enoty.gif
Три коалы Мэри, Вано и Жозефина заготавливают траву и продают её на экспорт. У каждого коалы своя функция издержек; все они втроём изображены на рисунке.
Когда коалы хотят произвести Q единиц продукции, они распределяют работу между собой так, чтобы минимизировать суммарные издержки. Так получается функция суммарных издержек всей их коалиции $TC(Q)$.
Изобразите на данном рисунке функцию $TC(Q)$ как можно более точно.

Комментарии

С целью минимизации общих издержек у нас в точке производства $ Q* $ должно выполняться равенство $ MC_1(Q*) = MC_2(Q*) = MC_3(Q*) $. Тогда нам нужно провести бесконечное множество касательных к каждому из графиков $ TC_{1;2;3} $. Далее, нарисуем под этим графиком ещё один график с осями $ (Q;MC)$. Тогда в точках, где у нас по оси $ MC $ предельные издержки на трёх получвшихся $ MC $ будут равны друг другу, мы по оси $ Q $ сложим их производство, а по оси издержек сложим их $ TC $(т.к. мы рисуем один график под другим, то мы посмотрим, что если при некотором $ Q_1 и Q_2 MC_1(Q_1)=MC_2(Q_2) $, то мы проведём перпендикуляр вверх и найдём на кривых $ TC_1;TC_2 $ такой уровень издержек, который соответствует $ TC_1(Q_1); TC_2(Q_2) $. После этого получим некоторую точку, которая будет лежать на графике (суммарный выпуск; суммарные издержки). Скорее всего, это решение очень корявое(потому что в лоб), и Гриша ожидает от нас чего - то другого =)
Но не нужны забывать что еноты - хитрые ребята. Как мы видим, у каждого енота нет $ TFC $. Тогда суммарный $ TC $ от некоторого выпуска $ Q' $ нужно сравнить с $ TC_1(Q');TC_2(Q');TC_3(Q') $. Если суммарные издержки будут меньше - это то, что нужно. Если больше - нужно проверить такие объёмы производства, что 2 завода производят, а один "стоит без дела", т.е. всего ещё 3 варианта (производят 1;2 и 2;3 и 1;3) и с последними тремя вариантами, что один завод производит, а два остнутся без дела (которые я уже упомянул выше). Вроде, это полный перебор.
Дан у тебя написано $ MC_1(Q_*)=MC_2(Q_*)=MC_3(Q_*) $
я думаю ты имелл ввиду $ MC_1(Q_1)=MC_2(Q_2)=MC_3(Q_3) $, причем $ Q_1+Q_2+Q_3=Q_* $
Так и есть =)
Нет, ну для меня самая первая идея это вытянуть из графиков MC каждого, горизонтально суммировать, а потом построить исходя из общего MC, соответствующую ТС, но, очевидно, точным такой способ не назвать, так можно лишь форму общего ТС определить, но она и так проглядывается.
Может просто горизонтально TC суммировать?))
Мне кажется, просто суммировать нельзя - иначе эта задача очевидна) Потому что мы будем распределять производство между заводами.
Да я понимаю, горизонтально суммировать значит отрицать правило $MC_1=MC_2=MC_3$ но тут явно решение должно быть графическим, может быть что-нибудь с векторами покрутить
суммировать конечно же нельзя)
понятно что мы некоторое время красным енотом не будем пользоваться вообще ^^
у него дикие $ TC $ при малых $ Q $
Ну ведь еноты не хуже зайцев - они знают условие минимизации издержек! =)

Гриша, решение через множество касательных может считаться решением?

Ну если ты построишь график TC своим методом, и он будет так же точен, как мой, то зачту:)
Поднажмите, ребята, мы тут уже тремя способами решили, один красивее другого:)
Кто мы? =)
Я, Лёша и Марк Ражев.
У меня есть такая идея,обозначим точку пересечения TC1 с TC2 как Q1 , и TC3 с TC2 как Q2 тогда , если например нужно произвести некое Q , где Q>Q2 тогда Q1 произведут TC1 Q2-Q1 произведут TC2 и Q-Q2 произведут TC3. Но пока общее TC я не посторил, думаю... Хотя бы идея верная?Или это черс-чур "в лоб" =)
Ну ты сам попробуй проверить свою гипотезу, и увидишь, верная она или нет.
А у меня все идеи сводятся к построению кучи $ MC $. Надо мыслить более экономически. =(
или хотя бы более экономично: кучу MC построить слишком затратно
Я точно уверен что $ TC $ не зря пересекаются друг с другом в разных точках по $ Q $...
Кстати, вот и идея построения TC. до точки Q1 ( которые я упомянул выше) TC0 совпадает с TC1 .От Q1 до Q3 TC0 совпадает с участком TC2 ( от 0 до Q3-Q1) и от Q3 и выше TC0 совпадает с TC3 .
а может быть так..
сначала берем зеленый участок..до пересечения с синим,
потом синий до пересечения с красным, ну и наконец красный
в общем получится $TC$ из трех участочков
это лишь догадка..но по-мойму похожая на правду)
По-моему через-чур просто.Ведь её решили тремя способами)
По-моему у вас с Димой получается, что синий завод начинает производить, как будто он уже до этого работал, то есть как бы не "с начала", то же самое с красным заводом.
не не не..в моем предложении до перессечения зеленой и синей работает только зеленый,
потом начинает полностью синий работать и красный так же, тогда участки как раз такими будут
синий начинает работать, только почему он начинает работать с такими MC как будто он уже произвел всё до пересечения? Если синий начнет работать, то TC будут вести себя как в углу графика, я так думаю.
Функция издержек показывает, сколько придётся заплатить денег, если мы захотим произвести Q. Буквально так, и ничего больше. Слово "потом" в сообщении Димы не имеет непосредственного отношения к времени.
Но это же не значит, что синий завод может начать производство сразу с седьмой единицы, к примеру.
Григорий, эта фраза произвела на меня неизгладимое впечатление, теперь я, кажется согласен с видом TC Димы, ну только логика немного другая.
Значит, заметим, что от совмещения производств выгоды нет, т.к. все функции издержек отвечают убывающим MC, значит при каждом Q мы просто будем выбирать те затраты, которые меньше чем на каждом из 2х других заводов, поэтому можно обвести на каждом участке нижний из графиков TC.
ура! Тимур, ты молодец)
я думал как же это написать про убывающие MC
я думаю это решение..а вообще очень сложно обсуждать эту задачу в письменной форме
Дим, если бы ты сказал, что мы не будем совмещать производства, я бы сразу тебя понял))
В общем за такую идею я обеими руками за)
Зато это неплохой тренажёр перед олимпиадой: там тоже требуется понятно изложить свои мысли в письменной форме, вследствие чего в процессе изложения нельзя водить указкой по картинке.
Пока что мне не очевидно, что если MC убывают, то мы будем производить только на одном заводе. Можешь написать чёткое доказательство этого?
Как я понимаю, все $ MC $ начинаются из одной точки. Тогда если мы достигли некоторого производства $ Q = x $ на заводе $ 1 $, то нам будет выгоднее произвести ещё $ Q = y $ на зводе $ 1 $, чем на заводе $ 2 $ при убывающих предельных издержках, потому что если мы будем производить $ Q = y $ единиц на заводе $ 2 $, то если двигаться по графику $ MC_2 $, мы начнём движение из верхней левой точки графика и съедем чуть - чуть вправо вниз. А чтобы минимизировать функции затрат, надо минимизировать площадь под графиком $ MC $ при каждом $ Q $. Очевидно, т.к. на графике $ MC_2 $ мы только начали производить, то $ MC_2(y) > MC_1(x+y)$ и $ MC_2(Q\rightarrow0) > MC_1(x) $, то площадь под графиком $ MC_2 $ в интервале $ 0 < Q < y $ больше, чем площадь под графиком $ MC_1 $ в интервале $ x < Q < x+y $.
как же из одной: красная TC в нуле явно круче остальных; её MC вообще могут спускаться из бесконечности. Например, $TC(Q)=\sqrt{Q}$
Согласен. Тогда так: та, которая круче, у неё $ MC $ не меньше.
Если мы начали производить на каком-то заводе, то издержки связанные с выпуском доп. единицы блага на этом заводе будут меньше, чем если мы решим продолжить производство запустив новый завод.
Если мы хотим пожертвовать некоторыми издержками для снижения MC в будущем, то комбинирование производств нецелесообразно так как если мы на одном заводе сколько-нибудь произвели, то для достижения нужного уровня MC на "свежем" заводе потребуется больше затрат, чем если бы мы на этом заводе начали производство.Вроде так.
Попытаюсь перефразировать тебя. Допустим, мы производим и на первом и на втором заводе (нумерация условная). Если сейчас предельные издержки на первом выше, чем сейчас на втором, то стоит всё производство первого перекинуть на второй, т.к. предельные издержки убывают, и таким образом площадь под MC второго завода, соответствующая приросту выпуска, будет меньше, чем площадь под MC первого завода, соответствующая равному ему сокращению выпуска.
Если же сейчас предельные издержки на первом ниже, чем на втором, то та же логика докажет, что выгодно перекинуть всё производство со второго на первый.
Я тебя правильно понял?
Гриша, меня глючит: а такое возможно? vozmozhno.gif
Я ведь пытаюсь тоже самое доказать, но захожу со стороны математики.
А где у тебя MC левее первого пунктира? TC при любом Q должны быть конечны, поэтому MC не могут быть "бесконечными" на интервале, хотя они и могут уходить в бесконечность в отдельных точках, как, например, при $TC(Q)=(Q-1)^{1/3}+1$
Я в данном случае рассматриваю именно эти "рамки", когда мы "перекидываем" производство с одного завода на другой. То есть первоначальные предположения не нарушаются: $ MC_2 > MC_1 $, $ (MC_i)'<0 $ (где i={1;2}), т.е. $ MC $ убывают. Ну и мы говорим в таком случае, что производство надо "перекинуть". А если такой вот пример $ MC $? Я не рисую что у нас происходит левее первого выпуска, просто у меня пунктир - это не разрыв, это я пытался показать, что это некое $ Q = x $, которое мы уже произвели.
В общем, я о том, что возможен такой случай предельных издержек в случае, если у общих издержек >1 точки пересечения.
Если я пояснился, как обычно, очень коряво, то попытаюсь написать по - другому =)
Так в чём вопрос? Ну да, MC разных заводов могут пересекаться как угодно
Тоесть, впринципе, такой рисунок возможен, если ТС пересекаются более одного раза, верно?
Я просто не уверен, поэтому и спрашиваю. Хотел в общем виде более - менее довести задачу, понять как решать, если столкнусь с чем - то усложнённым.
такой рисунок возможен, даже если TC вообще не пересекаются друг с другом.
А в чём общий вид? В данной задаче MC тоже пересекаются друг с другом
Например, есть 265 фирм у которых МС ведут себя немного более нетривиально, чем в этой задаче. Построить общую ТС.
Те же рассуждения, только если две кривые MC по - очереди оказываются внизу, т.е. в некий момент образуют, например, участки синусоиды и косинусоиды на одинаковых интервалах, то это рассуждение про перенос производства будет немного более комплексным.
Или я опять..кхм. молодец?
насколько я понимаю, выше доказали, что если MC на всех заводах убывают, то будет использоваться только один завод, и это не зависит от того, как MC пересекают друг друга. лишь бы убывали
Ну да. А вот, скажем, на моём рисунке: пусть у нас первый пунктир показывает $ Q_1 $, а второй $ Q_2 $. И они пересекаются при $ Q^* $. Тогда если мы уже произвели $ Q_1 $ и сейчас думаем как нам быть дальше, то смотрим: $ MC_2(Q_1) > MC_1(Q_1) $ поэтому, по "вышеописанной логике" мы переведём всё производство на завод 1. Но при производстве $ Q_2 $ получим $ MC_1(Q_2) > MC_2(Q_2) $, т.е. мы опять перешли в неоптимальную точкую, потому что площадь фигуры ( $ MC_2-MC_1; MC_{Q^*} $) окажется меньше, чем площадь фигуры ( $ MC_{Q^*}; MC_1(Q_2) - MC_2(Q_2) $). Так я имею ввиду то, что этот переход неверен и вышеприведённое доказательство для данной картинки не работает.
ну что Гриша, я так понимаю решение засчитано? а то уже спать хочется..
Ну если вы сами в нём уверены, то ок.
Ок, завтра в одном сообщении полностью напишу решение, а то в ходе обсуждения оно уж больно размыто.
Предлагаю рисунок)
enoty2_0.jpg
ура ура ура))
Я вот лично пока в сомнениях.
Ну ладно, если суммарный объём зафиксирован, тогда как мы будем рассматривать множество точек (суммарные издержки, суммарный объём)? На данном графике, вроде, теперь понятно, мы по одной МС едем в одну сторону, а по другой - в другую. Но, по идее, это и есть общий случай, ведь две убывающие функции могут пересечься не более одного раза при условии что они не совпадают. Не знаю, надо ещё подумать над задачей. Вдруг у нас какой - то такой "хитрый вид" предельных издержек...
Но всё равно, Гриша, большое спасибо, что помог разобраться!
две убывающие функции могут пересечься не более одного раза при условии что они не совпадают

Ну и догмы у тебя:) контрпример

Чёрт, ну я имею ввиду 2 функции, которые монотонно убывающие, и не квази-выпуклые, которые мы можем тождественными преобразованиями привести к выпуклым функциям, а функции с постоянной выпуклостью. Как - то криво объяснил, в общем, функции, не меняющие выпуклость)
В общем, я понял, что я имел ввиду, и что я хотел сказать фразой "две убывающие функции могут пересечься не более одного раза при условии что они не совпадают" =))
Это тоже неверно. Получи удовольствие, придумав контрпример самостоятельно.
Кстати, квазивыпуклая функция - это у которой для любого $x_0$ множество всех таких x, что $f(x)\le f(x_0)$, является выпуклым. Например, $f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$ (кривые безразличия вогнуты).
А "тождественные преобразования функции" - это вообще для меня что-то новое.
Ну а как называется +-const, */ const, e^x, ln и т.д. с функциями полезности?
положительное монотонное преобразование. Только не */const, а */const>0
Да даже по нашей картинке можно всё понять. Взгляни на красную и синюю при малых Q. Кто бы мог подумать, что они пересекутся где-то справа! А теперь взгляни на зелёную и синюю при больших Q - та же фигня.
Я тебя сам не очень понял), я говорю о том, что если мы начали на каком-то заводе производить, то начинать параллельно производить на другом заводе нецелесообразно, т.к. целью запуска нового завода может служить только достижение более низких MC в будущем, но тогда мы быстрее (при меньших TC) их достигнем, если будем с самого начала производить на втором заводе.
да, согласен
открывая второй завод с целью уменьшения $MC$ в будущем нам выгоднее полностью перенести производство с первого на второй, так как чем больше $Q_2$ тем меньше $MC_2$ и все от больших $MC_1$ отказываемся
Тимур когда моё TC0 совпадает с TC2 я как бы участок TC2 от 0 до Q3-Q1 поднимаю и соединяю с точкой TC1(Q1) , также я делаю с TC3. Я вроде бы, как мне кажется , ясно выразился, могу подругому написать вышенаписанное))
У нас с Димой разные подходы =)
Понял, я невнимательно прочитал просто, но только в твоем решении, зачем начинать производство на синем заводе с большими MC чем, если продолжать выпуск на зеленом?
Но это ведь не так, потому что если мы произведём почти $ Q'_1 $ продукции на зелёном еноте, а ооочень маленький остаток $ Q^*-Q'_1 $ на синем еноте, то суммарные издержки будут меньше чем при производстве $ Q^* $ на зелёном заводе (где $ Q^* $ - величина выпуска, при которой $ TC_1(Q^*)=TC_2(Q^*) $.
Вот, Дан меня понял, именно это я и имею ввиду.
подождите, давайте договоримся где у нас сейчас $Q*$, как я понимаю обсуждаем случай после пересечения синей и зеленой
Ага)
мы же хотим чтобы $ TC $ общее было как можно ниже..вот
делаем так, до пересечения зеленого и синего работает ТОЛЬКО зеленый
если мы хотим произвести больше чем Q=пересечению зеленой и синей ТС, то производит ТОЛЬКО синий
если хотим произвести больше чем Q=пересечению синей и красной, то производит ТОЛЬКО красный
таким образом при каждом Q я просто выбираю самый нижний участок ТС и произвожу все на нем, ну и получаю ТС из трех участков, сначала зеленый, потом синий, а потом красный
Гриш, так моя идея верная?
пока ты меня не убедил в её верности
Я нарисовал в Excel-e, и у меня получилась следующая штука.. Причём кривая суммарных издержек касается кривых зелёных и синих енотов. gore-proizvoditeli.gif
У тебя что, excel умеет сам решать задачи по экономике? Это какая версия?
Excel Gold Edition 2147 =)
Но, похоже, мой замечательный решатель задач где - то обсчитался.. (В данном случае я подразумеваю себя).
Я придумал функции $ y(x) $, которые имет вид как у тебя. Далее нарисовал по точкам с очень маленькими делениями по оси $ Ox $. Далее подбирал значения $ x_1;x_2;x_3 $ такие, что функция $ f(x_1;x_2;x_3) = y_1(x_1)+y_2(x_2)+y_3(x_3) $ была как можно более вогнутая, т.е. при $ f(x_1;x_2;x_3) = const $ некоторая функция $ g(x_1;x_2;x_3)=x_1 + x_2 + x_3 = X \longrightarrow max $ по $ {x_1;x_2;x_3} $.
update: как писать максимизацию по некоторым переменным? Т.е. как в tex-e оформить ->max и под max подпись по каким переменным я максимизирую функцию?
$\max\limits_{x_1,x_2,x_3}$
попытаюсь формально написать решение..
во-первых под словом дальше я имею ввиду увеличение Q
начнем с первого участка, заметим что MC минимально на зеленой ТС, значит начнем производство именно с зеленой, далее докажем что до пересечения с синей ТС будем производить только на зеленой.
ну это понятно, $ MC_1
Заметь, что когда ты подходишь к точке пересечения зелёной и синей, наклон синей (то есть MC синей в соответствующей точке) становится меньше наклона зелёной. То есть в этом диапазоне выгодно производить на синей, а не на зелёной. Так может имеет смысл пожертвовать потерями в начале, чтобы получить выгоду здесь? Вдруг выгоды перевесят, и окажется, что выгоднее всё произвести на синей, а не на зелёной?
да но если будем жертвовать..то всем Q..вроде
Задача решена или нет ?
Думаешь так ?
ну так значит так
Гриша сказал, что способов решения несколько, думаю должен быть более изящный, может кто-нибудь осмелится его отыскать?)
Я осмелился его выложить. Впрочем, об изящности судить вам.
И все-таки не так
блин , я запутался(((
Если они захотят производить кол-во от "первой точки пересечения " , то работать будет второй енот , а если после второй , то третий , я правильно понял ?
ага
Я извиняюсь, в задаче имеется в виду, что три енота сели в кружок и решили, какое Q производить, а потом уже по ходу разобрались, какой из енотов полностью берёт на себя выпуск Q??? То есть, если мы возьмём минимальное ТС при выпуске, меньшем Q1 (точки пересечения TC1 и ТС2) - обзовём его Q1*, то, доустим, зелёный производит 3, красный и синий - по 0. При переходе с Q1* на Q2*(Q2* лежит где-то между точками пересечения графиков ТС1 с ТС2 и ТС2 с ТС3), то, судя по приведённому ответу, синий будет производить, скажем, 5, красный - 0, но и зелёный получается тоже 0?? То есть его производство в точке Q* анулируется? Тогда нижняя огибающая графиков не будет являться Кривой оптимальных общих ТС. Или в задаче имеется в виду, что "ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ" кривые ТС1, ТС2 и ТС3 имеют такую общую Q, что при производстве зелёным 3-х единиц продукции, 4-ую единицу продукции синий производит, затратив МС2(4), а не МС2(1)??
Будет. Потому что мы сначала решаем, какое Q хотим, а потом говорим енотам, сколько каждый производит.
но ведь функция минимальных ТС предполагает ТСmin при каждом значении Q
Как и большинство изучаемых в школьной экономике моделей, модель в этой задаче статическая, однопериодная: мы один раз производим, несём издержки TC(Q), а затем наступает конец света. Функция TC показывает, сколько бы мы потратили, если бы захотели произвести тот или иной объём - но за раз. Если же нас интересует вопрос "сколько мы потратим, если мы сначала произвели $Q_1$, а потом вдруг решили, что нам нужно ещё $Q_2$", то $TC(Q_1+Q_2)$ не всегда будет верным ответом.
См. также вторую часть вот этого комментария к задаче "На внутреннем и внешнем рынках - 2".
P.S. Если объяснил непонятно - пишите, объясню подробнее.
В случае конца света, я с ответом согласен, спасибо, Григорий)) Теперь буду знать, что ТС в большинстве случаев "однопериодная"
Гриша, а почему когда мы перекинем весь выпуск Q на завод, у которого $ AC_{i}(Q_{i}) $ минимальны, то AC этого завода ещё уменьшатся? Это ведь зависит от того, какие MC у этого завода на участке $ (Q_{i};Q) $. Если тангенс угла касательной к графике в каждой точке этого промежутка больше 1, то AC вырастут.

по рисунку видно, что тангенс угла наклона секущей к графику $TC_i$ убывает при росте Q

С этим ты согласен?
Тангенс угла наклона секущей к графику $TC_i$ есть $AC_i$. Раз $AC_i$ убывают, то, когда мы увеличим выпуск на i-м заводе, они и убудут.
Про сравнение с единицей что-то сомнительное ты написал. Если не найдёшь ошибку в доказательстве, пиши его сюда.

Да, согласен.

Ну я имел ввиду ту часть, где вы пишите, что если у нас есть некоторый завод, дающий $ AC_{i}(Q_{i}) $, наименьший из всех средних издержек, и есть другой завод $ AC_{j}(Q_{j}) $ с ненулевым выпуском $ Q_{j} > 0 $, то если мы перекинем весь выпуск со второго завода на первый, то получим $ AC_{i}(Q_{i} + Q_{j}) < AC_{i}(Q_{i}) $. В случае, если тангенс укла секущей к графику $ TC_{i} $ убывает (как тут), то вроде всё вышесказанное верно, а если не убывает? Мне просто было интересно, подойдёт ли это решение для общего случая?

Т.е. прикол получается в том, что .. Не знаю как нормально сказать. Что $ \Delta TC = TC_{i}(Q_{i} + Q_{j}) - TC_{i}(Q_{i}) $ могло вырасти в большей степени, чем $ \Delta Q = Q_{j} $. Тогда и $ AC_{i} $ возрастут.

Если AC не являются убывающими, то не обязательно, что мы всё будем производить на одном заводе.
Ну да, вот, собственно я это и пытался подтвердить.
Спасибо)