Технология и перевозка (Пробная олимпиада в формате Заключительного Этапа Всероссийской олимпиады школьников по экономике)

Некоторая фирма является единственным производителем товара (количество готорого мы будем обозначать как Q), для производства которого использует сырье собственного производства: сырье первого типа (количество которого мы обозначим за x) и сырье второго типа (количество которого мы обозначим за y). Все сырье фирма производит в регионе А, а затем транспортирует его в регион Б, где без дополнительных затрат собирает готовый товар, для изготовления каждой единицы которого необходимы одна единица сырья первого типа и одна единица сырья второго типа. (Иначе говоря, ее производственная функция имеет вид $Q = \min (x;y)$).

В регионе А фирма может производить сырье двумя способами. По первому способу производства при производстве x единиц сырья первого типа и y единиц сырья второго типа фирма тратит $C = x + y + 2\sqrt{xy}$ условных единиц. Второй способ производства дает возможность производить сырье комплектами (K) из 1 единицы сырья первого типа и 3 единиц сырья второго типа, при этом издержки производства К комплектов составляют $C(K) = 4K$ условных единиц. Фирма может производить любое количество сырья, используя как одну из технологий, так и обе.

Перевозку сырья из региона А в регион Б фирма может осуществлять кораблями и поездами. Один корабль вмещает не более 4 единиц второго сырья или не более одной единицы первого сырья или любую линейную кобнацию сырья обоих видов (например, не более 3 единиц второго сырья и 0.25 единиц первого). Стоимость аренды одного корабля равна 10 условным единицам. Фирма может арендовать как весь корабль, так и любую его часть, заплатив за аренду части корабля сумму пропорциональную его загрузке (например, если фирма арендует половину корабля, заплатив 5 условных единиц, она сможет перевезти на нем не более 2 единиц второго сырья или не более 0.5 единиц первого или любую линейную комбинацию сырья обоих видов аналогично примеру, приведенному выше). Стоимость аренды поезда равна также 10 условных единицам, один поезд вмещает не более 4 единиц первого сырья или не более 1 единицы второго сырья или любую линейную комбинацию сырья обоих видов. Арендовать можно любую долю поезда, тогда его вместимость уменьшится пропорционально изменению арендной платы.

1) Запишите функцию издержек фирмы TC(Q), то есть покажите, сколько условных единиц необходимо минимально потратить фирме для изготовления Q единиц готового товара.

2) Функция спроса на готовую продукцию фирмы в регионе Б задается функцией
$P_d =23-Q$, где $P_d$ - цена единицы товара в условных единицах. Какое количество
товара продаст фирма, если она максимизирует прибыль? Сколько при этом сырья каждого типа она произведет и сколько денежных единиц потратит на перевозку?

3) Оказалось, что поездами и кораблями владеет одна фирма. Стоимость аренды корабля в силу некоторых причин она не может изменить, однако может назначить другую цену за аренду поезда. Какую цену назначит фирма-перевозчик, если она максимизирует выручку, получаемую за перевозку сырья из региона А в регион Б?