \cdot 100 \%$ и не меняется. Вы максимизируете сумму, которая будет лежать на Вашем счету в конце года (изначально у Вас на счету лежит сумма, достаточная для оплаты услуг по любой схеме). Для каждого значения r укажите все значения s, при которых согласиться на предложение провайдера будет выгодно.
Решение

Обозначим месячную стоимость услуг провайдера за А. Пусть изначально сумма на счету равна B. Если не пользуемся скидкой и оплачиваем регулярно 12 раз в году, то сумма в конце года будет равна $$(B-A)(1+r)^{12}-A(1+r)^{11}-A(1+r)^{10}-...-A(1+r)$$ (2 балла).
По формуле суммы геометрической прогрессии это выражение равно $$B(1+r)^{12}-\frac{(1+r)^{13}-(1+r)}{r}$$(1 балл).
Если пользуемся скидкой, то сумма на счёте в конце года будет равна $(B-(1-s)12A)(1+r)^{12}$ (3 балла).
Остаётся сравнить два полученных выражения, А и B сократятся. Cогласиться на предложение будет выгодно, если
$$12(1-s) \leq \frac{(1+r)^{12}-1}{r(1+r)^{11}}$$ (3 балла)
Строгость или нестрогость знака значения не имеет. Преобразовав, получим ответ:
$$s \geq 1- \frac{(1+r)^{12}-1}{12r(1+r)^{11}}$$
(1 балл).

4. Страна XY

В стране XY единственным фактором производства является труд, рабочая сила составляет 100 единиц труда. Если все они заняты в производстве товаров x или y, то каждая единица труда может произвести 2 единицы первого товара или четыре единицы второго товара. Существует и третий вид деятельности ‒ научные исследования, проводимые в местном университете. Благодаря этим исследованиям, производительность труда может быть увеличена. Если в исследованиях заняты n единиц труда, то производительность растёт в обеих отраслях в (1 + 0,02n) раз по сравнению с первоначальным уровнем. Например, если 10 единиц труда отправить
на обеспечение технологического прогресса, то его уровень будет 20 %, а производительности, соответственно, станут равны 2,4 и 4,8 вместо прежних 2 и 4. Найдите уравнение кривой производственных возможностей страны XY.
Решение

Производственные функции можно записать, как $x=(1+0.02n)2L_x$ и $y=(1+0.02n)4L_y$ (по 2 балла за каждую производственную функцию). Весь труд будет использоваться, т. к. все функции монотонно возрастают, поэтому $L_x+L_y+n=100$ (1 балл за уравнение):
$$\frac{x}{2(1+0.02n)}+\frac{y}{4(1+0.02n)}+L_n=100
\\y=4(1+0.02n)(100-n)-2x$$
(2 балла за уравнение).
Мы получили уравнение, описывающее доступные комбинации x и у при разных значениях $L_n.$ Чтобы получить уравнение КПВ, нужно сделать так, чтобы для каждого значения x значение $y=4(1+0.02n)(100-n)-2x$ было максимальным. Видно, что наклон этой линии не зависит от Ln, поэтому разные значения этого параметра задают параллельные друг другу прямые, из которых нам нужно выбрать самую высокую. Для этого нужно максимизировать функцию $(1+0.02n)(100-n)$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз и корнями −50 и 100, значит, вершина параболы – точка максимума – будет находиться в точке 25 (посередине между корнями). Если $n=25$, то КПВ будет иметь вид $y=450-2x$ (3 балла).

11 класс

1. Богатые и бедные

В каждой из двух стран можно выделить две однородные группы населения: бедные, наиболее многочисленные и наименее обеспеченные, и богатые, малочисленные и владеющие большей частью дохода страны. Неравенство в стране A в 2 раза выше, чем неравенство в стране Б. Доля дохода бедных в стране А в 3 раза меньше, чем в стране Б, а доля группы бедных в стране А в 2 раза меньше, чем доля группы бедных в стране Б. Степень неравенства оценивается с помощью индекса Джини. Найдите тангенс угла наклона нижнего участка кривой Лоренца, построенной для страны А.
Решение

В случае, когда есть две однородные группы, кривая Лоренца выглядит так:

Вопрос задачи заключается в том, чтобы найти тангенс угла, обозначенного на рисунке как $\varphi $. На рисунке x – это доля бедных, а y – это доля доходов бедных.
Сначала поясним, как найти индекс Джини, зная долю доходов бедных и долю их численности.
Площадь под кривой Лоренца равна
$$0.5xy+0.5(y+1)(1-x)=0.5(y-x+1)$$ (2 балла).
Площадь между кривой равномерного распределения доходов и кривой Лоренца:
$$0.5-0.5(y-x+1)=0.5(x-y)$$ (2 балла).
Таким образом, индекс Джини равен: $G=\frac{0.5(x-y)}{0.5}=x-y$ (2 балла).
По условию задачи $G_A=2G_B; \ y_B=3y_A; \ x_B=2x_A$.
Тогда $\frac{x_A-y_A}{x_B-y_B}=2$(2 балла).
Находим $\tan \varphi =\frac{y_A}{x_A}=\frac{2\cdot 2 -1}{2\cdot 3 -1}=0.6$ (2 балла).

2. Интернет на весь год

Вы оплачиваете услуги интернет-провайдера, в начале каждого месяца внося на счёт одну и ту же сумму. Компания предложила оплатить свои услуги в начале года на год вперёд со скидкой $s\cdot 100 \%$. Месячная процентная ставка по депозитам составляет $r \cdot 100 \%$ и не меняется. Вы максимизируете сумму, которая будет лежать на Вашем счету в конце года (изначально у Вас на счету лежит сумма, достаточная для оплаты услуг по любой схеме). Для каждого значения r укажите все значения s, при которых согласиться на предложение провайдера будет выгодно.
Решение

Обозначим месячную стоимость услуг провайдера за А. Пусть изначально сумма на счету равна B. Если не пользуемся скидкой и оплачиваем регулярно 12 раз в году, то сумма в конце года будет равна $$(B-A)(1+r)^{12}-A(1+r)^{11}-A(1+r)^{10}-...-A(1+r)$$ (2 балла).
По формуле суммы геометрической прогрессии это выражение равно $$B(1+r)^{12}-\frac{(1+r)^{13}-(1+r)}{r}$$(1 балл).
Если пользуемся скидкой, то сумма на счёте в конце года будет равна $(B-(1-s)12A)(1+r)^{12}$ (3 балла).
Остаётся сравнить два полученных выражения, А и B сократятся. Cогласиться на предложение будет выгодно, если
$$12(1-s) \leq \frac{(1+r)^{12}-1}{r(1+r)^{11}}$$ (3 балла)
Строгость или нестрогость знака значения не имеет. Преобразовав, получим ответ:
$$s \geq 1- \frac{(1+r)^{12}-1}{12r(1+r)^{11}}$$
(1 балл).

3. Страна XY

В стране XY единственным фактором производства является труд, рабочая сила составляет 100 единиц труда. Если все они заняты в производстве товаров x или y, то каждая единица труда может произвести 2 единицы первого товара или четыре единицы второго товара. Существует и третий вид деятельности ‒ научные исследования, проводимые в местном университете. Благодаря этим исследованиям, производительность труда может быть увеличена. Если в исследованиях заняты n единиц труда, то производительность растёт в обеих отраслях в (1 + 0,02n) раз по сравнению с первоначальным уровнем. Например, если 10 единиц труда отправить
на обеспечение технологического прогресса, то его уровень будет 20 %, а производительности, соответственно, станут равны 2,4 и 4,8 вместо прежних 2 и 4. Найдите уравнение кривой производственных возможностей страны XY.
Решение

Производственные функции можно записать, как $x=(1+0.02n)2L_x$ и $y=(1+0.02n)4L_y$ (по 2 балла за каждую производственную функцию). Весь труд будет использоваться, т. к. все функции монотонно возрастают, поэтому $L_x+L_y+n=100$ (1 балл за уравнение):
$$\frac{x}{2(1+0.02n)}+\frac{y}{4(1+0.02n)}+L_n=100
\\y=4(1+0.02n)(100-n)-2x$$
(2 балла за уравнение).
Мы получили уравнение, описывающее доступные комбинации x и у при разных значениях $L_n.$ Чтобы получить уравнение КПВ, нужно сделать так, чтобы для каждого значения x значение $y=4(1+0.02n)(100-n)-2x$ было максимальным. Видно, что наклон этой линии не зависит от Ln, поэтому разные значения этого параметра задают параллельные друг другу прямые, из которых нам нужно выбрать самую высокую. Для этого нужно максимизировать функцию $(1+0.02n)(100-n)$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз и корнями −50 и 100, значит, вершина параболы – точка максимума – будет находиться в точке 25 (посередине между корнями). Если $n=25$, то КПВ будет иметь вид $y=450-2x$ (3 балла).

4. Два парламентария

В стране N функция спроса на товар А задаётся уравнением $Q=20-P$. Функция рыночного предложения на товар линейна. Известно, что её эластичность постоянна и равна 1, а в равновесии продаётся 10 единиц товара.
Для того чтобы финансировать военные расходы, государство решает ввести налог на товар А.
Однако в парламенте начались дебаты по поводу того, как следует вводить налог для получения большего налогового сбора. Один парламентарий считает, что надо ввести потоварный налог на покупателей в виде фиксированной платы за каждую купленную единицу товара. Другой – что следует облагать налогами производителей, притом ввести налог в виде процента от выручки.
Считая, что все граждане и все фирмы уплатят налоги, а государство максимизирует налоговые сборы, ответьте на следующие вопросы:
1) Какой оптимальный налог следует ввести государству, если устанавливать потоварный налог с покупателей, и какие налоговые сборы получится собрать?
2) Какой оптимальный налог следует установить, если устанавливать процентный налог на выручку (следовать совету второго депутата), и какие налоговые сборы получится собрать?
3) Какой вариант, исходя из цели максимизации налоговых сборов, предпочтительнее?
Решение

Эластичность функции спроса постоянна, поэтому она задаётся уравнением $Q=k\cdot P$. В равновесии продаётся 10 единиц товара, поэтому k = 1 (так как
на кривой есть точка Q = P = 10).
1) Когда вводится потоварный налог на покупателей, можно сказать, что уравнение спроса будет описываться так: $Q=20-(P+t)=20-P-t$
$$Q^S=P
\\20-t-Q=Q
\\Q=0.5(20-t)$$
Налоговые сборы вычисляются по формуле:
$$T=t\cdot Q=0.5t(20-t)$$
Это парабола с ветвями вниз, поэтому есть максимум в вершине:
$$t^* =10$$
$T=0.5\cdot 10\cdot 10=50$ (3 балла).
2) Когда вводится налог на выручку, меняются стимулы каждой фирмы. Теперь каждая фирма максимизирует функцию прибыли:
Тогда в оптимуме
Тогда уравнение новой кривой предложения будет иметь вид: $P\cdot(1-t)=Q$
$$Q=20-P
\\Q=\frac{1-t}{2-t}\cdot 20$$
Тогда налоговые сборы вычисляются по формуле: T=tPQ (3 балла).
Сделаем замену переменных. Введём параметр k. Параметр $k=P^d-P^s$.
С другой стороны, k=t\cdot P
Тогда имеет место равенство $20-Q-k=Q$ Или $Q=0.5/(20-k)$
В таком случае максимизируем функцию $0.5k/(20-k)$
Аналогично пункту 1) оптимальным является k = 10
P = 15.
$$k=t\cdot P
\\ 10=t\cdot 15$$
$t^*=2/3$ или же $66\frac{2}{3}\%$.
Можно решать и без замены переменных, просто максимизируя функцию налоговых сборов.
У пункта есть и более простое решение. Поскольку ясно, что любой налог
в процентах от выручки − это эквивалент какого-то потоварного налога, найдём, какой процент от цены покупателя составляет старый налог. Цена покупателя была P = 20 − Q = 15, старый налог вводился по ставке 10, значит, эквивалентный адвалорный налог составляет 2/3 от выручки (66,(6) %).
Сумма налоговых сборов аналогично пункту 1) равна 50 (3 балла).
3) Безразлично (1 балл).

7-8 класс

1. День Рождения Чебурашки

Крокодил Гена захотел порадовать Чебурашку и купить ему на день рождения ноутбук. Гена подсчитал, что для того, чтобы накопить нужную сумму, он может воспользоваться двумя вариантами. В первом случае ему понадобится десять месяцев откладывать по четверти от своей зарплаты.
Во втором случае ‒ четыре месяца откладывать по половине, а затем вложить всё в банк на два месяца. Банковская ставка процента по вкладам составляет
12 % в месяц (это означает, что сумма вклада в банке ежемесячно увеличивается на 12 % по отношению к оставшейся на конец предыдущего месяца). В первом случае денег хватит ровно на один ноутбук, а во втором случае после покупки ноутбука у Гены останется немного лишних денег, которых хватит ровно на одно мороженое. Какую сумму зарабатывает крокодил Гена в месяц, если стоимость мороженого составляет 88 медяков?
Решение

Обозначим зарплату Гены за Y. Если он десять месяцев будет откладывать по четверти своей зарплаты, то в итоге он получит сумму, равную $\frac{Y}{4}\cdot 10=2.5Y$. (2 балла)
Если Гена будет откладывать четыре месяца по половине зарплаты, то в итоге он накопит $\frac{Y}{2}\cdot 4=2Y$. Затем эту сумму Гена вложит в банк на два месяца и по истечении срока получит $2Y\cdot (1+0.12)^2 =2.5088Y$. (4 балла).
Действительно, сумма во втором случае очевидно больше суммы в первом случае. Вычтем одно из другого. Получим: $2.5088Y-2.5Y=0.0088Y$ (1 балл). Этого хватает ровно на одно мороженое, которое, по условию, стоит 88 медяков. Исходя из этого, можем подсчитать зарплату крокодила Гены:
$$0.0088Y=88$$
$$Y=88/0.0088=10000$$.

Следовательно, зарплата Гены составляет 10 000 медяков (3 балла).

2. Тотальная распродажа "Вкусного" сока

В магазине «Копеечка» сок «Вкусный» продаётся в упаковках вместимостью 1 литр и 2 литра. На всех двухлитровых упаковках этого сока написано «25 % сока – в подарок», что является правдивой информацией при сравнении цен литровой и двухлитровой упаковок. «Копеечка» объявляет о тотальной распродаже своей продукции и снижает цены на весь ассортимент своей продукции на 30 %, однако с прилавков магазина исчезает сок в двухлитровых упаковках. Юный экономист Вася посчитал, что распродажа товаров оказалась весьма выгодна для него и при покупке двух литров сока «Вкусный» Вася экономит 6 рублей по сравнению с суммой, которую
он платил за двухлитровую упаковку сока до тотальной распродажи. При этом Вася не принимает в расчёт стоимость самой упаковки, поскольку не использует её после того, как выпьет сок. Сколько стоила двухлитровая упаковка сока до введения тотальной распродажи?
Решение

Пусть Х – цена двухлитровой упаковки сока, причём по этой цене оплачивается всего 1,5 литра сока, поскольку ¼ часть от двух литров покупатель получает
в подарок. Тогда цена одного литра сока (или сока в литровой упаковке) составляла Х/1,5 (2 балла).
После введения тотальной распродажи цена литровой упаковки сока снижается до 0,7Х/1,5 (1 балл).
Поскольку Вася, покупая 2 литра сока, экономит 6 рублей, (5 баллов), откуда находим, что Х = 90 (2 балла).

3. Рынок футбольных мячей

Предложение товара на рынке футбольных мячей описывается функцией $Q^S =3+2P$. При этом при цене 5 долларов за мяч на рынке устанавливается равновесие, а при цене 7 долларов за мяч предложение превышает спрос
на 10 единиц. Установите зависимость спроса от цены, считая её линейной.
Решение

Пусть спрос задан уравнением $Q^D =a-b\cdot P$
Исходя из условия, мы можем составить два уравнения:
1) Равновесие при цене 5 долларов: $3+2\cdot 5=a-b\cdot 5$(4 балла).
2) Избыток при цене 7 долларов: $3+2\cdot 7-(a-b\cdot 7)=10$ (4 балла).
Решая эту систему, получаем, что $Q^D=28-3P$ (2 балла).

4. Составители задач

Есть два составителя задач по экономике для муниципального этапа 2015: А и Б. А может составить 5 задач для 7‒8-го классов или 10 задач для
9-го класса. Б может составить 15 задач для 7‒8-го классов или 5 задач для
9-го класса. Альтернативные издержки составления задач постоянны.
1) Какое наибольшее суммарное количество задач могут составить А и Б?
2) Перед А и Б поставлена цель: составить 11 задач для 7‒8-го классов
и 11 задач для 9-го класса. Смогут ли они справиться с этой нелёгкой работой?
Решение

1) Заметим, что составитель А, составляя одну задачу для 11-го класса, отказывается от составления двух задач для 9-го. То есть для максимизации количества задач ему следует делать лишь задачи для 9-го класса. Аналогичным образом рассуждая, получим, что Б следует составлять только задачи для 7‒8-го класса. Тогда получим, что наибольшее число возможных задач равно $10 + 15 = 25 $(4 балла).
2) Да, они справятся с поставленной целью. Составителю А следует сделать 10 задач для 9-го класса, а составитель Б должен сделать одну задачу для 9-го класса и 11 задач для 7–8-го. Покажем, что каждый из них справится с этой работой. Для составителя А в условии указано, что он может справиться
с составлением 10 задач для девятиклассников.
Для составителя Б КПВ задаётся уравнением $y = 15 – 3x$. Где х – задачи для
9-го класса, у – для 7–8-го. Подставим $x = 1$. Получим $у = 12$. То есть составитель Б может сделать одну задачу для 9-го класса и 12 задач для 7–8-го. Другими словами, и 11 задач для 7–8-го он запросто сделает (6 баллов).

9 класс

1. Страна Ух

Все ресурсы страны Ух могут быть заняты в двух секторах – производстве иксов или игреков. Чтобы произвести единицу икса, нужны единица капитала и две единицы труда; чтобы произвести единицу игрека, нужны две единицы капитала и единица труда. Проблема в том, что страна в данный момент вообще не располагает капиталом, его тоже нужно произвести с помощью труда: единица труда может произвести две единицы капитала. Трудовые ресурсы страны – 100 единиц труда. Задайте уравнение кривой производственных возможностей для данной страны в координатах труда и капитала.

Решение

Пусть $K_x$ – количество единиц капитала, пущенного на производство икса,
$K_y$ – количество единиц капитала, пущенного на производство игрека,
$L_x$ – количество единиц труда, пущенного на производство икса,
$L_y$ – количество единиц труда, пущенного на производство игрека,
$L_k$ – количество единиц труда, пущенного на производство капитала.
Производственные функции: $x=\min\{K_x ; L_x /2 \}$, $y=\min\{K_y /2 ; L_y \}$ , кроме того, $K=K_x+K_y=2L_k$ (3 балла за равенство). Очевидно, что при эффективном использовании ресурсов будут справедливы равенства $x=K_x=L_x /2$ и $y=K_y/2=L_y$ (по 1 баллу за каждое равенство). Плюс добавится очевидное уравнение $L_x+L_y+L_k=100$ (2 балла за равенство). Составим систему:
$$\begin{cases}
x=K_x\\
x=L_x/2\\
y=K_y/2\\
y=L_y\\
K_x+K_y=2L_k\\
L_x+L_y+L_k=100
\end{cases}$$
Из этой системы будет получено уравнение, которым задаётся КПВ. Будем по очереди исключать из системы все переменные, кроме икса и игрека. Начнём с $K_x$ и $L_y$:
$$\begin{cases}
x=L_x/2\\
y=K_y/2\\
x+K_y=2L_k\\
L_x+y+L_k=100
\end{cases}$$
Теперь избавимся от $L_x$ и $K_y$:
$$\begin{cases}
x+2y=2L_k\\
2x+y+L_k=100
\end{cases}$$
Остаётся выкинуть $L_k$:
$x+2y=2(100-2x-y)$
$ x+2y=200-4x-2y$
$5x+4y=200$
$ y=50-1.25x$
(3 балла за вывод кривой производственных возможностей).

2. Город Му-му

В городе Му-му очень любят пить молоко. Известно, что спрос и предложение на молоко линейны. Опытный экономист Вася сумел выяснить, что при увеличении цены литра молока величина спроса уменьшится ровно на столько же, на сколько увеличится величина предложения. Также Вася установил, что цена, равная по величине удвоенной равновесной, является наименьшей ценой, при которой никто из жителей не захочет покупать молоко, а на рынке будет наблюдаться избыток продукции в 10 тыс. литров молока. Если же сложится цена, равная половине равновесной цены, то дефицит молока составит 5 тыс. литров. Определите, сколько молока покупают жители Му-му в равновесии.
Решение

Обозначим функцию спроса: $Q_d=a-b\cdot P$.
Функция предложения: $Q_s=c+d\cdot P$.
Обозначим равновесную цену, как $P^*$.
Из условия задачи, что «при увеличении цены на литр молока величина спроса уменьшится ровно на столько же, на сколько увеличится величина предложения», следует, что $b=d$ (1 балл).
Когда цена в два раза больше, то никто не покупает молоко. Из этого следует, что:
$$ a-b\cdot2P^* =0
\\ a=2bP^* $$
(2 балла)
К тому же на рынке наблюдается избыток продукции:
$$Q_S-Q_D=10
\\c+d\cdot P-0=10
\\c+b\cdot2P^*=10
\\c=10-2bP^*=10-a$$
(2 балла)
Если цена в два раза меньше равновесной, то:
$$Q_S-Q_D=5
\\ a-b\cdot \frac{P^*}{2}-c-d\cdot \frac{P^*}{2}=5
\\ a-b\cdot \frac{P^*}{2}-10+a-b\cdot \frac{P^*}{2}=5
\\bP^*=5
\\a=10
\\c=0$$

(2 балла за верные вычисления).

То есть функция предложения проходит через центр координат. Вычислим размер дефицита, когда цена на молоко равна нулю: $10-b\cdot 0 - 0=10$.
Поскольку угол наклона функции спроса противоположен углу наклона функции предложения, то равновесная величина спроса и предложения будет равна 10/2 = 5 тыс. литров молока (можно показать на графике равнобедренный треугольник) (3 балла).

3. Запутанная страна

В Запутанной стране жители потребляют только скрепки, и спрос на них составляет $Q^D=120-2P$. На рынке есть местные поставщики и поставщики из соседней страны, их функции предложения $Q^H=p$ и $Q^F=-20+2P$ соответственно.
1) Найдите изначальное равновесие: цену и количество скрепок, которое продают поставщики каждой из стран.
2) Советники короля Запутанной страны объявили, что жители должны потреблять только отечественные скрепки, так как зарубежные – плохого качества (помните, что это утверждение – выдумка советников, а на самом деле все скрепки одинакового качества). Найдите равновесие после запрета импорта зарубежных скрепок и укажите, кто из участников рынка Запутанной страны выиграет, а кто проиграет от данной меры.
Решение

1) Сложим кривые предложения: $Q^H+Q^F=P+(-20+2P)=-20+3P$ при P>10. Запишем системой:
$$\begin{cases}
P, \ если \ 0 < P < 10 \\
-20+3P, \ если \ P \leq 10
\end{cases}$$
Найдём равновесие:
$$Q^S=Q^D; -20+3P=120-3P \rightarrow P=28, \ Q^S=64, \ Q^H=28, \ Q^F=36$$ .
Кроме того, участник должен сделать проверку того, что спрос пересекает предложение на этом участке (5 баллов).
2) Теперь рыночное предложение: $Q=P$
Равновесие:
$$Q^S=Q^D; \ p=120-P; \ P=40, \ Q^S=Q^H=40$$
После введения данной меры потребители Запутанной страны стали потреблять меньше скрепок и цена скрепок увеличилась. То есть они проиграли от данной меры. Производители Запутанной страны стали производить больше товара по более высокой цене, то есть они выиграли от введения данной меры (5 баллов).

4. Составители задач-2

Есть два составителя задач по экономике для муниципального этапа 2015: А и Б. А может составить 5 задач для 11-го класса или 10 задач для 9-го класса.
Б может составить 15 задач для 11-го класса или 5 задач для 9-го класса. Альтернативные издержки составления задач постоянны, задач может быть составлено нецелое число.

1) Какое наибольшее суммарное количество задач могут составить А и Б?
2) Перед А и Б поставлена цель: составить 11 задач для 11-го класса и 11 задач для 9-го класса. Смогут ли они справиться с этой нелёгкой работой?
3) Так получилось, что А устал и не стал составлять задачи для олимпиады.
Б должен в одиночку составить все задания. Известно, что на рынке олимпиадных задач есть агент С. Он готов обменять у Б одну олимпиадную задачу для 9-го класса на одну задачу для 11-го класса. Укажите на графике все возможные комбинации задач для 9-го и 11-го классов, которые составитель
Б может получить.

Решение

1) Заметим, что составитель А, составляя одну задачу для 11-го класса, отказывается от составления двух задач для 9-го. То есть для максимизации количества задач ему следует делать лишь задачи для 9-го класса.

Аналогичным образом рассуждая, получим, что Б следует составлять только задачи для 11-го класса. Тогда получим, что наибольшее число возможных задач равно 10 + 15 = 25. (3 балла).
2) Да, они справятся с поставленной целью. Составителю А следует сделать 10 задач для 9-го класса, а составитель Б должен сделать одну задачу для 9-го класса и 11 задач для 11-го. Покажем, что каждый из них справится с этой работой. Для составителя А в условии указано, что он может справиться
с составлением 10 задач для девятиклассников.
Для составителя Б КПВ задаётся уравнением y = 15 – 3x. Где х – задачи для
9-го класса, у – для 11-го. Подставим x = 1. Получим у = 12. То есть составитель
Б может сделать одну задачу для 9-го класса и 12 задач для 11-го. Другими словами, и 11 задач для 11-го он запросто сделает (3 балла).
3) Б может обменивать одну задачу для 11-го класса на одну задачу для 9-го класса. То есть ему выгодно произвести 15 задач для 11-го класса и обменивать их все.
График при этом выглядит следующим образом (серая область – достижимые количества соответствующих задач, а чёрной линией отмечено первоначальное ограничение составителя Б):