Аня может изготавливать первый товар со скоростью 1 единица в час, второй – со скоростью 2 ед./ч, третий – 3 ед./ч. Для Бори соответствующие скорости равны 1,3,2 (ед./ч). У каждого из них есть 1 час времени.
а) Пусть им на двоих нужно произвести 1 ед. первого товара и 1 ед. второго. Какое максимальное количество третьего товара они смогут произвести, если объединят свои усилия? (Товары бесконечно делимы.)
б) Найдите КПВ в координатах ($x_2,x_3$) при условии, что нужно произвести 1 единицу первого товара (другими словами, выполните пункт "а" для любого $x_2$, а не только для $x_2=1$).
в) Найдите КПВ в координатах ($x_2,x_3$) при условии, что нужно произвести 0,5 единиц первого товара.

Комментарии

2 штуки третьего товара.нет?
похоже на правду. а почему именно две?
Я не использовал экономические понятия, одни вычисления и подборы.
Ход моих мыслей:
1)Сначала им надо сделать первый товар => Аня делает 1/3 первого товара за 20 мин., и Боря 2/3 за 40 мин.
(у Ани осталось 40 мин., у Бори 20 мин.)
2)Потом Боря приступил ко второму товару и сделал за 20 мин.
(у Ани осалось 40 мин., у Бори 0 мин.)
3)Дальше Аня делает 2 штуки третьего товара по 20 мин.,
Ответ: 2 штуки третьего товара.
Ок, но где гарантия, что нельзя произвести больше двух единиц третьего товара?
может просто времени не хватит. что-то наивно.
Даешь КПВ в 3D!
Я что-то не пойму, но что это кпв в 3D)))
Рисуешь КПВ, надеваешь очки. Вот тебе и 3D:-)
да, 2 штуки, и их кажется производит 1й
Чего гадать? Если есть идеи по решению задачи, то пиши их, а ответ в задаче не главное.
Обоснуй.
записать КПВ нужно от 3 переменных
потом применить принцип относительного преимущества во 2 товаре по 1 и 3 у Бори => Боря производит весь второй товар
дальше пишем что еще можно произвести, получаем Q31*2+Q32*3=4
, где верхние индексы означают Аню и Борю, нижний - 3 товар
тогда, если Q31=0, то получаем максимальный ответ - 2
Второй и третий товар симметричны для Бори с Аней(второй для Бори как третий для Ани), поэтому раз "Боря производит весь второй товар" то и Аня, не будь дурой, производит весь третий. Поэтому там немного проще получается решить.

Теперь пусть нам нужно произвести ровно $x_0$ единиц первого товара. Как в зависимости от $x_0$ будет выглядеть совместное КПВ Ани и Бори в производстве второго и третьего благ?

Q3/3+Q2/3=2-x0 если x0<=2
иначе невозможно)
короче Q2+Q3=6-3*x0
Во-первых после домножения на 3 должно было получиться $Q_2+Q_3=6-3x_0$ =)
А во-вторых тут не все так просто, как кажется.)
По твоей схеме получается, что они могут произвести 0.5 первого товара и 4.5 третьего, однако, если подставишь, то увидишь, что времени у них на все это не хватит.
если конечно Q2 и Q3 оба меньше 3
тогда КПВ такая вроде
точнее так:
Q2<=min(3, 6-2*x0) => КПВ Q2+Q3=6-3*x0
Из этого вообще следует, что второго(и третьего?) товара больше трех не могут произвести, а это снова не правда.)
ага, будет кусочно-линейная функция значит)
Она будет менять форму в зависимости от $x_0$. Так сказать вырождаться из кусочно-линейной в линейную, собственно тебе-то и предстоит найти, как это будет происходить ;)
сегодня уже лень, мб завтра вечером)
Всего есть 120 минут работы на двоих. Скорость изготовления 1 товара у каждого рабочего одинаковая (1ед/час), значит как бы мы не распределяли работу по изготовлению 1 товара, придется потратить час. Скорость изготовления 2 и 3 товаров разная, значит для максимизации производства нужно изготавливать товар с наибольшей скоростью(в обоих случаях 3 ед/час).После изготовления 1 товара в общей сложности остается 60 рабочих минут. Нужно изготовить 1ед товара 2 и макс. количество товара 3, значит на изготовление товара 2 уйдет 60*1/3=20 мин., а на товар 3 оствается 40 мин. Значит, максимально возможное количество товара 3 = 40:(60*1/3)=2(ед.)
Ответ:2.
такое решение имеется.(см. начало.)
там не решение, а только пример без оценки
Саша прав, то, что ты писал не является строгим решением.Прочитай коммент Гриши и ты поймёшь почему.
Ты не пишешь , почему именно тот или иной товар должны производить Аня или Боря, и ты не гарантируешь, что больше мы произвести не сможем. Почему бы тебе не решить эту задачу основываясь на экономическую теорию?
Да я не писал почему?, и наверно вы правы на олимпиаде может быть такое и не оценили.
Сурен абсолютно прав, на олимпиаде бы это оценили максимум в четверть баллов
возможно даже и в 0
Поверь нам, бывалым бойцам :)
Может для доказательства, что 2 ед. третьего товара - это максимально возможное производство, следует использовать сравнительные преимущества?
3/2>1/1>2/3
Таким образом Боря имеет сравнительное преимущество во 2 товаре, в сравнении с первым, а в первом товаре, по сравнению с третьим.
Следовательно, оптимально, чтобы Боря занимался 2 товаром. Затратив 20 минут на него и произведя 1ед., он начинает заниматься первым. За оставшиеся 40 минут он произведет 2/3ед.
А Аня, следовательно, 20 минут потратит на первый и 40 минут на 3 товар.
Только, Боря имеет сравнительное преимущество в производстве 2-ого товара ( сравниваются Боря и Аня , а не 1-ый и 2-ой товар)
Аня имеет сравнительное преимущество в производстве 3-ого товара.
А кто тогда по-твоему "имеет сравнительное преимущество в производстве первого товара"? Никто? Разве такое бывает?
Исходя из моего решения, 2-ой товар будет делать Боря, сделав его, он не тронет 3-ий, ибо точно знает, что Аня справится лучше него, Аня делает 3-ий товар, Боря за оставшееся у него время делает 1-ый товар, Аня заканчивает делает 1-ий товар, и за оставшееся время делает 3-ий. Ну да, конечно Боря сам себе скажет , что он будет изготовлять 1-ый товар после 2-его и не тронет 3-ий.
Что-то я у Павла не так прочитал, сорри )
Ну сравнительное преимущество в производстве первого товара имеет Боря ( если сравнивать 1-ый и 3-ий товар) , Аня ( если сравнивать 1-ый и 2-ой товар) . Иными словами , ОС первого товара от 3-его у Бори меньше чем у Ани , а OC первого товара от 2-ого у Бори больше чем у Ани.
Видимо именно это имел ввиду Павел.
Идея хорошая! Только хотелось бы более чёткого доказательства. А то вот Сурен даже не понял, что значит "Боря имеет сравнительное преимущество во 2 товаре в сравнении с первым". Предлагаю Вам решить пункты "б" и особенно "в", которые я только что добавил: на более сложной задаче и, соответственно, более объёмном решении проще будет понять идею.
Гриш, я так понимаю наши мысли неожиданным образом сошлись? =) (в последних двух пунктах)
http://iloveeconomics.ru/zadachi/z634#comment-9092
Да тут нет ничего неожиданного; задание "найдите трёхмерную КПВ" звучит естественно, но я решил не писать его сразу, а вместо этого последовательно писать шаги к нему.
Да, в этом то и есть вся прелесть, что из того, что получишь для каждого х кпв двух других товаров, можно сказать, получается построение трехмерной КПВ только уже не интуитивное по точкам, а более осмысленное. Я даже хотел состряпать анимашку, как это выходит, но мой вольфрам упрямится. =)
в) как я понимаю Х2=2,Х3=2.и 10 мин. остается
но я думаю можно еще что-нибудь произвести это не максимум.!
Да, прошу извинить, за некоторую неясность в объяснении. Просто несколько торопился)

б) И так, время на производство первого товара будет равно час в любом случае (кто бы его не производил).
Как уже было сказано выше Боря имеет сравнительное преимущество в 2 товара, а Аня в производстве 3го.

Рассмотрим точки, лежащие на осях. Максимизируем производство второго товара. Смотрим сравнительное преимущество по паре 1ый-2ой товар. 3/2>1/1, значит преимущество во первом товаре у Ани. Она, реализуя свое сравнительное преимущество будет в начале производить 1ый товар. Как мы видим, после производства необходимой единицы первого товара, на 2ой у нее времени не останется. Следовательно его производит Боря и произведет 3 ед.

Тоже самое делаем с парой товаров 1-3.

Получим 2 точки на осях. Можно проверить, что функция линейна, задав необходимое количество 2ого товара.
Если мы хотим 1,5 ед 2ого товара, то после его производства у Бори будет еще 3 минут, за которые он произведет 0,5 1го товара. Следовательно Аня за освободившиеся 30 минут произведет 1,5 ед. 3его товара.

Вот небольшой график.
grafik dlya p b.JPG

Теперь посмотрим пункт в
Как мы уже показали, Боря имеет сравнительное преимущество во втором товаре, Аня - в 3ем. В первом товаре сравнительное преимущество "переходящее", т.е. в зависимости с производством какого товара сравниваем.

Так как надо произвести только 0,5 ед. 1го товара, следовательно специализация не будет полной у одного из производителей как минимум. Поясню на решении:

В этом случае Боря может счастливо производить товар 2 (3 ед.), а Аня будет разрываться на 2 работах: на производстве товара 1 (30 минут=0,5 ед.), а за оставшиеся 30 минут, она успеет произвести 1 ед. товара 2.
Почему в этом случае именно Аня должна производить товар 1, объяснено в предыдущем посте.

Таким образом максимальное производство товара 2 равно 4 ед.
Если начнется производство товара 3, то, так как Аня обладает преимуществом в его производстве, она будет уже производить все 3 товара. При этом общее количество времени на 2 и 3 - 30 минут. За 30 минут Аня может произвести 1,5 ед. 3его товара. Следовательно в этом случае производство продуктов будет (0,5;3;1,5)

Для увеличения производства 3его продукта надо потревожить Борю. Перед ним выбор - или производить 3ий товар, или замещать Аню в производстве 1го. Так как в паре товаров 1-3 Боря имеет сравнительное преимущество в 1, то более эффективно замещать Аню.

В результате время Ани постепенно полностью сместится в производство 3го. Точка будет (0,5;1,5;3). Дальнейшее увеличение товара 3 будет происходить за счет снижения товара 2, производимого Борей. Максимум времени, которое Боре может потратить на 3ий товар - 30 минут. За них он произведет 1 ед 3его товара.

График будет выглядеть примерно так:
grafik dlya p c.JPG

Вот, постарался ответить как можно более подробно. Если возникнут дополнительные вопросы - постараюсь ответить.
Да, и спасибо за интересную задачу

Я понимаю Ваше решение, но не уверен, что его поймут те, кто сам не решил эту задачу. Хотя, может, это и к лучшему – будет стимул решить:)
Если интересно, можете попробовать решить эту задачу другим способом – геометрическим. Он более короткий, но для того, чтобы им воспользоваться, сначала нужно научиться коротким способом решать задачки типа Культурный отдых (abridged). Если что, совсем недалеко до этого короткого способа от вот этого комментария.
Да, красиво выходит!