Продать Робинзон может только полностью построенную лодку. Взяв кого-либо в помощники, Робинзон уже не сможет отказаться от его услуг (туземцы могут обидеться, что отвергают их помощь) и должен будет строить в дальнейшем лодки с его помощью.
Туземцы готовы покупать лодку исходя из следующего правила. За первую лодку они заплатят $50-(2+L)$ золотых самородков, где $L$ - количество нанятых на работу над проданной лодкой (чем больше наймет туземцев Робинзон, тем ниже они ценят лодку, ведь качество производства снижается, и чем больше лодок продано, тем меньше туземцы в них нуждаются). За каждую последующую они готовы платить на $(2+L)$ самородков меньше, то есть за $i$-ю лодку они готовы платить $50-i(2+L)$.
Количество нанятых работников ($L$) | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
Время на постройку лодки($t$) | 6 | 4 | 3 |
Максимальное количество лодок на продажу | 6 | 9 | 12 |
Цена за первую лодку($P_1$) | 48 | 47 | 46 |
Скидка за каждую последующую лодку | 2 | 3 | 4 |
Цена продажи каждой последующей лодки получается из предыдущей по правилу $P_{i+1}=P_i -d$. Цены проданных лодок, таким образом, составляют арифметическую прогрессию с первым членом $P_1$ и шагом $(-d)$. Выручка - сумма первых $n$ членов такой прогрессии. Посчитаем ее в каждом случае по формуле \[S_n=n\left(P_1+\frac{-d(n-1)}{2}\right).\]
Количество нанятых работников (L) | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
Выручка | 258 | 315 | 288 |
Легко проверить, что туземцы во всех случаях готовы платить положительную сумму за каждую купленную у Робинзона лодку, так что продажа всех лодок оправдана.
Выходит, что для получения максимальной выручки, равной 315 самородков, Робинзону нужно нанять 1 туземца.
Покажем, что снижение выработки на 1 лодку (например, с 12 до 11) эквивалентно высвобождению 3 «лишних» месяцев. Действительно, если нужно произвести 11 лодок и с самого начала нанять двух работников, то последние 3 месяца можно не работать. Соответственно, появляется возможность произвести первые лодки с меньшим количеством помощников, растянув тем самым срок производства, но увеличив стоимость первой и всех последующих лодок.
Заметим, что если работать в одиночку (без найма работников) то на 1 лодку уходит на 3 месяца больше, чем если нанять двух работников (6 против 3). Если работать с одним работником, то на 1 месяц дольше (4 против 3). Таким образом, высвобождая 3 месяца отказом от производства лодки, мы можем позволить себе распределить их на 3 лодки работы с одним помощником или на 1 лодку, произведенную только силами Робинзона в одиночку.
Рассмотрим варианты найма работников для 11 лодок. Заметим, что варианты, где остаются недоиспользованные месяцы, неэффективны, так как если мы раньше времени наймем второго помощника (например, на производство второй лодки) то для каждой лодки, начиная с которой мы его наняли, ее цена и цена всех последующих лодок будет снижена на единицу.
Схема 1
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 34 |
Цена продажи | 47 | 43 | 39 | 35 | 31 | 27 | 23 | 19 | 15 | 11 | 7 | 297 |
Схема 2
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 35 |
Цена продажи | 47 | 44 | 40 | 36 | 32 | 28 | 24 | 20 | 16 | 12 | 8 | 307 |
рассматривая в дальнейшем отказ от одной лодки, мы будем учитывать только варианты, которые используют высвободившееся время либо для замены на 3 лодки производством Робинзона и 1 помощника либо для замены на 1 лодку производством Робинзона в одиночку. На примере производства 11 лодок это означает схему 3 или схему 4.
Схема 3
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 47 | 44 | 41 | 37 | 33 | 29 | 25 | 21 | 17 | 13 | 9 | 316 |
Схема 4
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 6 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 48 | 44 | 40 | 36 | 32 | 28 | 24 | 20 | 16 | 12 | 8 | 308 |
Для 11 лодок оптимальной схемой будет производство 3 лодок силами 1 помощника и 8 лодок силами 2 помощников, что принесет выручку в размере 316.
В соответствии с приведенными выше рассуждениями, отказ от 2 лодок эквивалентен 6 свободным месяцам, которые можно распределить:
Схема 5
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 6 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 48 | 46 | 42 | 38 | 34 | 30 | 26 | 22 | 18 | 14 | 318 |
Схема 6
No лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 47 | 44 | 41 | 38 | 35 | 32 | 28 | 24 | 20 | 16 | 325 |
Схема 7
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 6 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 48 | 45 | 42 | 39 | 35 | 31 | 27 | 23 | 19 | 15 | 324 |
В соответствии с приведенными выше рассуждениями, отказ от 3 лодок эквивалентен 9 свободным месяцам, которые можно распределить:
Схема 8
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 6 | 6 | 6 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 48 | 46 | 44 | 40 | 36 | 32 | 28 | 24 | 20 | 318 |
Схема 9
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 6 | 6 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 48 | 46 | 43 | 40 | 37 | 33 | 29 | 25 | 21 | 322 |
Схема 10
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 6 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 48 | 45 | 42 | 39 | 36 | 33 | 30 | 26 | 22 | 321 |
Схема 11
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
Время (месяцев) | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 36 |
Цена продажи | 47 | 44 | 41 | 38 | 35 | 32 | 29 | 26 | 23 | 315 |
Логика отказа от 1 лодки в пользу распределения 3 месяцев для 8 и менее лодок не работает, так как мы теперь Робинзон может производить лодки, вообще не нанимая 2 рабочих.
Поскольку нас интересует продажа лодок за наибольшую цену, то начиная с 8 лодок целесообразно рассматривать производство лодок исходя из количества лодок, произведенных Робинзоном в одиночку. Заметим, что если произвести 1 лодку в одиночку и 7 лодок наняв 1 работника, то суммарно будет потрачено $6+7\cdot 4=34$ месяца, т.е. у нас будут простои, которые эффективно было бы потратить на производство более дорогой лодки.
Поэтому начинать анализ мы будем с производства 2 лодок в одиночку и 6 лодок с 1 помощником (итого $2\cdot 6+6\cdot 4=36$ месяцев).
Если построить 3 лодки силами одного Робинзона, то у нас останется 18 месяцев на 5 лодок. Построить 5 лодок силами только 1 помощника не получится (потребовалось бы 20 месяцев). Следовательно, если мы хотим, чтобы было построено 3 лодки в одиночку, то мы должны пожертвовать лодками с 1 помощником ради скорости и начиная с определенного момента нанять 2-го помощника.
Отказа только от 1 лодки будет недостаточно: 3 лодки в одиночку, 4 лодки с 1 помощником и 1 лодки с двумя требует 37 месяцев
Соответственно, нужный нам вариант: 3 лодки в одиночку, 3 лодки с 1 помощником и 2 лодки с двумя ($3\cdot 6+3\cdot 4+2\cdot 3=36$).
Если построить 4 лодки силами одного Робинзона, то у нас остается 12 месяцев на 4 лодки - как раз если нанять 2 работников. Больше, чем 4 лодки, построить в одиночку не удастся из-за временного ограничения.
Схема 12
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
Время (месяцев) | 6 | 6 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 36 |
Цена продажи | 48 | 46 | 43 | 40 | 37 | 34 | 31 | 28 | 307 |
Схема 13
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 6 | 6 | 6 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 48 | 46 | 44 | 41 | 38 | 35 | 31 | 27 | 310 |
Схема 14
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 3 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 48 | 46 | 44 | 42 | 38 | 34 | 30 | 26 | 308 |
Аналогично предыдущему пункту, начинаем рассмотрение с производства сразу 3 лодок в одиночку.
Для 3 лодок в одиночку у нас останется $36-6\cdot 3=18$ месяцев для производства 4 лодок. Если их производить наняв 1 помощника, то всё равно останутся лишние 2 месяца, которые было бы эффективней потратить на производство боле дорогой лодки в одиночку. Этот вариант отбрасываем.
Если произвести 4 лодки в одиночку, то остается 12 месяцев на производство 3 лодок, что как раз соответствует найму одного помощника.
Если произвести 5 лодок в одиночку, то остается 6 месяцев на производство 2 лодок, что соответствует найму 2 помощников на производство 6-й и 7-й лодки.
Произвести 6 лодок в одиночку невозможно по временным ограничениям.
Схема 15
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
Время (месяцев) | 6 | 6 | 6 | 6 | 4 | 4 | 4 | 36 |
Цена продажи | 48 | 46 | 44 | 42 | 39 | 36 | 33 | 288 |
№ лодки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Всего |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Количество помощников | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | |
Время (месяцев) | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 3 | 36 |
Цена продажи | 48 | 46 | 44 | 42 | 40 | 38 | 34 | 292 |
Производство 6 лодок разобрано в пункте 1.
Таким образом, самым оптимальным является производство 10 лодок, при найме 1 работника на производство 6 лодок и 2 работников при найме на производство еще 4 лодок. Суммарная выручка составит 325.
Пусть на банковском счете университета лежит сумма X. Пролежав на счете год, сумма увеличивается в 1,1 раза (на 10%). Кроме того, университет трижды получит плату за общежития. Посчитаем, сколько денег будет у университета к концу третьего года:
Сумма | Количество лет на вкладе | Итог с процентами |
---|---|---|
Х | 3 | $X \cdot 1,1^3$ |
100 000 | 2 | $100\:000 \cdot 1,1^2$ |
100 000 | 1 | $100\:000 \cdot 1,1$ |
100 000 | 0 | 100 000 |
Сложив содержимое третьего столбца, можно получить общую сумму на вкладе к концу третьего года. Теперь рассмотрим случай, когда университет решает оборудовать тренажерный зал.
Сумма | Количество лет на вкладе | Итог с процентами |
---|---|---|
Х - 95 000 | 3 | $(X- 95\: 000) \cdot 1,1^3$ |
140 000 | 2 | $140\:000 \cdot 1,1^2$ |
140 000 | 1 | $140\:000 \cdot 1,1$ |
140 000 | 0 | 140 000 |
Легко посчитать, что вторая итоговая сумма будет больше первой на $(-95\: 000)\cdot 1,1^3+40\: 000\cdot (1,1^2+ 1,1+1)=5 \: 955$ фунтов стерлингов. Значит, зал выгодно оборудовать.
Облигация | P | N | T |
---|---|---|---|
Первая | 8 500 | 10 000 | 1 |
Вторая | 7 000 | 10 000 | 2 |
Третья | 5 500 | 10 000 | 3 |
Большой Билл из инвестиционного банка «Золотое Руно» предлагает финансовую инновацию - облигацию «Тройка». Облигация «Тройка» - это трехгодичная облигация, по истечении которой вы получаете сумму $N=100\:000$, а кроме того, получаете сумму $C=20\:000$ рублей в конце каждого года ее срока действия, начиная с первого (это называется купонная облигация). Таким образом, поток платежей по этой облигации выглядит следующим образом:
Сейчас | Через год | Через 2 года | Через 3 года |
---|---|---|---|
-P | 20 000 | 20 000 | 20 000 + 100 000 |
В связи с высокой доходностью, Большой Билл ожидает большой спрос на новый финансовый инструмент и предлагает «Светлому будущему» купить «Тройку» по цене 100 000 рублей.
На семейном совете было решено копить на японский мопед, цена которого в январе составляет 1 200 долларов США, и все доходы сверх расходов будут идти на накопление необходимой суммы. Курс доллара на 1 января составил 60 рублей за доллар. Сергей может открыть срочный пополняемый рублевый вклад в банке на полгода из расчета 8% годовых (соответственно 4% за полгода).
Министерство экономического развития (МЭР) прогнозирует, что среднемесячная рублевая инфляция в 2015 году составит 1% в месяц (соответственно пропорционально будут расти и расходы семьи Сергея), а курс доллара будет расти на 1 рубль за доллар каждый месяц. Продавец мопеда заявил, что его цена в долларах меняться не будет.
Друг Сергея Иван предлагает занять деньги в банке, купить на них оптом гречку по 50 рублей за килограмм и продать ее через полгода, перед началом нового урожая, когда цены на нее максимальны. Он ожидает роста цен на гречку в среднем на 5% в месяц. Банк готов выделить целевой кредит молодым предпринимателям под 20% годовых, но не более 50 тыс. рублей.
Участники вправе в ходе решения сделать другие предположения относительно указанных величин: например, ввести предпосылку о сложном характере роста процентов по кредиту внутри года, т.е. месячный процент будет вычисляться как $\sqrt[12]{1,2}-1$, или что доллар растет скачком 1 числа каждого месяца. Данные вариации будут засчитываться как корректное решение, если логика рассуждений и приведенные расчеты в рамках сделанных предпосылок будут верны.
Гречка, купленная на 50 000 рублей, к 1 июля будет стоить $50\:000\cdot 1,05^6$ что приблизительно составляет 67 005 рублей. Выплатить банку необходимо $50\:000\cdot 1,1 =55\:000$ (за полгода) рублей. Таким образом, чистый доход проекта - 12 005 рублей и его нужно реализовывать.
Рассмотрим теперь, стоит ли класть деньги на депозит в банк. При росте курса рубля на 1 рубль в месяц минимальная месячная доходность составит $72/71-1=1,4~\%$. Соответственно, за полгода доход от вложения всей свободной наличности в доллары будет превышать доход от депозита (даже с простыми процентами $1,4~\%\cdot 6>4~\%$).
Заметим, что доходность от вложений в гречку превышает доход от роста курса доллара (самый большой темп роста курса доллара в январе $61/60-1 =1,67~\%<5~\%$). Поэтому даже валютный доход выгодно переводить в рубли и на полученную сумму покупать гречку.
Составим баланс доходов и расходов семьи по месяцам (см. первую таблицу). Показатели по столбцам означают следующее:
Из таблицы видно, что на 1 мая у семьи объем чистых инвестиций в гречку (стоимость гречки после возврата кредита) в долларовом выражении составляет 1161 доллар, что меньше 1200 долларов. Также видно, что на 1 июня объема средств хватит, чтобы купить мопед. С учетом линейного роста показателей внутри месяца можно составить уравнение точной даты покупки:
$$ \left(66892+60775\right)\cdot \left(1+\frac{5}{31\cdot 100} x\right)=1200\cdot 64\cdot \left(1+\frac{1}{31\cdot 100} x\right)+53333\cdot \left(1+\frac{1}{12\cdot 31\cdot 100} x\right)$$
Откуда $x = 13,72$, что означает, что на 14-й день мая, погасив кредит и продав всю гречку, мопед можно будет купить.
После того, как курс доллара будет зафиксирован, соотношение доходностей не поменяется. Так что стратегия остается прежней, баланс доходов и расходов семьи приведен во второй таблице на странице 8. По-прежнему, 1 мая покупка недоступна, а 1 июня денег с избытком. Рассчитаем день майской покупки:
$$(66997+60775)\cdot\left(1+\frac{5}{31\cdot 100} x\right)=1200\cdot 64+53333\cdot\left(1+\frac{1}{12\cdot 31\cdot 100} x\right).$$
$x=12,04$ т.е. на 13-й день мая мопед можно будет купить.
Рынок электроэнергии регулируется следующим образом: системный оператор (СО) каждые сутки собирает заявки станций, которые состоят из трех значений: $P_{\min}$, $P_{\max}$, и цена. Далее системный оператор определяет: 1) какие станции включить; 2) какие станции будут нести нагрузку. При этом потребление электричества колеблется в течение суток (ночью потребляется меньше, днем больше). Соответственно, нужно включить станции так, что сумма $P_{\min}$ включенных станций была меньше или равна минимальному потреблению в течение суток (электричество хранить нельзя), а сумма $P_{\max}$ включенных станций должна быть больше или равна максимальному потреблению в стуках (иначе некоторым потребителям не хватит энергии).
Системный генератор формирует кривую предложения на рынке на следующие сутки следующим образом: все $P_{\min}$ тех станций, которые по решению СО включены, предлагаются бесплатно, так как они в любом случае будут работать. Следующей к продаже предлагается нагрузка той станции, которая подала минимальную цену, за вычетом ее $P_{\min}$ (величина ($P_{\max}-P_{\min}$) станции называется дозагрузкой). Следующей к продаже предлагается дозагрузка станции выставившей предпоследнюю по величине цену и т.д. Цена на сутки определяется как цена той станции, которая закроет среднесуточное потребление (то есть будет последней в этой цепочке). При этом системный оператор выбирает, какие станции включить, так, чтобы минимизировать цену.
Пример. Предположим, что на Сахалине 2 станции с заявками:
Станция | $P_{\min}$ (МВт) | $P_{\min}$ (МВт) | Цена (руб./МВт) |
---|---|---|---|
Сахалинская ГРЭС | 100 | 200 | 500 |
Сахалинская ТЭЦ | 150 | 250 | 700 |
Предположим, что потребление Сахалина 300 МВт и колеблется от 270 до 330 МВт в течение суток (эти величины в отдельно взятый день не зависят от цены электроэнергии). Получается, что СО должен включить обе станции, так как ни одна из станций не способна в одиночку взять нагрузку 330 МВт.
Тогда кривая предложения будет иметь вид: $100+150=250$ МВт бесплатно, 100 МВт по цене 500 рублей за МВт и еще 100 МВт по цене 700 рублей за МВт. Учитывая, что суммы $P_{\min}$ станций и 100 МВт дозагрузки Сахалинской ГРЭС хватает, чтобы закрыть среднесуточное потребление Сахалина ($250+100>300$) то цена за электричество будет назначена на уровне 500 рублей за МВт.
Задача. Предположим, в Красноярском крае системный оператор получил следующие заявки от станций на 1 марта 2015 года:
Станция | $P_{\min}$ (МВт) | $P_{\min}$ (МВт) | Цена (руб./МВт) |
---|---|---|---|
Березовская ГРЭС | 500 | 600 | 300 |
Красноярская ТЭЦ-1 | 200 | 210 | 450 |
Красноярская ТЭЦ-2 | 180 | 240 | 480 |
Красноярская ТЭЦ-3 | 280 | 360 | 500 |
Минусинская ТЭЦ | 180 | 360 | 800 |
ТЭЦ ОАО Русал-Ачин | 200 | 300 | 900 |
Предположим, что среднесуточное потребление прогнозируется на уровне 1000 МВт, а отклонение вниз и вверх может составить по 150 МВт.
Сумма $P_{\min}$ всех оставшихся пяти станций (без БГРЭС) равна 1040, что больше требуемого.
Максимальная сумма $P_{\max}$ трех станций из этих пяти (КТЭЦ-3, МТЭЦ и ТЭЦ РА) составляет $360+360+300=1020$, что меньше 1050, т.е. не покрывает максимальную нагрузку.
Таким образом, нам необходим набор из четырех станций, в составе которого нет БГРЭС.
Минимальный набор $P_{\min}$ из четырех станций $2\cdot 180+2\cdot 200=760$ МВт, его $P_{\max}$ составляет 1110 МВт, что меньше необходимых 1150 МВт для покрытия максимальной нагрузки.
Следующие два набора, когда одну из станций с $P_{\min}= 200$ (КТЭЦ-1 или ТЭЦ РА) заменяем КТЭЦ-3 с $P_{\min}= 280$ (минимально возможный прирост равен $+80$), в сумме дают 840 МВт, нам подходят. Это наборы:
Определим цену для указанных двух вариантов.
Набор 1 | ||||
---|---|---|---|---|
Замыкающая станция | КТЭЦ-1 | КТЭЦ-2 | КТЭЦ-3 | МТЭЦ |
Цена | 450 | 480 | 500 | 800 |
Объем дозагрузки (накопительным итогом) | 10 | 70 | 150 | 330 |
Набор 2 | ||||
---|---|---|---|---|
Замыкающая станция | КТЭЦ-1 | КТЭЦ-2 | КТЭЦ-3 | МТЭЦ |
Цена | 480 | 500 | 800 | 900 |
Объем дозагрузки (накопительным итогом) | 60 | 140 | 320 | 420 |
При этом разница между среднедневной нагрузкой и суммой $P_{\min}$ в обоих вариантах составляет 160 МВт, т.е. замыкающей в обоих случаях является МТЭЦ с ценой 800 рублей.
Следующий вариант набора нагрузки: замена МТЭЦ или КТЭЦ-2 на КТЭЦ-3 (что даст увеличение $P_{\min}$ на 100) уже не подходит, так как $P_{\min}$ станций будет составлять 860 МВт, что выше ночного минимума.
Ответ на пункт 1 включает один из двух указанных наборов, цена составит 800 рублей.
Заметим, что если заменить КТЭЦ-2 или МТЭЦ на станцию с $P_{\min}$, равным 200 МВт, минимальные суточные требования уже не будут соблюдаться ($880>867$). Таким образом, единственный набор, в составе которого есть БГРЭС и который удовлетворяет требованиям, - это указанный выше набор (так как $P_{\min}$ четырех или, тем более, пяти станций с БГРЭС будет заведомо выше).
Заметим, что и в случае роста спроса на 2% $P_{\max}$ трех из пяти станций, среди которых нет БГРЭС, составляет 1020 МВт, что по-прежнему меньше необходимого максимума в 1173 МВт.
Значит, оставшиеся доступные наборы нужно искать среди четырех станций без БГРЭС. Вариант с минимальным $P_{\min}$ по-прежнему нас не устраивает ($P_{\max}$ 1110 меньше 1173). Остается 2 варианта с $P_{\min}= 840$ и 2 варианта с $P_{\min}= 860$:
Объемы дозагрузки наборов:
Набор 1 | |||
---|---|---|---|
Замыкающая станция | БГРЭС | КТЭЦ-2 | МТЭЦ |
Цена | 300 | 480 | 800 |
Объем дозагрузки (накопительным итогом) | 100 | 160 | 340 |
Набор 2 | ||||
---|---|---|---|---|
Замыкающая станция | КТЭЦ-2 | КТЭЦ-3 | МТЭЦ | ТЭЦ РА |
Цена | 480 | 500 | 800 | 900 |
Объем дозагрузки (накопительным итогом) | 60 | 140 | 320 | 420 |
Набор 3 | ||||
---|---|---|---|---|
Замыкающая станция | КТЭЦ-1 | КТЭЦ-3 | МТЭЦ | ТЭЦ РА |
Цена | 450 | 500 | 800 | 900 |
Объем дозагрузки (накопительным итогом) | 10 | 90 | 270 | 370 |
Составим таблицу, в которой укажем разницу между среднесуточным потреблением и $P_{\min}$, а также замыкающую станцию и цену для разных наборов:
Набор | Разница | Станция | Цена |
---|---|---|---|
Набор 1 | 160 | КТЭЦ-2 | 480 |
Набор 2 | 180 | МТЭЦ | 800 |
Набор 3 | 160 | МТЭЦ | 800 |
Ответ пункта 2 включат БГРЭС, КТЭЦ-2, МТЭЦ цена на рынке составит 480 р., что меньше чем в пункте 1 за счет возможности ввода большой станции с низкой дозагрузкой.
Счастье Саши можно рассчитать по формуле $U_S=4\sqrt{r}+7\sqrt{p}-T_S$, где $U_S$ - уровень счастья Саши, $r$ - качество роутера, $p$ - качество пылесоса, а $T_S$ - расходы Саши (в рублях). Счастье Максима, в свою очередь, задается уравнением $U_M=\sqrt{r}+6\sqrt{p}-T_M$, где $T_M$ - расходы Максима. Роутер качества $r$ стоит $r$ рублей; пылесос качества $p$ стоит $2p$ рублей. Каждый из ребят принимает решения так, чтобы его счастье было максимально.
Подставляя найденные значения $p$ и $r$ в функции счастья, получаем, что уровни счастья будут равны 14,5 для Саши и 6,5 для Максима.
Почему это произошло, несмотря на то, что в пункте 2, Максим не должен оплачивать покупку пылесоса - товара более дорогого с точке зрения цены единицы качества - самостоятельно? Все дело в том, что складчина изменила поведение соседей. В пункте 2 каждый из соседей принимает во внимание лишь половину своих расходов, ожидая, что другая половина будет оплачена другим соседом. В результате, соседи покупают гораздо более дорогие (хоть и качественные) роутер и пылесос. В данном конкретном примере, эффект от того, что Максиму приходится оплачивать половину расходов на дорогой роутер, купленный Сашей, превосходит эффект от возвросшего качества роутера, и потому Максиму становится хуже.
Заметьте, что если бы соседи не изменили поведение, а выбрали те же уровни качества товаров, что и в пункте 1, Максиму действительно стало бы лучше по сравнению с пунктом 1.
Рассмотрим ситуацию, когда Максим оплачивает 40% суммарных расходов, то есть $\alpha=0,4$. В этом случае Саша будет максимизировать по $r$
$4\sqrt{r}+7\sqrt{p}-0,6(r+2p)$, откуда $r=100/9$; Максим будет максимизировать по $p$ величину $\sqrt{r}+6\sqrt{p}-0,4(r+2p)$, откуда $p=225/16$. Уровни счастья будут равны примерно $16 >14,5$ для Саши и примерно $10,14 > 6,5$ для Максима. Таким образом, оба будут более счастливы.
То, что обоим стало лучше по сравнению с пунктом 1, говорит о том, что ситуация в 1 была неэффективной. Неэффективность возникает из того, что в 1 каждый, хоть и учитывает полностью расходы на покупаемый им товар, не учитывает при принятии решения влияние качества покупаемого товара на счастье соседа, и потому ими покупаются товары слишком низкого (с точки зрения общества) качества. При складчине каждый не боится потратить слишком много, купив товар высокого качества, что в ряде случае может <<исправить>> неэффективность.