1-й тур: Задачи

1. Потоварный налог по переменной ставке

На рынке товара $Z$ действуют 100 идентичных фирм; изначально рыночная функция спроса описывается уравнением $Q_d=550-P$, а рыночная функция предложения — уравнением $Q_s=2P-80$.
Производство данного товара сопровождается отрицательным внешним эффектом, и поэтому государство решило ввести на данном рынке корректирующий налог. Упор был сделан именно на сокращение выпуска, и налог ввели несколько необычный: так, при производстве $q$ единиц продукции фирма должна была за каждую из них заплатить в бюджет $10q$ ден. ед.
Определите, на сколько в результате действий государства сократился объем производства товара $Z$, а также сумму налоговых сборов, полученную государством.
Решение

С задачей справится тот, кто сможет понять, как изменится функция прибыли каждой фирмы и как, соответственно, изменится функция предложения фирм.
Первоначальное равновесие: $550–P=-80+2P \rightarrow P=210, \ Q=340.$
Найдем обратную функцию предложения типичной фирмы.
$Q_s=-80+2P \rightarrow q_s=-0.8+0.02P \rightarrow P=50q+40.$ .

Как известно, в каждой точке кривой предложения $P=MC$ , поэтому функция предельных издержек каждой фирмы имела вид $MC=50q+40$ , и значит, функция переменных издержек имела вид $VC=25q^2+40q$ .
С введением налога функция переменных издержек приняла вид $VC=25q^2+40q+10q\cdot q=35q^2+40q$ .
Значит, $MC_{new}=70q+40=P$ , откуда $q_s=\frac{P-40}{70}$ .
Новая функция рыночного предложения стала иметь вид
$$Q_s^{new}=100q_s=\frac{10P}{7}-\frac{400}{7}$$ .
$$Q_d=Q_s^{new} \rightarrow 550-P=10P/7-400/7 \rightarrow P=250, \ Q=300$$
Следовательно, выпускаемое количество «вредного» товара снизилось на 40 единиц.
Каждая фирма выпустила 3 единицы продукции и заплатила $10\cdot 3 \cdot 3=90$ в бюджет. Общая сумма сборов составила $90\cdot 100=9000$ .

2. Покупательная способность денег и не оправдавшиеся ожидания банка

За два года (2008-й и 2009-й) покупательная способность денег выросла на 10 %. В начале 2010 года, предполагая, что в нем уровень инфляции будет таким же, как в 2009-м, коммерческий банк выдает кредит сроком на один год с расчетом получить реально 10 % годовых. Определите:

(а) номинальную ставку процента $(i)$, по которой был выдан кредит, если известно, что в 2008 г. покупательная способность денег выросла на 25 %;

(б) реальную процентную ставку $(r)$, которую фактически получил данный банк, если при возвращении кредита стало ясно, что деньги за год потеряли пятую часть своей покупательной способности.

Решение

(а) Обозначим $I_t$ индекс роста цен в году $t$ . То есть $I_t=1+\pi _t$ , где $\pi _t$ — темп инфляции в году $t$ . Тогда индекс роста покупательной способности в году $t$ равен $\frac{1}{I_t} $.
«За два года (2008 и 2009) покупательная способность денег выросла на 10%»:
$$\frac{1}{I_{08}}\frac{1}{I_{09}}=1.1$$
«В начале 2010 года, предполагая, что в текущем году уровень инфляции будет таким же, как в предыдущем, коммерческий банк выдает кредит сроком на один год с расчетом получить реально 10% годовых»:
$$\frac{1+i}{I_{09}}=1.1$$
«В 2008 г. покупательная способность денег выросла на 25%»:
$$\frac{1}{I_{08}}=1.25$$
Из этих трех уравнений получаем:
$$1+i+1.1, \ I_{09}=\frac{1}{I_{08}}=1.25$$
Таким образом, $i=25\%$ .
б) «При возвращении кредита стало ясно, что деньги за год потеряли пятую часть своей покупательной способности»:
$$\frac{1}{I_{10}}=\frac{4}{5}$$
Тогда $1+r=\frac{1+i}{I_{10}}=1.25\cdot \frac{4}{5}=1$
Таким образом, $r=0$ .

3. Shutdown price и количество капитала

Производственная функция совершенно конкурентной фирмы «Минимум 100» имеет вид:
$$Q(K,L) =\begin{cases}0,\text{ если $KL<100$;} \\ \sqrt{KL}-10,\text{ если $KL\ge100$.}\end{cases}$$
где $Q$ — выпуск фирмы, $K$ — объем используемого фирмой капитала, $L$ — объем используемого фирмой труда.
В краткосрочном периоде количество капитала, используемого фирмой, фиксировано; фирма может менять объем выпуска только за счет изменения количества нанимаемого труда. Фирма закупает как труд, так и капитал на совершенно конкурентных рынках, причем известно, что зарплата равна 1.
Определите количество капитала, которым обладает фирма, если в интервью ее менеджер заявил, что в краткосрочном периоде фирма готова выпускать продукцию, только если рыночная цена этой продукции не опустится ниже 8.
Решение

Выведем функцию переменных издержек фирмы. Переменными издержками являются расходы на закупку переменных факторов производства — в данном случае, расходы на оплату труда.
При нулевом выпуске переменные затраты фирмы будут равны нулю, так как в этом случае она сможет позволить себе вообще не нанимать работников.

Если же фирма захочет произвести некое $Q>0$ , то ей придется начать нанимать работников. $Q=\sqrt{KL}-10$ , и значит, требуемое значение $L$ равно $\frac{(Q+10)^2}{K}$ . Таким образом, при $Q>0$ переменные издержки фирмы составят $wL=1\cdot \frac{(Q+10)^2}{K}$ . В итоге получаем, что функция переменных издержек фирмы имеет вид
$$VC(Q)\left\{\begin{matrix}
\frac{(Q+10)^2}{K}, && если \ Q>0\\
0, && если \ Q=0
\end{matrix}\right.$$
Соответственно, функция средних переменных издержек фирмы имеет вид
$$AVC(Q)=\frac{1}{K}\left( Q+\frac{100}{Q}+20 \right )$$
Минимум этой функции достигается в точке, где $AVC’(Q)=0$ , то есть если $\frac{1}{K}\left ( 1-\frac{100}{Q^2}\right ) =0$ , откуда $Q=10$ . Сам минимум $AVC$ равен $AVC(10)=\frac{40}{K}$ .
С другой стороны, по условию этот минимум равен 8 (так как $\min AVC$ — не что иное как минимальная рыночная цена, при которой фирма продолжит производство в краткосрочном периоде). Значит, $\frac{40}{K}=8$ , откуда $K=5$ .

4. Черно-белый мультипликатор

В государстве Шахматная Федерация живут черные и белые. Белые тратят на потребление долю $x$ своих дополнительных доходов, а черные — долю $y$. Государственные заказы размещаются поровну между двумя группами.

(а) Допустим, белые экономические агенты обращают свои расходы исключительно в доходы белых, а черные — исключительно в доходы черных. Найдите величину мультипликатора государственных закупок.

(б) Допустим, белые экономические агенты обращают свои расходы исключительно в доходы черных, а черные — исключительно в доходы белых. Найдите величину мультипликатора государственных закупок в этом случае.

(в) В каком из двух рассмотренных случаев значение мультипликатора государственных закупок больше? Зависит ли ваш ответ от конкретных значений предельных норм потребления двух групп?

Решение

(а) В первом случае мы по сути имеем две изолированные области экономики, в каждой из которых процесс мультипликации идет так же, как и в стандартной модели, в которой мультипликатор госзакупок равен $\frac{1}{1-mpc}$. Поэтому если увеличить госзакупки на 1 единицу, то половинка пойдет к белым, и там она превратится в $\frac{0{,}5}{1-x}$ единиц ВВП, а половинка к черным, и там она превратится в $\frac{0{,}5}{1-y}$ единиц ВВП. Суммарный прирост выпуска при увеличении госзакупок на единицу составит $mult_G=\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1-y)}$.

(б) Здесь все интереснее — две области экономики становятся взаимосвязанными. Половинке единицы госзакупок, которая пошла к белым, будет суждено «прыгать» от белых к черным и обратно, и в итоге она превратится в прирост выпуска, равный
$0,5(1 + x + xy + {x^2}y + {x^2}{y^2} + {x^3}{y^2} + \ldots) =\\= 0,5(1 + x + xy(1 + x) + {x^2}{y^2}(1 + x) + \ldots) =\\=0,5(1 + x)(1 + xy + {x^2}{y^2} + \ldots) = \frac{{0,5(1 + x)}}{{1 - xy}}.$

Аналогично, половинка, которая пошла к черным, превратится в $\frac{0{,}5(1 + y)}{1 - xy}$.

Значит, необычный мультипликатор будет равен $mullt_G = \frac{{0,5(1 + x)}}{{1 - xy}} + \frac{{0,5(1 + y)}}{{1 - xy}} = \frac{{2 + x + y}}{{2(1 - xy)}}.$

(в) Нам нужно сравнить величины $\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1-y)}$ vs. $\frac{{2 + x + y}}{{2(1 - xy)}}$, если $x$ и $y$ — положительные числа, меньшие единицы.
Удивительно, но между этими величинами неравенство всегда выполнено в одну и ту же сторону, независимо от конкретных значений норм потребления.
После домножения обеих сравниваемых величин на знаменатели и раскрытия скобок большинство слагаемых взаимно уничтожаются, и остается симпатичное сравнение
${x^2} + {y^2}$ vs. $2xy$
${(x - y)^2} \ge 0$
Таким образом, левая часть всегда не меньше правой, а значит в пункте (а) мультипликатор госзакупок всегда будет не меньше, чем в пункте (б). Равенство же достигается, как видим, только при $(x-y)^2=0$, то есть при $x=y$, что понятно — если нормы потребления одинаковы, то с точки зрения процесса мультипликации две группы идентичны, и поэтому в пунктах (а) и (б) результаты должны быть одинаковы.

5. Бутербродный протекционизм

В мире выпускается два продукта: хлеб и масло. Люди потребляют их только в виде бутербродов. Для изготовления одного бутерброда на кусок хлеба массой в 50 грамм намазывается масло массой 10 грамм.
Залесье — маленькая страна, которая может произвести не более 14 кг масла. Кривая производственных возможностей Залесья в производстве хлеба и масла имеет кусочно-линейный вид; точки излома соответствуют производству 1 кг масла, 2 кг масла, 3 кг масла, …, 13 кг масла.
При этом альтернативные издержки производства первого килограмма масла в Залесье составляют 1 кг хлеба, второго — 2 кг хлеба, третьего — 3 кг хлеба и т.д. Если залесцы произведут 14 кг масла, то хлеба они не смогут произвести нисколько.
Сначала Залесье жило совершенно изолированно, а потом решило торговать с миром. Известно, что мировая цена на масло составляет 5 кг хлеба за 1 кг масла. Залесье так мало, что его производство и потребление не может повлиять на мировую цену.

(а) Сколько бутербродов потребляли жители Залесья, когда страна жила изолированно?
(б) На сколько больше бутербродов они смогли съедать после того, как началась торговля?
(в) Маслоделы Залесья обратились с петицией к правительству с просьбой установить пошлину на ввоз импортного масла в размере 2 кг хлеба за 1 кг ввезенного масла с целью способствования развитию маслодельной промышленности страны. Как повлияет реализация этой идеи на число доступных залесцам бутербродов? (Считаем, что хлеб, поступивший в казну в качестве доходов от пошлины, для производства бутербродов не используется).

Решение

(а) Чтобы не тратить напрасно ресурсы, залесцам нужно произвести такое количество хлеба, которое соотносилось бы с количеством масла как 50:10. Таким образом, нам нужно найти точку пересечения луча, на котором хлеба производится в 5 раз больше, чем масла, и КПВ.
Этот луч может пересечь КПВ как в точке, где количество масла выражено целым числом (точке излома КПВ), так и в точке, где количество масла выражено нецелым числом.
Пусть Залесье производит целое $x$ кг масла. Тогда оно сможет произвести еще $(1 + 2 + \ldots + 14) - (1 + 2 + \ldots + x) = \frac{{14 \cdot 15}}{2} - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{2}$ кг хлеба. Таким образом, все точки излома КПВ лежат на параболе $y=105-\frac{x(x+1)}{2}$. Попробуем найти точку пересечения этой параболы и луча $y=5x$:

$105 - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{2} = 5x$
$x^2+11x-210.$

Единственный положительный корень легко угадать: $x = 10$. Этот корень целый, и поэтому наш луч действительно пересечет КПВ в точке излома. Значит, Залесье произведет 10 кг масла и 50 кг хлеба, чего достаточно для изготовления $10/0{,}01 = 1000$ бутербродов.

(б) В случае открытия торговли масло будет выгодно производить до тех пор, пока альтернативные издержки не больше мировой цены. В данном случае выгодно производить лишь 5 кг масла. При этом может быть произведено $\frac{{14 \cdot 15}}{2} - \frac{{5\left( {5 + 1} \right)}}{2} = 90$ кг хлеба. Часть хлеба нужно обменять на масло, чтобы достигнуть отношения запаса хлеба к маслу 50:10. Пусть $y$ — количество масла, которое импортирует Залесье. Выпишем отношение запаса хлеба к запасу масла с учетом торговли и приравняем к 5: $\frac{90-5y}{5+y}=5$. Отсюда $y = 6,5$. В результате импорта 6,5 кг масла в распоряжении залесцев окажутся $5+6{,}5 = 11{,}5$ кг масла и $90-6{,}5\cdot5 = 57{,}5$ кг хлеба. Этого достаточно для производства $11{,}5/0{,}01 = 1150$ бутербродов, что на $1150 — 1000 = 150$ бутербродов больше, чем до начала торговли.

(в) Реализация идеи уменьшит число доступных бутербродов. В самом деле, при наличии пошлин внутренняя цена на масло будет на 2 кг хлеба выше мировой, то есть составит 7 кг хлеба за кг масла. В этом случае залесцы найдут выгодным произвести 7 кг масла, а оставшихся ресурсов окажется достаточно для выпуска $\frac{{14 \cdot 15}}{2} - \frac{{7\left( {7 + 1} \right)}}{2} = 77$ кг хлеба. В результате торговли будет куплено $y$ кг масла, где $y$ удовлетворяет уравнению $\frac{77-7y}{7+y}=5$. Отсюда находим, что $y=3{,}5$. Отечественного и импортного масла будет достаточно, чтобы произвести $(7 + 3{,}5)/0{,}01 = 1050$ бутербродов, что на 100 бутербродов меньше, чем до введения пошлины.

2-й тур: Задачи

1. Progressive stools

Компания «Progressive stools» владеет тремя заводами по производству современных инновационных табуреток. Для каждого из заводов в таблице приведена зависимость месячных издержек от количества произведенных на нем за этот месяц табуреток:

Номер завода Функция затрат
1 $TC_1(q_1)=3q_1^2-q_1+1432$
2 $TC_2(q_2)=3q_2^2+q_2+456$
3 $TC_3(q_3)=3q_3^2+3q_3+123$

Даже если на каком-то заводе ничего не производится, фирма несет фиксированные издержки, связанные с этим заводом.
Выведите «общую» для фирмы функцию $TC(Q)$, которая показывает минимально возможные издержки фирмы на производство в общей сложности $Q$ единиц продукции в месяц. При этом имейте в виду, что количество даже самых инновационных табуреток может выражаться только целым числом.

Решение

Найдем функции предельных издержек на каждом из заводов (поскольку в данном случае выпуск может быть выражен только целым числом, то предельные издержки – это не производная $TC$, а просто приращение общих издержек при выпуске $q$-той табуретки).
$MC_1({q_1}) = TC_1({q_1}) - TC_1({q_1} - 1) =\\= 3q_1^2 - {q_1} + 1430 - (3{({q_1} - 1)^2} - ({q_1} - 1) + 1430) = 6{q_1} - 4;$

$MC_2({q_2}) = TC_2({q_2}) - TC_2({q_2} - 1) = 6{q_2} - 2;$

$MC_3({q_3}) = TC_3({q_3}) - TC_3({q_3} - 1) = 6{q_3}.$

Составим таблицу первых значений функций предельных издержек:

$q$ 1 2 3 4 ... $q$
$MC_1$ 2 8 14 20 ... $6q-4$
$MC_2$ 4 10 16 22 ... $6q-2$
$MC_3$ 6 12 18 24 ... $6q$

На каждом из заводов предельные издержки возрастают. Поэтому, минимизируя общие издержки, фирма будет производить каждую следующую табуретку там, где это обходится дешевле, то есть там, где предельные издержки ниже. Так, первую табуретку фирма произведет на первом заводе — это обойдется ей в 2; вторую табуретку фирма произведет на втором заводе (для этого завода она будет первой) — и потратит 4. Третью табуретку фирма произведет на третьем заводе, потратив 6, четвертую — вновь на первом и потратит 8, пятую — на втором, и.т.д. Таким образом, фирма будет «двигаться» по столбцам нашей таблицы сверху вниз, и итоговая шкала предельных издержек будет иметь вид

$Q$ 1 2 3 4 5 6 7 ... $Q$
$MC$ 2 4 6 8 10 12 14 ... $2Q$

Как видим, функция предельных издержек фирмы является, в полном соответствии с названием компании, арифметической прогрессией. Функцию же общих издержек нетрудно найти как сумму этой прогрессии (не забудем прибавить все постоянные издержки, которые, независимо от выпуска, несет фирма на каждом из заводов):

$TC(Q) = (2 + 4 + \ldots + 2Q) + 1432 + 123 + 456 =\\= \frac{{2(1 + Q) \cdot Q}}{2} + 2011 = {Q^2} + Q + 2011.$

2. 10 проектов и арифметика экономических прибылей

Предприниматель рассматривает возможность вложения средств в один из 10 проектов, характеризующихся различными значениями бухгалтерской прибыли. Кроме того, у него есть, конечно, возможность не вкладывать деньги ни в один из проектов. Других вариантов у предпринимателя нет, а альтернативные издержки при выборе одной из возможностей связаны только с отказом от реализации остальных. Известно, что:

  • сумма бухгалтерских прибылей всех одиннадцати альтернатив равна 6 млн руб
  • сумма экономических прибылей всех одиннадцати альтернатив равна (-25) млн руб.;
  • экономическая прибыль лучшей из альтернатив равна 2 млн руб.;

Определите величину бухгалтерской прибыли лучшей из альтернатив.

Решение

Всего мы имеем 11 альтернатив, причем бухгалтерская прибыль альтернативы «не вкладывать деньги никуда» равна 0.

Обозначим наибольшую из бухгалтерских прибылей через $a_1$, вторую по величине бухгалтерскую прибыль через $a_2$, и.т.д. Наименьшую бухгалтерскую прибыль обозначим через $a_{11}$. По первому условию, ${a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{11}} = 6$.

Альтернативные издержки реализации лучшей альтернативы равны $a_2$, в то время как альтернативные издержки реализации каждой из оставшихся альтернатив равны $a_1$. Значит, по второму условию, $({a_1} - {a_2}) + ({a_2} - {a_1}) + ({a_3} - {a_1}) + \ldots + ({a_{11}} - {a_1}) = - 25$.

Преобразуя это уравнение, получаем, что $({a_3} + {a_4} + \ldots + {a_{11}}) - 9{a_1} = - 25$.
Но из первого условия следует, что, с другой стороны, ${a_3} + {a_4} + \ldots + {a_{11}} = 6 - {a_1} - {a_2}$.
Значит, $(6 - {a_1} - {a_2}) - 9{a_1} = - 25$.
Теперь осталось учесть то, что $a_1-a_2=2$ (третье условие).
Получаем систему
$$\begin{cases}6-10a_1-a_2=-25;\\ a_1-a_2=2.\end{cases}$$
Решая ее, получаем, что $a_1=3$.

3. Правильная формула для уровня безработицы, или удачливый Вася

Как-то Вася решал тест по теме «Безработица». В одном из вопросов, среди прочего, было сказано, что «в стране X работает больше половины населения, 70 % населения является трудоспособным, а каждый пятнадцатый житель страны не имеет работы, но активно ищет ее и готов приступить к работе немедленно». Найти же требовалось уровень безработицы в стране X. Не очень точно зная, что же такое «уровень безработицы», Вася решил найти по имеющимся у него данным долю трудоспособного, но не работающего населения во всем населении страны. Получившееся у него число оказалось среди предлагавшихся вариантов ответа, и, обрадовавшись, Вася смело обвел нужный вариант. Позднее, узнав результаты тестирования, Вася обрадовался еще больше: его ответ был засчитан как правильный!

Найдите ответ Васи.

Решение

Пусть $U$ — количество безработных, $E$ — количество занятых, $T$ — количество трудоспособных, $X$ — общее количество жителей страны X.

Нам известно, что $X = 15U$ и что $T = 0,7X$. Отсюда находим, что $T = 10,5U$.

Вася рассчитывал не уровень безработицы — уровень безработицы в действительности рассчитывается не как $\frac{T-E}{X}$, а как $\frac{U}{U+E}$. Однако, раз ответ Васи был засчитан как верный, для страны X величины этих дробей по случайности совпали, что дает нам еще одно условие:
$$\frac{{T - E}}{X} = \frac{U}{{U + E}}$$
Преобразуя, получаем квадратное уравнение относительно $E$:
$${E^2} - E(T - U) + U(X - T) = 0$$
Разделим обе части на $U^2$:
$${\left( {\frac{E}{U}} \right)^2} - \frac{E}{U}\left( {\frac{T}{U} - 1} \right) + \left( {\frac{X}{U} - \frac{T}{U}} \right) = 0$$
Обозначив $\frac{E}{U} = e$ и подставив в уравнение известные величины $\frac{X}{U} = 15$, $\frac{T}{U}=10{,}5$, получаем окончательное уравнение:
$$e^2-9{,}5e+4{,}5=0$$
Это уравнение имеет два корня: $e=0{,}5$ и $e=9$.
Если $e=0{,}5$, то $\frac{E}{X}=\frac{1}{30}$, что противоречит условию о том, что в стране работает больше половины населения.
Если $e=9$, то $\frac{E}{X}=\frac{3}{5}$, что согласуется с условием. $\frac{E}{U} = 9$, и значит, уровень безработицы равен 10%.

4. Перетягивание каната

Небольшая фирма «Перетягивание каната» является единственным в городе производителем спортивного инвентаря. Спрос на продукцию фирмы описывается уравнением $Q_d=240-2P$, а функция общих издержек имеет вид $TC=40Q+500$.
Политика государства в отношении данной фирмы является, как это часто бывает, неоднозначной. Одно из ведомств («ГлавБюджетПополнение») обязало фирму уплачивать процентный налог на выручку (в виде доли от цены потребителя). «Центр поддержки малого предпринимательства», напротив, предоставил фирме субсидию (в виде фиксированной суммы за каждую произведенную единицу продукции).
Ведомства принимали решение о ставках налога и субсидии не сговариваясь, но по иронии судьбы вышло так, что в итоге сумма уплаченного фирмой налога в точности совпала с суммой полученной фирмой субсидии.

(а) Каковы были ставки введенных налога и субсидии, если известно, что после их введения фирма увеличила выпуск на 25 % по сравнению с первоначальным?

(б) Покажите, что прибыль фирмы уменьшилась по сравнению с первоначальной ситуацией, несмотря на то, что сумма, полученная фирмой от государства, равна сумме, которую фирма выплатила государству. Объясните, как такое могло получиться.

(в) Один эксперт, комментируя забавную ситуацию, в которую попала фирма, заметил:
«То, что прибыль фирмы уменьшилась, абсолютно неудивительно: ведь какими бы ни были функция спроса на продукцию фирмы и функция ее издержек, прибыль фирмы не могла увеличиться, если в результате вмешательства расходы государства на субсидию и поступления от налога оказались равны».
Прав ли данный эксперт? Если вы считаете, что он прав, докажите его утверждение. Если вы считаете, что эксперт ошибается, приведите примеры функций спроса и издержек, при которых описанное в задаче «сбалансированное» вмешательство государства обернется ростом прибыли фирмы.

Решение

(а) Пусть введенная ставка налога равна $t$, а ставка субсидии равна $s$.
Тогда после одновременного введения налога и субсидии задача фирмы примет вид
$\pi (Q) = (1 - t)(120 - 0,5Q)Q - 40Q - 500 + sQ \to \max $
$\pi (Q) = \left[ {(1 - t)120 + s - 40} \right]Q - 0,5(1 - t){Q^2} - 500 \to \max $

Таким образом, функция прибыли фирмы является параболой с ветвями вниз. Фирма выберет объем, соответствующий вершине этой параболы:
${Q^*} = \frac{{(1 - t)120 - 40 + s}}{{2 \cdot 0,5(1 - t)}} = 120 + \frac{{s - 40}}{{1 - t}}$
(тот же самый результат можно было получить, приравнивая предельный доход к предельным издержкам).
Ситуация до введения налога и субсидии соответствовала случаю $t=0$, $s=0$, и значит, первоначальный выпуск фирмы равен $120-40=80$.
По условию, выпуск вырос на 25%, и значит, новый объем равен 100.
Получаем уравнение $120 + \frac{{s - 40}}{{1 - t}} = 100$.
Второе уравнение на $t$ и $s$ получим из условия о равенстве выплат и поступлений:
$tPQ=sQ$, откуда $s = tP = t(120 - 0,5 \cdot 100) = 70t$.
В итоге получаем систему
$\begin{cases}120+\frac{s-40}{1-t}=100;\\s=70t.\end{cases}$
Решая ее, получаем $t=0{,}4=40 \%$, $s=28$ ден. ед. Сумма поступлений от налога (она же сумма выплат по субсидии) равна 2800.

(б) Первоначальная прибыль равна $80 \cdot 80 - 40 \cdot 80 - 500 = 2700$.
Новая прибыль равна $70\cdot 100 - 40 \cdot 100 - 500 - 2800 + 2800 = 2500$.
Таким образом, прибыль фирмы уменьшилась на 200.
Как такое могло получиться?
Дело в том, что отличие новой ситуации от старой состоит не только в том, что фирма выплачивает некую сумму и получает некую сумму. Главное заключается в том, политика государства создает для фирмы стимулы изменить выпуск, а значит, значение прибыли, которую получает фирма еще до фактического осуществления расчетов с бюджетом, также меняется. Потери в 200 единиц возникают именно из-за этого.

(в) Утверждение эксперта верно. Докажем его.

Доказательство:

Решение 1:

Назовем ситуацию до вмешательства государства «старой», а ситуацию после вмешательства — «новой».
Заметим, что даже в старой ситуации фирма всегда может обеспечить себе «новый» уровень прибыли. Для этого ей просто-напросто надо произвести «новый» объем выпуска, а затем, имитировав действия государства, заплатить самой себе ту сумму, которую в новой ситуации она платит государству и получает от него. Или, что то же самое, ей надо произвести «новый» объем выпуска, а затем ничего не делать.
Однако если при этом «новая» прибыль оказалась бы больше, чем «старая», то фирма явно не выбрала бы «старый» объем производства (раз существует вариант лучше). Тем не менее, наша рационально действующая фирма, максимизируя прибыль, выбрала, как мы знаем, именно «старый» объем! Значит, «новая» прибыль не может быть больше, чем «старая».

Решение 2:

Пусть функция прибыли фирмы до вмешательства описывается уравнением $\pi=f(Q)$.
Заметим, что прибыль фирмы после вмешательства просто равна значению $f$ в точке нового объема выпуска (ведь все потоки денег, не учтенные в $f$, взаимно компенсировались).
С другой стороны, прибыль фирмы до вмешательства равна максимальному значению $f$.
Получаем, что «старая» прибыль равна значению $f$ в точке максимума этой функции, а «новая» прибыль — значению $f$ в точке нового выпуска. Значит, новая прибыль заведомо не больше, чем старая.

3-й тур: Качественные задачи

1. Рациональные пингвины

Пингвины живут стаями; основное место их обитания — суша, но питаются они рыбой, за которой им время от времени приходится нырять в море. К несчастью для них, в море есть не только рыба, которой они питаются, но и косатки, которые питаются как рыбой, так и пингвинами. Косатки в поисках рыбы покрупнее далеко отплывают от берега, так что во многих случаях пингвинам удается поохотиться, не сталкиваясь с косатками; но так бывает не всегда.
Ученые, исследующие пингвинов, не раз наблюдали такую картину: голодные пингвины сначала довольно долго толпятся на краю утеса, потом один из них наконец спрыгивает в воду, а когда он выныривает, то почти разом спрыгивают все остальные.

(а) Объясните такое поведение пингвинов, предполагая, что каждый пингвин ведет себя рационально (анализирует всю доступную ему информацию и принимает решения, которые позволяют ему добиться максимально благоприятного для себя исхода).

(б) Покажите, что описанная ситуация не является эффективной, то есть физически возможны такие альтернативные действия пингвинов, при которых всем пингвинам было бы не хуже, чем при действиях, описанных в условии, и хотя бы одному пингвину было бы лучше.

(в) Объясните, как данный сюжет иллюстрирует проблему предоставления общественных благ.

Решение

(а) Для начала нужно сделать некоторые предположения относительно предпочтений пингвинов. Они будут достаточно естественными: пингвины предпочитают голодать как можно меньше и жить как можно дольше; также предположим, что если голодный пингвин собрался на рискованную охоту, то при фиксированном уровне риска он предпочтёт начать (и закончить) охоту как можно раньше.

Пингвин хотел бы как можно быстрее утолить голод, но поблизости может оказаться косатка. Есть она или нет, станет ясно сразу же после того, как спрыгнет первый пингвин, но все предпочитают быть вторыми, т.к. у первого значительно выше риск быть съеденным. Каждый пингвин понимает, что среди его собратьев может оказаться более нетерпеливый (более голодный), чем он, поэтому он не торопится прыгать сразу. Рано или поздно для кого-то из пингвинов наступает момент, когда чувство голода пересиливает ожидаемые выгоды от выжидания, и он прыгает в воду.

(б) Рассмотрим пингвина, который спрыгнул первым. Если бы он спрыгнул первым, но еще раньше, то всем было бы лучше: риск быть съеденным не изменился ни для кого из пингвинов (т.к. не изменилось то, кто из пингвинов первый), зато всем удалось быстрее утолить голод.

(в) Общественное благо — информация о наличии косатки. Издержки по предоставлению этого общественного блага — повышенный риск быть съеденным. Возникает проблема безбилетника: каждый выбирает оптимальный для себя уровень финансирования общественного блага (момент, в который он прыгнет в воду, если никто не прыгнул до этого), не учитывая при этом положительный внешний эффект, который он оказывает на других пингвинов.

4-й тур. Эссе

1. Потенциальный ВВП и КПВ

Иногда, в популярных школьных учебниках встречается следующая интерпретация потенциального ВВП: это ситуация, когда экономика страны находится на кривой (точнее, границе) производственных возможностей. При всей кажущейся простоте и очевидности, данная параллель с базовой микроэкономической моделью не является корректной и приводит к не-правильному, искаженному пониманию макроэкономического термина «потенциальный ВВП» (называемый чаще «ВВП полной занятости» или «естественный уровень ВВП»).
Вопрос: Объясните, почему аккуратный экономист не должен проводить параллель между потенциальным ВВП и КПВ?
Решение

Модель границы производственных возможностей строится в предположении о заданном объеме ресурсов и заданной технологии. В рамках такой микроэкономической модели вполне уместно ставить вопрос о максимальном производстве при полной занятости ресурсов, понимаемой, в данном случае, как 100%-ое использование ресурсов. По определению, потенциальный ВВП – это также производство в условиях полной занятости ресурсов. Однако в макроэкономической теории под полной занятостью вовсе не понимается 100%-ое использование ресурсов. Самой простой вариант определения полной занятости ресурсов в макроэкономике – это занятость, соответствующая равновесию на рынках ресурсов. (Отсюда и более точный термин – «ВВП полной занятости»). Необходимо отметить, что в масштабах национальной экономики вопрос о том, каков максимальный объем ресурсов (труда, капитала, и т.д.) сам по себе лишен смысла. Таким образом, проведение параллели между понятия-ми «потенциальный ВВП» и «граница производственных возможностей» содержательно не-аккуратно и может приводить к проблемам. Так, при заданном запасе ресурсов точки, лежащие выше границы производственных возможностей, недостижимы. Однако интерпретация потенциального ВВП как максимального уровня совокупного производства является неверной: в условиях перегрева экономики фактический ВВП может быть выше потенциального ВВП на протяжении продолжительного периода.

2. Естественная и циклическая безработица.

Допустим, вам предлагают решить такую задачу: Рабочая сила в экономике составляет 100 млн. чел., численность структурных безработных 2 млн. чел., численность фрикционных безработных 3 млн. чел., общий уровень безработицы составляет 4%. Найдите численность циклических безработных. Решив задачу, вы получите «странный» результат.
Вопрос: Если не рассматривать в качестве проблемы неудачный подбор чисел (дело здесь вовсе не в этом), то в чем некорректность формулировки задачи данного типа?
Решение

Решив данную задачу «привычным способом», а именно, исходя из того, что всех безработных можно разделить на три категории (фрикционные, структурные и циклические), мы получим отрицательное значение численности циклических безработных. С одной стороны, можно было бы просто сказать, что такого рода задачи можно придумывать только в ситуации, когда экономика испытывает спад, и фактический уровень безработицы превышает естественный. Действительно, по построению, уровень циклической безработицы, определяемый как разница между фактическим и естественным уровнем, может быть как положи-тельным (в период рецессии), так и отрицательным (в период перегрева). А вот численность безработных отрицательной быть не может (даже если в экономике перегрев). С другой стороны, проблема такого рода «расчетных» задач является более общей. Нужно понимать, что фрикционная и структурная безработица – это не «виды» безработицы, которые имеют достоверное статистическое измерение, а теоретические объяснения наличия в экономике не-коего «среднего», естественного уровня безработицы. (Наивно было бы предполагать, что в реальности экономисты обладают статистикой о том, сколько безработных является фрикционными, сколько структурными, а сколько циклическими – это выдумки составителей задач). Нет ничего удивительного в том, что при попытке перенести концептуальные теоретические объяснения такого сложного явления как безработица в жесткие рамки школьных расчетных задач мы получаем противоречия.

3. ВВП и благосостояние

ВВП на душу населения принято рассматривать как показатель благосостояния граждан страны. При этом экономисты осознают возможные ограничения данного подхода. По данным Всемирного банка, в 2009г. ВВП на душу населения Российской Федерации составил 8684 долл. США. (в текущих долларовых ценах). Аналогичные показатели для других стран: в Китае – 3744 долл., в США – 45989 долл., в Люксембурге - 105043 долл. На первый взгляд, из этого вытекает, например, что китайцы более чем в 2 раза беднее, чем россияне, а граждане США более чем 2 раза беднее граждан Люксембурга.
Вопрос: В чем ограничение данного подхода к определению уровня жизни? (Для получения полного балла приведите не менее трех причин, почему ВВП на душу населения может давать искаженное представление об уровне жизни).
Решение

Вот лишь некоторые возможные причины, почему ВВП на душу населения сложно использовать для сравнения уровня жизни в разных странах (список явно дополняемый).

  1. Нет очевидного наилучшего способа сопоставления ВВП, измеренного изначально в разных национальных валютах.
  2. Структура производства и потребления, а также относительные цены в разных странах могут значительно отличаться.
  3. Далеко не все товары и услуги, включаемые в ВВП, воспринимаются, как приносящие полезность. (Пример: в Москве автомобили моют чаще, чем в Нью-Йорке. Но разве увеличение соответствующих расходов в ВВП говорит о том, что люди получают большую полезность?)
  4. Есть разные подходы к измерению общественного благосостояния. Один из важных факторов при этом – это степень неравенства доходов. ВВП на душу населения – это усредненный показатель.
  5. ВВП не учитывает проблему свободного времени: чем больше часов в неделю работают граждане, тем больше будет ВВП. Однако будут ли работники счастливы?
  6. Аналогично, ВВП не учитывает проблемы экологии.
  7. Далеко не всегда более высокий ВВП на душу населения соответствует более качественной и доступной системе здравоохранения и большей средней продолжительности жизни.

4. Ограничения модели депозитного мультипликатора

Любая экономическая модель строится на основе упрощающих предположений, о которых не стоит забывать. Это относится и к модели депозитного (банковского) мультипликатора, с помощью которой экономисты описывают процесс создания кредитных денег. По состоянию на 1 марта 2011г. норма обязательного резервирования, установленная Банком России (для счетов резидентов РФ), составляла 3,5%. При этом денежная масса (агрегат М2) составляла 19531 млрд. руб., наличные деньги (агрегат М0) составляли 4892 млрд. руб., а денежная база - 7431 млрд. руб.
Вопрос: Может ли модель депозитного мультипликатора объяснить взаимосвязь между приведенными статистическими данными? Если нет, то почему?
Решение

В соответствии с имеющейся статистикой, депозитный мультипликатор в России в марте 2011г. равен 1/0,035 = 28,57. Таким образом, дополнительный рубль, попавший в банковскую систему России, должен был бы увеличить объем депозитов на 28 рублей. Соотношение между денежной базой и денежной массой, а также доля безналичных денег в агрегате М2, говорит нам о том, что процесс депозитного расширение идет более чем на порядок скромнее. Очевидная проблема состоит в том, что в реальности предположения, положенные в основу модели депозитного мультипликатора, а именно: (1) деньги, попавшие в банков-скую систему, никогда не обналичиваются, и (2) все банки держат только обязательные резервы, не выполняются. Более адекватное представление о процессе расширения предложения денег банковской системой дает модель денежного мультипликатора, учитывающая и предпочтения в отношении наличных денег, и избыточные резервы коммерческих банков.

5. Финансирование бюджетного дефицита

Очень часто, в средствах массовой информации или даже в некоторых учебниках, можно увидеть следующее безграмотное утверждение: Для того чтобы профинансировать бюджетный дефицит необходимо повысить налоги или снизить государственные расходы.
Вопрос: В чем заключается некорректность данной формулировки?
Решение

Следует четко разделять понятия «снижение бюджетного дефицита» и «финансирование бюджетного дефицита». Для того чтобы снизить бюджетный дефицит в будущем, правительство может запланировать увеличение налогов и сокращение государственных расходов. Однако в ситуации, когда доходы и расходы бюджета уже учтены (в большинстве стран мира, в том числе и в России, бюджет на год, как свод доходных и расходных статей, утверждается на законодательном уровне), речь уже идет о финансировании бюджетного дефицита (если расходы превышают доходы). Источниками финансирования дефицита государственного бюджета могут выступать различные займы правительства, а также денежная эмиссия (ситуация, когда центральный банк, не имея легитимной возможности предоставить правительству прямой кредит, скупает на открытом рынке государственные облигации, заменяя их тем самым в обращении своими обязательствами – денежной базой).