1. «Вкусняшка» в «Мире счастья»

Сергей Владимирович работает бухгалтером в фирме «Мир счастья». Прямо сейчас он должен подсчитать, во сколько обойдется фирме угостить по случаю окончания квартала $N$ сотрудников «Мира счастья» батончиками шоколадки «Вкусняшка». В магазине «Вкусняшка» продается в упаковке из 2 батончиков по цене 25 рублей за упаковку и в упаковке из 3 батончиков по цене 40 рублей за упаковку. Каждому сотруднику должен достаться 1 батончик. Для любого натурального числа $N$ определите минимальные расходы фирмы на угощение $N$ сотрудников.
Решение

Очевидно, что если $N=1$, то нужно купить упаковку из двух батончиков за 25 рублей.
Заметим, что ни при каких $N$ фирма не станет покупать более одной упаковки из трех батончиков, так как вместо двух упаковок из трех батончиков (расходы $2\times 40=80$ рублей) дешевле купить три упаковки из двух батончиков (расходы $3\times 25=75$ рублей).

Если $N=2m$, где $m$ — натуральное, то оптимальным решением фирмы будет купить $m$ упаковок из 2-х батончиков. Действительно, выше показано, что покупать более одной упаковки из трех батончиков невыгодно. Если купить ровно одну упаковку из трех батончиков, то тогда необходимо докупить $m-1$ упаковку из двух батончиков; общие расходы составят $(m-1)\times 25+1\times 40=25m+15$. Однако если вместо этого купить m упаковок из 2-х батончиков, то расходы составят $25m$. Следовательно, оптимальный вариант – покупка m упаковок из 2-х батончиков или, что то же самое, покупка $N/2$ батончиков.

Если $N=2m+1$, где $m$ — натуральное, то оптимальным решением фирмы будет купить $m-1$ упаковку из 2-х батончиков и 1 упаковку из трех батончиков. Единственная возможная альтернатива — купить $m+1$ упаковку из 2-х батончиков, но тогда расходы будут равны $25(m+1)$, что выше, чем $25(m-1)+40=25m+15$. Таким образом, надо купить $m-1$ упаковку из 2-х батончиков и 1 упаковку из трех батончиков, то есть $(N-3)/2$ упаковок из 2-х батончиков и 1 упаковку из трех батончиков. Общие расходы при этом равны $25(N-3)/2+40$.

2. Лицензия от 100

Фирма Альфа реализует товар А на рынке совершенной конкуренции. Ее общие издержки имеют вид: $TC=0{,}2q^2$, где $q$ — выпуск фирмы, единиц продукции в месяц.

На рынке товара А действует следующая система лицензирования: если выпуск фирмы не превышает 100 единиц продукции в месяц, то никакие лицензионные сборы не взимаются. При превышении этого объема фирма обязана платить фиксированный лицензионный сбор в размере 3125 рублей в месяц.

Выведите функцию предложения фирмы Альфа.

Решение

Рассмотрим сначала задачу максимизации прибыли фирмы без учета лицензии:
$$\pi=pq-0,2q^2\rightarrow\max$$
Относительно объема выпуска эта функция является параболой, направленной ветвями вниз. Ее вершина достигается при объеме выпуска $q=2,5p$.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда фирме при принятии решения следует учитывать ограничение, связанное с лицензией.
При цене, не превышающей 40 рублей, оптимальный объем выпуска $q=2,5p\leq100$, следовательно, фирме нет нужды покупать лицензию.
При цене, превышающей 40 рублей, фирме следует выбрать один из двух вариантов действий:

(1) Производить ровно 100 единиц продукции в месяц, чтобы не платить за лицензию.
(2) Производить $q=2,5p>100$ единиц продукции, оплатив лицензию.

Фирма будет выбирать первый вариант в случае, если прибыль от первого варианта выше, чем прибыль от второго. То есть, если при $p>40$ выполняется неравенство
$$100p-0,2\cdot100^2>(2,5p)p-0,2(2,5p)^2-3125$$
Решая, это неравенство, получаем, что $40
При цене 90 фирме безразлично, какой из вариантов выбирать, поэтому оба объема выпуска $q=100$ и $q=2,5\cdot 90$ следует включить в ответ. При цене, большей, чем 90, выгодно расширять производство, несмотря на необходимость платить лицензионный сбор.

3. Парадокс неравенства

Как-то, читая журнал «Вопросы неравенства», Юный Экономист наткнулся на заметку, в которой сравнивался уровень среднедушевого дохода в странах Ричии и Пурии. (В этих двух странах, как известно, есть по две группы населения — группа богатых и группа бедных. Доходы внутри каждой из групп распределены равномерно). Вот отрывок из заметки:

«За последний год доход одного бедного в Ричии составил 8, в то время как доход одного бедного в Пурии составил 5. При этом доход одного богатого в Ричии составил 72, а в Пурии — 30. Таким образом, каждая группа населения в Ричии богаче, чем аналогичная группа в Пурии. Значит, и среднедушевой доход в Ричии явно больше, чем среднедушевой доход в Пурии, что, несомненно, говорит о большей эффективности работы…»

Будучи внимательным и вдумчивым читателем, Юный Экономист поставил под сомнение вывод автора заметки о том, что среднедушевой доход в Ричии «явно больше». Чтобы разобраться в ситуации, он формализовал условие и попытался доказать этот вывод математически. Однако вскоре Юный Экономист понял, что вывод этот просто-напросто неверен! Юный Экономист смог подобрать такой пример, удовлетворяющий условию, при котором среднедушевой доход в Ричии на самом деле получается на 4% меньше, чем среднедушевой доход в Пурии.

а) (5 баллов) Объясните, как возможна такая «парадоксальная» ситуация, при которой среднедушевой доход в каждой из групп в одной стране больше, чем среднедушевой доход в соответствующей группе в другой стране, а при этом среднедушевой доход всей страны оказывается меньше, чем среднедушевой доход другой страны.
б) (10 баллов) Если взять за основу пример Юного Экономиста, то коэффициент Джини в Ричии окажется равен 0,5. Найдите (для примера Юного Экономиста) коэффициент Джини в Пурии.

Решение

(а) Все дело в том, что среднедушевой доход в стране зависит не только от среднедушевого дохода в каждой группе, но и от долей богатых и бедных в населении страны. Из условия следует, что среднедушевой доход в Ричии находится где-то между 8 (этот доход одного бедного) и 72 (это доход одного богатого). Аналогично, среднедушевой доход в Пурии находится где-то между 5 и 30. Но интервалы (8;72) и (5;30) пересекаются. Если в Ричии относительно много бедных, то среднедушевой доход в ней будет близок к 8. Если в Пурии много богатых, то среднедушевой доход в ней будет близок к 30, и мы как раз получим ситуацию, при которой среднедушевой доход в Пурии будет, «парадоксальным» образом, больше, чем в Ричии.

(б) Примечание: данное решение использует известную формулу для коэффициента Джини: если в стране две группы населения и доход распределен между ними равномерно, то $G=x-y$, где $x$ - доля более бедной группы в населении, $y$ - ее доля в общем доходе. Знание этой формулы не обязательно для решения.

Найдем из условия о коэффициенте Джини долю бедных в Ричии. Обозначим ее за $\alpha=\frac{n_1}{n_1+n_2}$, где $n_1$ и $n_2$ - количества бедных и богатых в Ричии. Тогда доля дохода бедных в общем доходе равна $$\frac{8n_1}{8n_1+72n_2}=\frac{8\alpha}{8\alpha+72(1-\alpha)}.$$ Значит, коэффициент Джини равен (тут мы пользуемся известной формулой) $G=\alpha-\frac{8\alpha}{8\alpha+72(1-\alpha)}=0,5$.

После упрощений это уравнение сводится к квадратному $16\alpha^2-24\alpha+9=0$. Заметим, что в левой части стоит полный квадрат: $(4\alpha-3)^2=0$ , откуда $\alpha=0,75$.

Значит, среднедушевой доход в Ричии равен $0,75\cdot 8 +0,25\cdot 72=24$ . Из условия про 4% находим, что среднедушевой доход в Пурии равен $24/0,96=24/(24/25)=25$.

Пусть $\beta$ — доля бедных в Пурии. Теперь нетрудно найти и ее:
$5\beta+30(1-\beta)=25$ , откуда $\beta=0,2$.
Действуя по аналогии с Ричией, получаем, что коэффициент Джини в Пурии равен
$$G=\beta-\frac{5\beta}{5\beta+30(1-\beta)}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}=\frac{4}{25}=0,16.$$

4. Сюрприз для «Сюрприза»

Фирма «Сюрприз» является монополистом на рынке хороших новостей. Спрос на ее продукцию описывается уравнением $Q_d=11-P$, где $Q$ — количество покупаемого товара, а $P$ — его цена. Средние издержки фирмы постоянны и равны 1. Для простоты будем считать, что выпуск фирмы может выражаться не только целым числом.

Государство собирается обложить фирму налогом в размере 2 д.е. с каждой проданной единицы продукции. Вам предлагается рассмотреть последствия такого налогообложения в двух случаях: (1) фирма не знает заранее (в момент принятия решения о выпуске), что налог будет введен; (2) фирма заранее об этом знает.

а) (4 балла) Допустим, в момент принятия решения об уровне выпуска фирма не знает о введении налога. Найдите выпуск фирмы, ее прибыль за вычетом налогов и сумму налоговых сборов, полученных государством.

б) (4 балла) Допустим, в момент принятия решения об уровне выпуска фирма знает о введении налога. Найдите выпуск фирмы, ее прибыль за вычетом налогов и сумму налоговых сборов, полученных государством.

в) (2 балла) Сколько фирма выиграет, если узнает заранее о введении налога? Сколько в этом случае потеряет государство?

г) (7 баллов) Докажите, что, каковы бы ни были функция спроса на продукцию фирмы и функция издержек фирмы , а также сама ставка налога, выигрыш фирмы от того, что она заранее узнает о введении налога, не может быть больше, чем соответствующие потери государства. Иными словами, покажите, что система из двух данных агентов в целом проиграет, если информация о введении налога станет заранее доступна фирме.

Решение

(а) Фирма максимизирует прибыль без учета налога:
$\pi(Q)=(11-Q)Q-Q\rightarrow\max$
Оптимум достигается в вершине параболы, $Q^{\star}=5$ .
Сумма сборов равна $5\cdot 2=10$. Значит, прибыль фирмы после налогообложения равна 15.

(б) Теперь фирма учитывает налог при выборе объема выпуска:
$\pi(Q)=(11-Q)Q-Q-2Q\rightarrow\max$
Оптимум достигается в вершине параболы, $Q^{\star}=4$ .
Сумма сборов равна $4\cdot 2=8$. Прибыль фирмы после налогообложения равна 16.

(в) Узнав о введении налога и успев подстроить выпуск, фирма смогла заработать дополнительно $16-15=1$ д.е. При этом из-за того, что фирма узнала о введении налога, государство потеряло $10-8=2$ д.е.

(г) Пусть $\pi(Q)$ — прибыль фирмы до уплаты налога как функция от ее выпуска. В ситуации, когда фирма не знает о налоге, она выбирает выпуск $Q_1$, который максимизирует эту функцию. Тогда прибыль фирмы, если она не знает о налоге, равна $\pi(Q_1)-T_1$ , где $T_1$ — налоговые сборы государства в данной ситуации.
Обозначим за $Q_2$ выпуск, который фирма выбирает, если знает о налоге. Ее прибыль в этой ситуации равна $\pi(Q_2)-T_2$, где $T_2$ — налоговые сборы государства, если фирма знает о налоге.

Тогда выигрыш фирмы от «знания о налоге» равен $(\pi(Q_2)-T_2)-(\pi(Q_1)-T_1)$ , а проигрыш государства равен $T_1-T_2$.
Требуемое неравенство тогда запишется как
$$(\pi(Q_2)-T_2)-(\pi(Q_1)-T_1)\leq T_1-T_2,$$
что эквивалентно
$$\pi(Q_1)\geq \pi(Q_2).$$
Однако последнее неравенство верно, так как $\pi(Q_1)$ — это значение функции $\pi(Q)$ в точке максимума, а $\pi(Q_2)$ — это значение той же функции в какой-то точке.